数学统计与概率.docx
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数学统计与概率
数学：
——统计与概率
课程解读
一、学习目标：
1、收集、整理、描述和分析简单的数据。
2、理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、众数，能选择合适的统计量表示数据的不同特征。
3、认识条形统计图、折线统计图、扇形统计图，能根据需要选择合适的条形统计图，折线统计图直观、有效地表示数据。
4、能读懂简单统计图表，能从报刊杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息。
5、能解释统计结果，并根据结果作出简单的判断和预测，体会数据可能产生的误导。
6、了解事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性。
二、重点难点：
经历数据调查的一般过程，能选择合适的统计图表示数据。
能用分数表示简单事件发生的可能性，能解释游戏规则的公平性。
三、考点分析：
概率与统计是通过对数据的收集、整理、描述和分析，以及对不确定现象和事件发生可能性的刻画，来为人们更好地制定决策，提供依据和建议。
通过统计与概率的学习，可以缩短同学们与现实社会之间的距离，使同学们能用统计思想、随机观念等来解决现实问题，还有利于同学们建立自信心，提高灵活处理问题的能力，培养动手能力和创新精神。
本讲内容要求同学们熟练掌握并能灵活运用，本讲内容在考试中可能出现的题型为综合能力题，所占的分值约为5~8分。
典型例题
知识点一：
中位数与众数
1、中位数
将一组数据从大到小（或从小到大）排列，中间的数称为这组数据的中位数。
当一组数
据的个数是偶数个时，中位数取中间两个数的平均数。
中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响，因此，有时用它代表全体数据的一般水平更合适。
2、众数
一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情
况。
例1：
某校数学课外小组有30人，一次只有选择题的测试成绩如下：
得分
95
85
80
75
70
50
人数
2
5
10
7
5
1
这组数据的中位数是（），众数是（），平均数是（），用（）表示这个小组同学这次测试成绩的一般水平较合适。
思路分析：
1）题意分析：
本题主要考查同学们对中位数、众数、平均数这三个定义的掌握情况。
2）解题思路：
中位数就是将这组数据按照从大到小（或从小到大）的顺序排列，处在中间的一个数就是它的中位数。
由于共有30人，所以中位数是排列后第15个和第16个同学的成绩的平均数，观察上表可知，中位数=（80+80）÷2=80。
众数即是这组数据中出现次数最多的一个数，即80。
平均数是用30人的总成绩除以人数30，即是（95×2+85×5+80×10+75×7＋70×5＋50×1）÷30=78。
由上面的分析可知，用中位数或众数表示这个小组同学测试成绩的一般水平都可以。
解答过程：
这组数据的中位数是（80），众数是（80），平均数是（78），用（中位数或众数）表示这个小组同学这次测试成绩的一般水平较合适。
解题后的思考：
众数着眼于对各数据出现的次数的考察,是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量；注意：
一组数据中的众数有时不止一个，如数据2、3、2、l、3中，2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数。
例2：
王叔叔应聘到一家玩具小工厂打工，经理告诉他说：
“我们这里的报酬不错，平均每月600元”。
工作一个月后，王叔叔出全勤只领到了200元，于是找经理理论，经理说“我厂的月平均工资就是600元”，还向他出示了一张工资表：
人员
经理
副经理
领工
后勤
工人
人数
1
1
6
5
10
月工资（元）
4800
2000
500
400
200
请你解释王叔叔被欺骗的原因。
王叔叔应该怎样去了解这个玩具厂的工资水平？
思路分析：
1）题意分析：
本题主要考查同学们对平均数和中位数的理解。
2）解题思路：
本题中经理、副经理的工资数据远远高于其他数据，经理正是利用了平均数不能正确反映这组数据的一般水平这一原因，欺骗了王叔叔。
解答过程：
（1）王叔叔可直接考察工人的月平均工资。
（2）众数，工人月工资基本上都是200元。
（3）中位数，将工资按一定的顺序排列，取中位数来表示工资的一般水平。
4800，2000，500，500，500，500，500，500，400，400，400，400，400，200，200，200，200，200，200，200，200，200，200，中位数是400元。
解题后的思考：
在数据统计中，经常用平均数来反映全体数据的一般水平，但它也有局限性，当一组数据中出现了个别较大或较小的数时，由于平均数受
这些较大数和较小数的影响，远远高于或低于一般水平。
为克服这一困难，我们还经常用“中位数”“众数”或缩小平均数范围来表示某组数的一般水平。
小结：
“中位数和众数”是在同学们学过统计图，统计表以及统计的意义后，让同学们知道除可从形象的统计图表了解一组数据的概貌以外，一些反映
“多数水平”、“普遍水平”的中位数和众数也可代表这组数据。
当所处理的问题所含数据较少时，可通过计算直接求得结果；当所处理的问题含有很多
数据时，手工计算效率较低，无法及时取得必要的信息，可以运用计算器，以迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于讨论和对实际意义的解释中。
知识点二：
统计表
1、统计表：
把收集到的资料进行数据整理后制成表格，用来分析情况，反映问题。
这种表格叫做统计表。
2、制作统计表：
制作统计表时，首先要搜集数据，整理数据，然后根据资料和指标要求确定表的格式和项目。
例3：
把下面的统计表填写完整。
班级
人数
共捐款（元）
平均每人捐款（元）
合计
一班
40
96
二班
35
3
思路分析：
1）题意分析：
本例是一道关于平均数、统计表的综合题，主要考查同学们的观察、分析、推理能力。
2）解题思路：
由表中的一班人数与捐款总数可求出平均每人捐款数。
二班35人，平均每人捐3元，其捐款总数为105元。
解答过程：
班级
人数
共捐款（元）
平均每人捐款（元）
合计
75
201
2.68
一班
40
96
2.40
二班
35
105
3
解题后的思考：
在做这种统计表的题时，同学们要理解统计表中各数据的意义，分析数量关系是填表的关键。
例4：
把下面的统计表填写完整。
项目
数量
车间
生产零件个数
合格零件个数
合格率
合计
1050
甲车间
500
96%
乙车间
530
思路分析：
1）题意分析：
本题主要考查同学们百分数统计图。
2）解题思路：
我们首先要求出甲车间合格零件的个数，再求出乙车间生产零件的个数；算出合格率。
再算出合计中的合格零件个数。
解答过程：
甲车间合格零件的个数：
500×96%=480（个）
乙车间生产零件的个数：
1050－500=550（个）合格率：
530÷550≈0.964=96.4%
合计中合格零件的个数：
530＋480=1010（个）合格率：
1010÷1050≈0.962=96.2%
项目
数量
车间
生产零件个数
合格零件个数
合格率
合计
1050
1010
96.2%
甲车间
500
480
96%
乙车间
550
530
96.4%
解题后的思考：
填写百分数的统计表主要依据合计与部分之间的关系，及百分数所表示的合格人数与总人数之间的数量关系来逐次推导所缺的数据。
另外需要注意的是，合计栏中的合格率必须用合格零件个数÷零件总数，而不能将甲、乙两车间合格率相加，也不能将它们相加后再除以2。
小结：
统计表是用原始数据制成的一种表格。
为了实际需要，人们常常要把工农业生产、科学技术和日常工作中所得到的相互关联的数据，按照一定的要求进行整理，归类，并按照一定的顺序把数据排列起来，制成表格。
知识点三：
统计图
（1）统计图：
用点、线、面等来表示相关联的量之间的数量关系的图形，叫做统计图。
常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
（2）条形统计图：
①条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。
②条形统计图的绘制方法：
a整理数据；b画出纵轴和横轴，用一个长度单位表示一定的数量；c根据数量的多少画成宽窄一样，长短不同的直条，并按一定顺序排列起来；d写出统计图的名称和制图日期，并标出图例。
（3）折线统计图：
①折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
②折线统计图的绘制方法：
a整理数据；b画出纵轴和横轴用一个长度单位表示一定的数量；c根据数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来；d写出统计图的名称和制图日期，并标出图例。
（4）扇形统计图
①扇形统计图是用整个圆的面积表示总数，用圆中扇形的面积表示部分所占总数的百分数。
②扇形统计图的绘制方法：
a先正确算出统计的各部分占总数的百分比，再算出与各部分所对应的扇形圆心角的度数；b取适当半径画一个圆，用量角器量出各扇形的圆心角，作出扇形；c注明各扇形表示的内容和所占的百分比，并用不同的标记加以区别；d写上标题及制图日期。
例5：
下图是2004年6月13日全国部分城市空气质量预报，通过看图你能提出什么问题？
（至少提出两点），得出什么结论和建议？
全国部分城市空气质量预报
2004年6月13日
污染指数空气质量
思路分析：
1）题意分析：
本题主要考查学生能否根据条形统计图所获得的信息，解决一些有价值的实际问题，培养学生认图的能力，处理统计信息的能力和综合运用数学知识的能力，教育学生增强环保意识。
2）解题思路：
从条形统计图中，很容易看出各城市的污染指数。
因此，我们可以提问：
（1）哪个城市的污染指数高？
（2）哪个城市的污染指数低？
说明了什么？
我们可以得出结论：
沿海城市的空气质量较好，内陆城市较差。
可从环保措施方面对污染指数较高的太原提出建议：
加强环保工作，多植树，净化空气。
解答过程：
（1）哪个城市的污染指数高？
（2）哪个城市的污染指数低？
说明了什么？
结论和建议见解题思路。
解题后的思考：
本题是一道较开放的题，同学们可以统计图中获取相关的资料，自主地提出问题，并解答出来。
只要提出的问题合理就可以。
例6：
下图是一位病人的体温记录折线图，你从图中可以看出什么？
请你谈谈自己的看法。
（至少要说出3点看法）
思路分析：
1）题意分析：
本题主要考查学生对单式折线统计图特点的理解能力、挖掘信息的能力。
2）解题思路：
通过对单式折线统计图的观察、分析，从而领悟到折线统计图所表示的意义和作用。
解答过程：
通过对该图的观察分析，我们可以得到以下信息：
（1）护士每隔6小时给病人量一次体温。
（2）这位病人的体温最高是39.5°，最低是36.8°。
（3）病人的体温在4月7日6点到12点下降最快，在4月8日18点到4月9日18点比较稳定。
解题后的思考：
折线统计图不但可以表示数量的多少，还能表示出数量的增减变化。
例７：
如图是林场育苗基地树苗情况统计图，杨树比槐树多百分之几？
思路分析：
1）题意分析：
本题主要考查同学们对扇形统计图的掌握情况。
2）解题思路：
要求杨树比槐数多百分之几，就是求杨树比槐树多的棵树占槐树的百分之几。
解答过程：
（33%－17%）÷17%≈0.941=94.1%
答：
杨树比槐树多94.1%。
解题后的思考：
用扇形统计图解决问题时，要弄清楚题意，明确把什么看成一个整体，再确定算法。
小结：
条形统计图反映事物的具体数目，折线统计图反映事物的变化趋势，扇形统计图反映的是部分与整体的关系。
三种统计图有着各自的特点，因此解决实际问题时要注意统计图的特点，学会收集、描述、分析数据，从而作出合理的抉择。
例8：
华夏家电商场在五一期间推出一个促销活动，只要在本商场购物满1000元，就可以参加摸奖活动，两个盒子中有红、黄两种球，分别标有数字1~10，奖励规则如下
从这一则摸奖公告中，你了解到哪些信息？
思路分析：
1）题意分析：
本题所反映的情况在生活中经常存在，集中反映了数学对实践的指导作用，培养同学们用所学的数学知识去分析生活中种种现象的能力。
2）解题思路：
从公告中可知：
红（1~10）与黄（1~10）共有100种不同的搭配，红10与黄10只是其中的一种，因此摸得一等奖的可能性为1%。
红8的搭配共10种，同理黄8的搭配也有10种，除去重复计算的红8、黄8，有红8或者黄8的可能性共有19种，因此中二等奖的概率为19%。
两个都是单数球的搭配有1~1，1~3，1~5，1~7，1~9，3~1，3~3，……共25种，获奖概率是25%。
解答过程：
从这一则摸奖公告中，可以了解到中一等奖的可能性为1%，中二等奖的概率为19%，中三等奖的概率为25%。
解题后的思考：
在实际生活中，事件发生的情况有一定、可能、不可能等几种情况，发生的几率有大有小，通过对事件发生的可能性的分析，可以帮助人们作出合理的推断和预测，选择公平的游戏，设计公平的游戏规则。
同步练习
（答题时间：
50分钟）
一、填空题
1、用统计图表示数量之间的关系比较形象。
常用的统计图有（ ）、（ ）、（ ）三种。
2、（）统计图可以清楚地表示出各部分同总数之间的关系；（）统计图不但可以表示出各种数量的多少，而且可以很清楚地表示出数量增减变化的情况。
3、某公司销售部有15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，如下表
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
（1）这组数据的众数是（），中位数是（）。
（2）这组数据的平均数是（）。
（3）用（）表示该公司销售部人员的销售额的一般水平较合适。
5、从下面统计图中可知，星期（）的利润最少，星期六的利润大约是（）万元。
二、选择题
1、医生一般绘制（）统计图来反映病人的体温变化情况。
A、条形B、折线C、扇形
2、为了表示某一地区一年内月平均气温的变化情况，可把月平均气温制成（）统计图。
A、条形B、折线C、扇形
3、既能表示出数量的多少，又能清楚地表示增减变化情况的是（）。
A、条形B、折线C、扇形
4、投掷3次硬币，有2次正面朝上，有1次反面朝上，那么，投掷4次硬币正面朝上的可能性是（）。
5、六
（1）班参加植树活动，班主任问班长出勤的情况，班长说：
“我们班共有50人，没有全部到齐，但大部分来了。
”出勤率可能是（）。
A、48%B、50%C、100%D、96%
三、综合应用题：
1、结合统计表中的数据，解答问题。
某空调城2006年下半年销售额统计表
月份
7
8
9
10
11
12
销售额（万元）
30
18
20
25
50
（1）已知7月份的销售额是8月份的75%，8月份的销售额是多少万元？
（2）月销售额超过下半年月平均销售额的月份有哪些？
2、看图回答问题：
（1）从图中看，小勇第（）次考试成绩最好，是（）分；第（）次考试成绩最差，是（）分。
这两次相差（）分。
（2）小勇第四次考试成绩比第三次提高了（）%。
（3）小勇这四次考试的平均成绩是（）分。
3、六年级一班的一次数学测验，全班都达到及格线以上，具体统计如下图：
（1）请在纵轴括号内标出每个刻度表示的数。
（2）已知在及格段的女生人数是5人，请在图上表示出来，将条形统计图补充完整。
（3）求这次测验中，全班的优秀率是多少？
4、下面是某商店2005年营业额统计图，先在图中的括号里填上数据，再根据图中的数据解决问题。
（1）上半年平均每月营业额是多少万元？
（2）请你提出一个两步计算的百分数问题，并解决这个问题。
5、观察与解释。
根据统计图填空：
（1）售出图书最多的一天比最少的一天多（）册。
（2）本周一共售出图书（）册。
（3）平均每天售出图书（）册。
（4）星期五售出的图书册数是星期四售出册数的（）%。
（5）你还能提出哪些问题？
试题答案
一、填空题
1、用统计图表示数量之间的关系比较形象。
常用的统计图有（条形统计图）、（折线统计图）、（扇形统计图）三种。
２、（扇形）统计图可以清楚地表示出各部分同总数之间的关系；（折线）统计图不但可以表示出各种数量的多少，而且可以很清楚地表示出数量增减变化的情况。
3、某公司销售部有15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量，如下表
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
（1）这组数据的众数是（210），中位数是（210）。
（2）这组数据的平均数是（320）。
（3）用（平均数）表示该公司销售部人员的销售额的一般水平较合适。
4、口袋里有3个红球和2个白球，球除颜色外完全相同。
从中任意摸出一个球，摸出红球的可能性是
，摸出白球的可能性是
5、从下面统计图中可知，星期
（一）的利润最少，星期六的利润大约是（10）万元。
二、选择题
1、医生一般绘制（B）统计图来反映病人的体温变化情况。
A、条形B、折线C、扇形
2、为了表示某一地区一年内月平均气温的变化情况，可把月平均气温制成（B）统计图。
A、条形B、折线C、扇形
3、既能表示出数量的多少，又能清楚地表示增减变化情况的是（B）。
A、条形B、折线C、扇形
4、投掷3次硬币，有2次正面朝上，有1次反面朝上，那么，投掷4次硬币正面朝上的可能性是（B）。
5、六
（1）班参加植树活动，班主任问班长出勤的情况，班长说：
“我们班共有50人，没有全部到齐，但大部分来了。
”出勤率可能是（D）。
A、48%B、50%C、100%D、96%
三、综合应用题
1、结合统计表中的数据，解答问题。
某空调城2006年下半年销售额统计表
月份
7
8
9
10
11
12
销售额（万元）
30
40
18
20
25
50
（1）已知7月份的销售额是8月份的75%，8月份的销售额是多少万元？
30÷75%=40（万元）
答：
8月份的销售额是40万元。
（2）月销售额超过下半年月平均销售额的月份有哪些？
下半年月平均销售额：
（30+40+18+20+25+50）÷6=30.5
答：
月销售额超过下半年月平均销售额的月份有8月、12月。
2、看图回答问题：
（1）从图中看，小勇第
（二）次考试成绩最好，是（99）分；第（三）次考试成绩最差，是（80）分。
这两次相差（19）分。
（2）小勇第四次考试成绩比第三次提高了（20）%。
（3）小勇这四次考试的平均成绩是（91.75）分。
3、六年级一班的一次数学测验，全班都达到及格线以上，具体统计如下图：
（1）请在纵轴括号内标出每个刻度表示的数。
（2）已知在及格段的女生人数是5人，请在图上表示出来，将条形统计图补充完整
（3）求这次测验中，全班的优秀率是多少？
（5+4）÷（4+5+6+10+6+5）=0.25=25%
答：
全班的优秀率是25%。
4、下面是某商店2005年营业额统计图，先在图中的括号里填上数据，再根据图中的数据解决问题。
（1）上半年平均每月营业额是多少万元？
（10+20）÷6=5（万元）
答：
上半年平均每月营业额是5万元。
（2）请你提出一个两步计算的百分数问题，并解决这个问题。
下半年平均每月的营业额比上半年平均每月的营业额增长百分之几？
（40+50）÷6=15（万元）
（15-5）÷5×100%=200%
答：
下半年平均每月的营业额比上半年每月的营业额增长200%。
5、观察与解释。
根据统计图填空：
（1）售出图书最多的一天比最少的一天多（600）册。
（2）本周一共售出图书（4137）册。
（3）平均每天售出图书（591）册。
（4）星期五售出的图书册数是星期四售出册数的（137.5）%。
（5）你还能提出哪些问题？
（自主回答略）
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