课时2212解一元二次方程教学设计教案.docx

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课时2212解一元二次方程教学设计教案

  教学准备

1.  教学目标

1.1知识与技能：

1、运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程．

2、通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程．

3、探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．

4、在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。

1.2过程与方法：

1、列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

2、渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．

1.3情感态度与价值观：

体会由未知向已知转化的思想方法．

2.  教学重点/难点

2.1教学重点

运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程及用配方法解一元二次方程．

2.2教学难点

1、通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

2、正确理解把形的代数式配成完全平方式.

3.  教学用具

制作课件，精选习题，教学用直尺、三角板、圆规、量角器、小黑板

4.  标签

  教学过程

一、引入新课

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动一：

［1］情境引入

【问题】

求出下列各式中x的值，并说说你的理由．

（1）x2=9    

（2）x2=5    （3）x2=a（a>0）．

【活动方略】

教师演示课件，给出题目．

学生根据所学知识解答问题．

【设计意图】

复习平方根的意义，解形如x2=n的方程，为继续学习引入作好铺垫．

二、新知介绍

活动二：

［2］一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？

【活动方略】

学生活动：

学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可以刷的面积，列出方程．在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程．

老师活动：

概括可用直接开平方法求解的一元二次方程的结构形式及其操作过程．

【设计意图】

创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．

活动三：

［3］对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？

从中你能得到什么结论？

（1）（2x-1）=5;

（2）x2+6x+9=2

【活动方略】

学生活动：

学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现

（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到

于是得到

对于

（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为

（1）的形式，然后利用

（1）的方法解决．

教师活动：

鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．

引导学生归纳：

在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成

的形式，那么直接开平方可得

【设计意图】

主体探究、归纳直接开平方法一般过程．

［4］新知应用

教材P36 练习．

补充习题：

解下列方程．

 1．x2-3=0      2．4x2-9=0    3.4x2+4x+1=1   4. x2-6x+9=0

【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

［5］应用拓展

例：

市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

分析：

设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是

10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：

设每年人均住房面积增长率为x，

则：

10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

【活动方略】

教师活动：

操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：

合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握直接开门平方法。

活动四：

［6］要使一块矩形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2，场地的长和宽分别是多少？

【活动方略】    

学生活动：

学生通过思考，自己列出方程，

然后讨论解方程的方法．

考虑设场地的宽为xm，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决。

老师活动：

在学生讨论方程x2+6x=16的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．

归纳：

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

【设计意图】

引导学生根据降次的思想，利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解方程．

活动五：

［7］利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？

（1）x2－8x+1=0；

（2）2x2+1=3x;

（3）3x2-6x+4=0

【活动方略】

学生活动：

学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律．经过分析

（1）中经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x－4）2=15；

（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即

方程两边都加上

方程可以化为

（3）按照

（2）的方式进行处理．

教师活动：

在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

【设计意图】

主体探究、通过解几个具体的方程，归纳作配方法解题的一般过程．

［8］新知应用

教材P39 练习第1、2题．

补充习题：

解下列方程．

（1）x2+2x-35=0   

（2）2x2-4x-1=0

【活动方略】

学生独立思考、独立解题．

教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）

【设计意图】

检查学生对基础知识的掌握情况.

［9］应用拓展

  例：

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

分析：

设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．

解：

设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

根据题意，得：

整理，得：

x2-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．

所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

【活动方略】

教师活动：

操作投影，将例题显示，组织学生讨论．

学生活动：

合作交流，讨论解答。

【设计意图】

使学生应用一元二次方程解有关实际问题，进一步掌握配方法。

三、复习总结和作业布置

［1］直接开平方法

一、选择题：

1.下列方程中，不能用直接开平方法的是（   ）

A. x2-3=0   B.（x-1）-4=0

C.x2+2x=0      D.（x-1）2=（2x+1）2

2.下列说法中正确的是（     ）

A.方程x2=4两边开平方，得原方程的解为x=2

B.x=3是方程x2=9的根，所以得根是x=3

C.方程x2-25=0的根是x=±5

D.方程x2-32x+64=0有两个相等的根

3.已知，方程的解是_____

4.方程2x2+m=0（m<0）的根为_____

5.若（x+1）2-1=0，则得值等于_____

A.±1     B.±2     C.0或2    D.0或-2

二、填空题：

6.当x=________时，分式

无意义；当x=________时，分式

的值为零。

7.若（a2+b2-3）2=25，则a2+b2=_________

［2］配方法

1．用适当的数填空：

①x2+6x+___=（x+___ ）2；②x2－5x+___ =（x－___ ）2；

③x2+x+___ =（x+___ ）2；④x2－9x+___ =（x－___ ）2

2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．

3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．

4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．

5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）

A．3    B．-3    C．±3     D．以上都不对

6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）

A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-1

7．把方程x+3=4x配方，得（ ）

A．（x-2）2=7  B．（x+2）2=21   

C．（x-2）2=1  D．（x+2）2=2

8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）

9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）

A．总不小于2     B．总不小于7    

C．可为任何实数    D．可能为负数

10．用配方法解下列方程：

（1）3x2-5x=2．       

（2）x2+8x=9     

（3）x2+12x-15=0 

（4）

x2-x-4=0

（5）6x2-7x+1=0   

（6）4x2-3x=52

答案

直接开平方法

一、选择题：

1.C

2.C

3.C

4.C

5.D

二、填空题：

6.－3，3

7.2或－8

配方法

1．①9，3 ②2.52，2.5  ③0.52，0.5  ④4.52，4.5     

 2．2（x-

）2-

3．4 4．（x-1）2=5，1±

5．C 6．A7．C8．B 9．A

10．

（1）方程两边同时除以3，得  

  配方，得 

（2）x1=1，x2=-9

（3）x1=-6+

，x2=-6-

  课堂小结

1.直接开平方法的理论根据是平方根的定义

2.用直接开平方法可解形如x2=a（a≥0）或（x－a）2=b（b≥0）类的一元二次方程。

3.方程x2=a（a≥0）的解为：

方程（x－a）2=b（b≥0）的解为：

4.用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①移项。

②将二次项系数化为1。

③配方。

④两边开平方。

⑤求出方程的解。

  课后习题

1．教科书第6页　练习；第9页　练习．

2．思考：

利用本节课的知识，试解关于x的方程（x+m）2+px+q=0．

  板书

解一元二次方程（直接开平方法及配方法）

1.直接开平方法的理论根据是平方根的定义

2.方程x2=a  （a≥0）的解为：

x=

3.方方程（x－a）2=b（b≥0）的解为：

x= 

4.把一元二次方程化为一般形式.

5.等号的左边写成完全平方的形式.

6.利用开平方来解方程.