∵2n－是随n的增大而增大，∴n＝1时，2n－取得最小值－6，∴λ<－21.
综上①②可得λ的取值范围是（－∞，－21）．
模板4 空间中的平行与垂直关系
典例4 （14分）如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F，H分别为AB，PC，BC的中点．
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）求证：
平面PAH⊥平面DEF.
审题路线图
（1）
―→
（2）―→
规范解答·评分标准
构建答题模板
证明
（1）取PD中点M，连结FM，AM.
∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，∴FM∥CD且FM＝CD.
∵在正方形ABCD中，AE∥CD且AE＝CD，
∴AE∥FM且AE＝FM，
则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF，6分
∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD.7分
（2）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，则DE⊥AH，12分
∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH，
∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.14分
第一步 找线线：
通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直．
第二步 找线面：
通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行．
第三步 找面面：
通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行．
第四步 写步骤：
严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.
评分细则 1.第
（1）问证出AE綊FM给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面PAD同样给分；
2．第
（2）问证明PA⊥底面ABCD时缺少条件扣1分；证明DE⊥AH时只要指明E，H分别为正方形边AB，BC中点得DE⊥AH不扣分；证明DE⊥平面PAH时只要写出DE⊥AH，DE⊥PA，缺少条件不扣分．
跟踪演练4 （2015·北京）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：
VB∥平面MOC；
（2）求证：
平面MOC⊥平面VAB；
（3）求三棱锥VABC的体积．
（1）证明 因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB，
又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
（2）证明 因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB.
（3）解 在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝.
又因为OC⊥平面VAB.
所以三棱锥CVAB的体积等于
·OC·S△VAB＝，
又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，
所以三棱锥VABC的体积为.
模板5 空间角的计算问题
典例5 （14分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
（1）求证：
DE⊥平面ACD；
（2）若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．
审题路线图
（1）
（2）―→―→―→―→
规范解答·评分标准
构建答题模板
（1）证明 ∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，
又AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，
又AC∩DC＝C，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，
又DC∥EB，DC＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD.6分
（2）解 在Rt△ACB中，AB＝4，AC＝BC，
∴AC＝BC＝2，
如图，以C为原点建立空间直角坐标系，
则A（2，0,0），D（0,0,1），B（0,2，0），E（0,2，1），＝（－2，0,1），＝（0,2，0），
＝（－2，2，0），＝（0,0,1）.8分
设平面ADE的一个法向量为n1＝（x1，y1，z1），
则
令x1＝1，得n1＝（1,0,2），
设平面ABE的一个法向量为n2＝（x2，y2，z2），
则
令x2＝1，得n2＝（1,1,0）.12分
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝.
∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.14分
第一步 找垂直：
找出（或作出）具有公共交点的三条两两垂直的直线．
第二步 写坐标：
建立空间直角坐标系，写出特征点坐标．
第三步 求向量：
求直线的方向向量或平面的法向量．
第四步 求夹角：
计算向量的夹角．
第五步 得结论：
得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.
评分细则 1.第
（1）问中证明DC⊥BC和AC⊥BC各给2分；证明DE∥BC给1分；证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，不扣分．
2．第
（2）问中建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．
跟踪演练5 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3.D是线段BC的中点．
（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角B1－A1D－C1的大小的余弦值．
解 因为在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，
所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（0,0,0），B（2,0,0），C（0,4,0），A1（0,0,3），B1（2,0,3），C1（0,4,3），
因为D是BC的中点，所以D（1,2,0），
（1）因为＝（0,4,0），＝（1,2，－3），
设平面A1C1D的法向量n1＝（x1，y1，z1），
则即取
所以平面A1C1D的一个法向量n1＝（3,0,1），
而＝（1，－2,3），
所以cos〈n1，〉＝＝，
所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.
（2）＝（2,0,0），＝（1，－2,3），
设平面B1A1D的法向量n2＝（x2，y2，z2），
则即
取平面B1A1D的一个法向量n2＝（0,3,2），
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
即二面角B1－A1D－C1的大小的余弦值为.
模板6 概率与统计的综合问题
典例6 （14分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：
件）如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
审题路线图 →→→
规范解答·评分标准
构建答题模板
解
（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，2分
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.5分
（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为
A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.9分
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：
“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.12分
所以P（D）＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.14分
第一步 定模型：
根据统计知识确定元素（总体、个体）以及要解决的概率模型．
第二步 列事件：
将所有基本事件列举出来（可用树状图）．
第三步 算概率：
计算基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m，代入公式P（A）＝.
第四步 规范答：
回到所求问题，规范作答.
评分细则 1.各层抽样数量每个算对给1分；
2．没有列举基本事件只求对基本事件个数给2分；
3．求对样本事件个数而没有列出的给2分；
4．最后没下结论的扣1分．
跟踪演练6 近日，某市楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅每平方米的销售价格：
（单位：
万元/平方米）：
房号
户型
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A户型
0.98
0.99
1.06
1.17
1.10
1.21
a
1.09
1.14
B户型
1.08
1.11
1.12
b
1.26
1.27
1.26
1.25
1.28
（1）求a，b的值；
（2）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．
解
（1）a＝1.1×9－0.98－0.99－1.06－1.17－1.10－1.21－1.09－1.14＝1.16，b＝1.2×9－1.08－1.11－1.12－1.26－1.27－1.26－1.25－1.28＝1.17.
（2）A户型小于100万的有2套，设为A1，A2；
B户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4，
买两套售价小于100万的房子所含基本事件为：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共有15个．
令事件A为“至少有一套面积为100平方米住房”，
则A中所含基本事件有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共9个．
∴P（A）＝＝，即所买两套房中至少有一套面积为100平方米的概率为.
模板7 离散型随机变量的概率分布
典例7 （14分）2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：
0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：
若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：
种植地编号
A1
A2
A3
A4
A5
（x，y，z）
（0,1,0）
（1,2,1）
（2,1,1）
（2,2,2）
（0,1,1）
种植地编号
A6
A7
A8
A9
A10
（x，y，z）
（1,1,2）
（2,1,2）
（2,0,1）
（2,2,1）
（0,2,1）
（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的概率分布及其均值．
审题路线图
（1）―→―→
―→
（2）―→―→―→
规范解答·评分标准
构建答题模板
解
（1）由表可知：
空气湿度指标为0的有A1；
空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10；
空气湿度指标为2的有A4，A6，A7.
所以空气湿度的指标z相同的概率P＝＝＝.5分
（2）计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
综合指标
1
4
4
6
2
4
5
3
5
3
其中长势等级是一级的（ω≥4）有A2、A3、A4、A6、A7、A9，共6个，长势等级不是一级的（ω<4）有A1、A5、A8、A10，共4个．
随机变量X的所有可能取值为：
1,2,3,4,5.
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，12分
所以X的概率分布为
X
1
2
3
4
5
P
13分
所以E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.14分
第一步 定元：
根据已知条件确定离散型随机变量的取值．
第二步 定性：
明确每个随机变量取值所对应的事件．
第三步 定型：
确定事件的概率模型和计算公式．
第四步 计算：
计算随机变量取每
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