大数据精选模拟卷01解析版.docx

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大数据精选模拟卷01解析版

I月大数据精选模拟卷01（江苏专用）

数学

本卷满分150分，考试时•间120分钟

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合A=|x|x2-x>0|,则0/1=（）

A.{x|Ovxvl}B.{x|Ol}D.{xlx«O或xMl}

【答案】B

【详解】

A=^XX2-X>o|={x|x^ln^X<0）,

则LeA={x\O

2.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久“，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）

A.35B.40C.50D.70

【答案】C

【详解】

解：

6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，

所以不同的分配方案为C：

A；+C；=50,故选：

3.已知随机变量§服从正态分布N（1&）,若<4）=0.9,则P（-2<^<1）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【答案】C

【详解】

由题总可知“=1,正态分布曲线关于x=l对称，P（^>4）=l-P（^<4）=0」，

根据对称性可知,陀<-2）=陀>4）=0.1,

P（-2<^

4.克罗狄斯托勒密（Psleg所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，苴中涉及如下泄理：

任意凸

四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：

如图，半圆0的直径为2,4为直径延长线上的一点，04=2,"为半圆上一点，以力3为一边作等边三角形ABC,则当线段0C的长取最大值时，ZAOC=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【详解】

因为OBAC+OABC>OCAB,且厶ABC为等边三角形，OB=\,OA=2,

所以OB+OA'OC,所以OC53,所以OC的最大值为3,取等号时ZOBC+ZOAC=180°,

所以cosZOBC+cosZ.OAC=0.不妨设AB=x,

v24-1—9Y2+4—9l

所以+=0,所以解得x=眉,

2x4x

9+4-71

所以cosZAOC==—,所以ZAOC=60。

，故选：

2x2x32

5宀<1”是“，+2.丫一3<0"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

xvl时，x2+2x-3=（x-1）（x+3）W能大于0也可能小于0,不充分,

x2+2x-3=（x-l）（x+3）<0,则-3

6在平面直角坐标系®中’。

为坐标原点双曲线宀召“的右焦点为F,则以F为圆心且与双曲线

的渐近线相切的圆方程为（）

B.x2+y2+4x+3=0

D・x2+y2-4x+l=0

A・x2+y2+4x+l=0

C・x2+y2-4x-l=0

【答案】D

【详解】

2山双I也线十——=1a=l.b=5/3,

所以c=yja2+b2=2*则焦点F（2,0）,双曲线的渐近线方程为V3A±y=0,由题总町得F到渐近线的跖离为〃=冷空=羽,

V3+1

即圆F的半径为圆心为（2,0）,

则所求岡的方程为（x-2）2+b=3,

町化为x2+y2-4x+\=0,故选：

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学需著，第九章“勾股”，讲述了“勾股左理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2二弦2”，设直线/交抛物线）,=护于人，“两点，若网，㈣恰好是RZAB的“勾”“股”（。

为坐标原点），则此直线/恒过定点（）

A.B.Q,0jC.（0,2）D.（0,4）

【答案】D

【详解】

设直线乂3的方程为y=kx+b,/1（舛,”），3（吃,力），

y=kx+h

由f4導尤2—4也一4b=0,

x=4y

由根9系数的关系可得：

西+吃=4«,x}x2=-4b,

若\OA\,\OB\恰好是R仏OAB的“勾”“股”（。

为坐标原点），

可得|OA|2+|（9B|2=|A^|\所以OA丄CD即丙丄面，

所以OA・OB=xxx2+y}y2=0,

_1212_1/x2

）'』2=二刃X-X2-—（X,X,）,

所以OA-OB=x}x2+y\y2=x[x1+—（）2=-4/?

+—x（-4/?

）^=0,

16~16

即戻一4方=0,解得力=4或"=0（舍）

所以直线A3的方程为y=d+4,恒过点（0,4）,故选：

8.已知函数/（x）=lnx,若函数g（x）=kv-丄与函数y=/（卜|）的图象有且仅有三个交点，则R的取值

范围是（）

（1■>

）

（ii>

-e2,e2

（1、

（1>

a门

（i、

-门0

（i

0,历

C・

一e2,0Kj

<丿

k丿

【答案】C

【详解】

叩函数g（x）=也一一的图象是过定点P0,-L斜率为r的宜线‘哎为人利川偶函数/（|x|）的图象关

2\27

于y轴对称的性处作?

H/（|x|）的图象如图所示（左右两支），J1?

PA1,0,佶介图形易知函数g⑴与函数/（W）的图象有且仅有三个交点时，直线/与左支有两个交点（RvO）或与右支有两个交点（R>0）勺

R>0时，血线/打/（卜|）图象的右支相切于点3为临界状态，」LOvRv如.设直（心儿）（兀>1）,

，所以0冷：

当0时，由于函数/（国）

的图象关于y轴对称，所以_3

故选：

二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知a>0,b>0,且a2+b2=2,则下列不等式中一定成立的是（）

A.ab<\B.-+-<2C.lg"+lgbSlD.a+b<2

【答案】ACD

【详解】

对于选项A：

a2+b2=2>2ab,所以ab

工―r11a+b2\fab2ri,，-111idab2〜

对J•选丄贝B：

—I——>=—==•»卩、;J'jcibS1,上‘I2»

abababJabJababahJab

当且仅当d=b=1时等号成立，故选项B不正确：

对于选项C：

lg6/+lgZ?

=lg^

对于选项D：

因为空<也=1，所以a+b<2^SIL仅l\a=b=l时等号成立，故选项D止确：

2V2

10.已知函数/（a）=^cos（2x+^）,则下列结论正确的是（）

A.函数/（X）的最小正周期为兀

B.函数/（X）在［0"］上有2个零点

C.当貯学时，函数/（X）取得最大值

D.为了得到函数/（X）的图象，只要把函数^（x）=^cos（a-+|）图象上所有点的横坐标变为原来的*倍

（纵坐标不变）

【答案】ABCD

【详解】

r=—=则/正确：

■■

'*[0,兀]时，2x+^e彳,¥，此时余弦函数y=8SX只有两个零点，则可知〃正确；

因为2x+兰,所以Mi2x+-=2^时，即x=字时，函数于（力取得最大值，则可知C正确;

3L33」36

函数^（x）=V3cos（x+-）图象匕所有点的横坐标变为原来的|倍（纵坐标不变）得出

y=>/3cos2x+彳j的图象，则D正确：

11.已知双曲线C过点（3,^2）且渐近线方程为y=±^x,则下列结论正确的是（）

A.C的方程为y-r=1B.C的离心率为

C.曲线y=e"一1经过C的一个焦点D.直线x_氏一1=0与C有两个公共点

【答案】AC

【详解】

对于A：

由双曲线的渐近线方程为y=土曾X,可设双曲线方程为耳■一尸=儿，

把点（3,返）代入,得--2=2,即2=1.

・•・双曲线c的方程为—=i<故a正确:

对于B：

由/=3,庆=1,得c=/7+F=2,

"曲线C的离心率为沪攀T

对于C：

取x+2=0,得x=-2,y=o.曲线），=严2一1过定点（_2,0）,故C正确:

对于D：

级曲线的渐近线兀土屈=0,直线兀_松_]=0与双曲线的渐近线平行,直线—屈-4=0ye有1个公共点，戯！

）不正确.

・则下列结论中正确的是（）・

12.已知函数/（x）=|^f1/2^-X^+tX~0,

A.（yq,O］是函数f（x）的一个单调减区间

B./（A）>1的解集为（l,+oo）

C.若/（尤）=舟，则％=］，或x=l->/2

D.方程f（x）+x=0必有两个实数根

【答案】BC

【详解】

对于A：

当兀50时，/（x）=log；（1-町+1,是由y=logy+l与/=i_x（MO）复合而成，而y=log1r+1与/=i_x（；t<0）都是减函数，

■

山复介函数的单调性法则可彳汀⑴=1°勺（17）+1在（YO,o］|：

是增函数，故A错误：

*•

对于B：

如图，当x<0时，i：

1一宀1,l°gjl一x）<°,/（-v）=log,（l-x）+l1不

•>

■■

成立：

当x>0时，/（兀）>1,也即仮>1,解得x>l,所以/U）>1的解集为（1.+Q,故B成立；

对于C,当无50时，/（%）=-，即log丄（l-A）+l=-t解得x=\_迈、

2~/

当x>0时，/（%）=丄，即低=丄，解得X=-,故C正确：

对于D.方程/（x）+x=0的根是函数y=/（x）'-jy=~x交点的个数，

如图，函数y=f（x）ljy=-x只有一个交点，故方程/（x）+x=o只有一个实数根，故d错民

y=/W

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知kmq-彳卜2,则cos2a的值为.

4【答案】-?

【详解】

由tanftz-—=2得tana=—3,所以cos2a=cos2a-sin2a=°_S*n?

\4）cos'tz+siira

_1-tan2a_1-9_4

l+tan2a1+95

14.设S”为数列｛an｝的前"项和，q=0,若s+i=［1+（—1）"+（—2）"（neN*）,则51<）0=

2-2101

［答案］——

【详解】

为奇■数时，％］=（-2）"，则a2=（-2）1>a4=（-2）3»…，alw=（-2）^»

当"为偶数时,%+］=2%+（—2）"=2©+2"•则a3=2a2+22=0,a5=2a4+24=0,••

^99=2為8+2"=0,乂«|=0,

Sioo=a2+a4・+"】（x）=—；—

15・（F+l）（―分展开式中含X的项的系数为・

【答案】-100

【详解】

卜一2）展开式的通项公式为：

7；+严=（—2厂c：

/-",

令6-2r=0.解得旷=3，

.-.7；+i=（-2）3.C^=-160,

令6-2r=2,解得厂=2,

•••7；+1=（一2尸-C；=60,

.*.（x2+2）fx-i］展开式中含F的项的系数为:

—160+60=—100,

'kX）

16.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）.该工艺品可以看成一是个

••

球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一个截而圆的周长为6龙，则该球的半径为—：

现给出左义：

球而被平面所截得的一部分叫做球冠.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截而的直径被截得的一段叫做球冠的髙.如果球而的半径是/?

球冠的髙是力，那么球冠的表而积计算公式是S=2兀Rh.由此可知，该实心工艺品的表而积是—.

••

【详解】

设截而圆'卜径为厂，球的半径为R，则球心到某一截而的距离为正方体棱长的一半即此距离为4，

根据截而岡的周长可得6兀=2",得厂=3,故疋=32+42=25,得R=5,

所以球的表面积5=100^・

如图，OA=OB=R=5,且OQ=4,则球冠的髙h=R—OO、=\,f!

'皿的•个球疋衣ini积S=2/rRh=2/5x1=10龙•II截面圆面积为“=9心

所以工艺品的表而积S'=4;zR—6（S—9刃=100龙—6龙=94龙.

故答案为：

5；94兀・

四、解答题：

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

—3

17.在①S=2jJ,②b+c=6,③sinBsinC=—这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问

题的三角形存在，求b的值：

若问题中的三角形不存在，说明理由•

问题：

是否存在厶ABC,它的内角兴，B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,且"=2“，A=-^,

【答案】选择见解析：

三角形存在，b=2或4.

【详解】

解：

方案一：

选条件①.

在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2Z?

ccosA,

故b2+c2+bc=28

由①S=2和A=-/r可得-besinA=2y/3,从而be=S.

由此可得护_20沪+64=0,解得b=2或4.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时b=2或4.

方案二：

选条件②•

在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

故b2+c2+bc=2S-

由®b+c=6可得戻一6b+8=0,解得D=2或4.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时b=2或4.

方案三：

选条件③.

在厶ABC1lJ,由余弦泄理得a?

=b2+c2—2bccosA，

故b2+c2+bc=2S.

由正弦從理和“2孙心討得盏€炉,

从而be=—-sinBsinC=8,

由此可得//-20夕+64=0,解得b=2或4.

因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时“=2或4.

18.设函数/（x）=acos2x+（cr-l）（cosx4-l）,其中a>0,记『（兀）|的最大值为A.

（口）求/（X）;

（□）求A：

（□）证^\ff（x）\<2A.

【解析】

试题解析：

（二）/'（x）=-2asin2x-（a-l）sinx.

当时,

I/WHasin2x+（a-l）（cosx+1）|

=3—2

=/（O）.

因此A=3a-2.

当OvaV1时，将/（X）变形为f（x）=2acos2x+（a-1）cosx-1.

令g（t）=2at2+（a\，则A是在［一1,1］上的最大值，g（-l）=a.g（l）=3a-2,且当/=时，g（『）取得极小值，极小值为g（—）=-（€Z~1>---l=-6Z-+66r+1.

4a8a8a

令一lv―<1.解得a<--（舍去），a>-・

4a35

（二）当Ovasg时，g（/）在（一1,1）内无极值点，|g（—l）|=a,|g（l）|=2_3—|^（-1）|<|g（l）|,所以

4=2—3a.

11—a

（二）当一vav1时，由g（—l）—g（l）=2（l—a）>0,知g（—l）>g（l）>g（——）.又

54a

I/（1一a）（l+7a）n4」一a、a:

+6a+l

gg（T）=——>0，所以

（—）=—-——•

4a8a4a8a

2一3a,0vaS右,

综上,

a2+6a+1

（Z）由

（二）得\f（x）冃一2asin2x-（a-l）sinx|<2a+\a-1.

-1,所以\fXx）\<\+a<2A.

'^a>\时，|f（x）|53a—l<6a—4=2A,所以\f*（x）|<2A.

（2）设cn=an+bn9求数列&｝的前〃项和二.

【详解】

（1）设等比数列他｝的公比为」

d=2

q=3

d=0

或彳・（舍〉

W=1

所以色=2—1,乞=3心.

（2）由

（1）知,cn=an+bn=2n-l+3n"1,

所以S”=q+c2+c3+—+crl

=l+3+5+-+（2/?

-l）+30+3l+32+-+3r,-1

〃（1+2〃一1）1一3"

2+1-3

.3“一1

=rr+

20.标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%,近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩,并检验过滤率•根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率z服从正态分布

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于“-3。

的数量，求P（X>1）及X

的数学期望：

（2）下而是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率:

0.9376

0.9121

0.9424

0.9572

0.9518

0.9058

0.9216

0.9171

0.9635

0.9268

Iwnio7

经计算得：

x=—£xr-=0.9335,5=J—V（a;«0.0189（K中兀为抽取的第i个口罩的过滤率）/-IYio苗

用样本平均数壬作为"的估计值，用样本标准差$作为b的估计值，利用该正态分布，求p（z>0.9524）（^

确到0.001）

（附：

若随机变量X服从正态分布N（"&）,则①P（“—b

②

P（//-2cr

③P（“—3bVX<〃+3b）=0.9974：

另：

0.9987】°a0.9871）

【详解】

（1）已知检验率服从正态分布N则事件P（X<“一3b）」二罗°了“=°0013

X生产状态正常时，重复不放回的取10个口罩属于独立重复事件，”=10,P=0.0013,

故有：

E（X）=z?

/9=10x0.0013=0.013,

而P（X>l）=l-P（X=O）=l-C^po（l-p），o=l-O.9987lo=O.O129.

V）由题意知：

由平均数近似估计“.

则有p（z>0.9524）=P（z>x+5）=•匕=01587

21.设椭圆c：

二+与=l（G＞〃＞0）的左、右焦点分别为F\F,下顶点为人o为坐标原点，点0到直线crb，

AF2的距离为至AAF\F?

为等腰三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若倾斜角为45的直线经过椭圆C的右焦点巴，且与椭圆C交于M/V两点（M点在"点的上方）求线段MF?

与NF2的长度之比.

【详解】

（1）由题意知,厅（pO）、®（c,O）、4（0,-方）,

所以血线AF；的方程为—+——=1»c-b

即-bx+cy+bc=O.

因为迅为等腰三角形，所以b=c・

ZCT=+€**■,/.Cl=5/2,/?

=l,c=1»

所以椭圆C的方程为^+V2=1：

2・

（2）由题意知过右焦点F2的倾斜角为45°的直线为y=%-1，

M（S）.Ng"）

y=牙_[

x2+2y2=2

所㈡-k.l-1

叫丽一隔一亍

22.已知函数f（x）=x+^-tJt中aw/?

“是自然对数的底数.

（1）当d=—l时.求函数/（X）在区间［0,+s）的零点个数；

（2）若f（x）<^-对任意xg［-1,-hx>）恒成立，求实数a的取值范風

【详解】

（1）f（x）=x-e~x,x>0,fXx）=\+e~x>0

故/'（x）在［0,2）递增，又/（0）=-1,/

（1）=1-

-*>0

/（0）/

（1）v0,故/（a）在（0,1）上存在唯一零点

因此/（X）在区间［0,+oo）的零点个数是1个：

x2x

（2）Vx>-bx+ae^x<—恒成立，即Vx>-1,a<—-xex恒成立

2.Y

令g（x）=——xex.x>-l,则a

g'（x）=（R-x-\）ex,令h{x）=ex-x-\.x>-\

h'（x）=ex-1»"［一1,0）时,h\x）<0,x>0时，h\x）>0

故"（x）在［-1,0）递减，（0,S递增,因此/i（x）>/i（0）=0

所以，g\x）>0,故g⑴在［-1,+eo）递增

故g（X）mm=g（—D=今九，因此水兰芋^

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