异面直线的判断与所成的角.docx

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异面直线的判断与所成的角

异面直线的判断与所成的角

一．选择题（共10小题）

1．异面直线是指（　　）

A．空间中两条不相交的直线

B．平面的一条直线与平面外的一条直线

C．分别位于两个不同平面的两条直线

D．不同在任何一个平面的两条直线

2．已知：

空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且.，则直线FH与直线EG（　　）

A．平行B．相交C．异面D．垂直

3．在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（　　）

A．2B．4C．6D．8

5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线A1B成45°的棱有（　　）条．

A．4B．8C．12D．2

6．如图所示，在三棱锥P﹣ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（　　）

A．2对B．3对C．4对D．6对

7．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直

C．相交成60°角D．异面且成60°角

8．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（　　）

A．12对B．24对C．36对D．48对

9．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（　　）

A．B．C．D．

10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（　　）

A．①②B．③④C．②③D．①③

二．填空题（共5小题）

11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　．

12．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为　　．

13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，异面直线A'D与AB'所成角的大小是　　．

14．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是　　．

15．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为　　．

异面直线的判断与所成的角

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．异面直线是指（　　）

A．空间中两条不相交的直线

B．平面的一条直线与平面外的一条直线

C．分别位于两个不同平面的两条直线

D．不同在任何一个平面的两条直线

【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．

【解答】解：

A不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．

B不正确，因为平面的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．

C不正确，因为分别位于两个不同平面的两条直线可能平行，也可能相交．

D正确，这就是异面直线的定义．

故选D．

【点评】本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法．

2．已知：

空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且.，则直线FH与直线EG（　　）

A．平行B．相交C．异面D．垂直

【分析】由已知EF为三角形ABD的中位线，从而EF∥BD且EF=BD，由.，得在四边形EFHG中，EF∥HG，即E，F，G，H四点共面，且EF≠HG，由此能得出结论．

【解答】解：

：

∵四边形ABCD是空间四边形，E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF为三角形ABD的中位线

∴EF∥BD且EF=BD

又∵.，

∴△CHG∽△CDB，且HG∥BD，HG=BD

∴在四边形EFHG中，EF∥HG

即E，F，G，H四点共面，且EF≠HG，

∴四边形EFGH是梯形，

∴直线FH与直线EG相交，

故选B．

【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判断出EF∥HG且EF≠HG，是解答本题的关键．

3．在下列图形中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】利用G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，线面的关系可判断GH、MN是异面直线的图形．

【解答】解：

由题意：

G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，

对于图1：

G，M是中点，上下面平行，故得GH、MN平行；

对于图2：

过N点作GH的平行线，可得GH与MN相交．GH与MN不平行；且GH与MN不在同一平面，故得直线GH、MN是异面直线；

对于3：

GH与MN不在同一平面，GH与MN不平行，延长必相交．故得直线GH、MN不是异面直线；

对于4：

取GH的中点为E，可得GENM是平行四边形．故得GH、MN平行；

图2，图3中直线GH、MN是异面直线；

故选：

B．

【点评】本题考查了两条直线在空间图形中的位置的判断．利用了正三棱柱的特征和中点的性质．属于基础题．

4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是（　　）

A．2B．4C．6D．8

【分析】作出图形，列举出与面对角线AC垂直且异面的棱．

【解答】解：

如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的十二条棱中，

与面对角线AC垂直且异面的棱有：

BB1和DD1，

∴与面对角线AC垂直且异面的棱的条数是2．

故选：

A．

【点评】本题考查满足条件的棱的条数的求法，考查长方体的结构特征等基础知识，考查数形结合思想，是基础题．

5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线A1B成45°的棱有（　　）条．

A．4B．8C．12D．2

【分析】根据线线角的定义在正方体中逐一寻找判断即可．

【解答】解：

如图所示：

在正方形ABB1A1中，AA1、AB、BB1、A1B1与A1B均成45°角，

根据线线角的定义知，DD1、CC1、DC、D1C1都与A1B成45°角，

所以满足条件的棱有8条，

故选：

B．

【点评】本题考查空间中异面直线所成角的定义及其求法，属基础题．

6．如图所示，在三棱锥P﹣ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有（　　）

A．2对B．3对C．4对D．6对

【分析】画出三棱锥，找出它的棱所在直线的异面直线即可．

【解答】解：

如图所示，三棱锥P﹣ABC中，棱PA与BC是异面直线，棱PB与AC是异面直线，棱PC与AB是异面直线；

共3对．

故选：

B．

【点评】本题考查了空间中的异面直线的判定问题，解题时应结合图形进行解答，是基础题．

7．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直

C．相交成60°角D．异面且成60°角

【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．

【解答】解：

如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，

所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，

因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°

故选D．

【点评】本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．

8．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（　　）

A．12对B．24对C．36对D．48对

【分析】画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4，用正方体的棱数乘以2即可得到结果．

【解答】解：

如图，

在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，

正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，

∴异面直线共有12×2=24对．

故选：

B．

【点评】本题考查异面直线的判定，体现了组合思想方法，是基础题．

9．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（　　）

A．B．C．D．

【分析】利用一面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的2条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．

【解答】解：

A中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．

B中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．

D中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，

故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件．

C中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件．

故选C

【点评】本题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断2条直线的位置关系，属于基础题．

10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（　　）

A．①②B．③④C．②③D．①③

【分析】将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．

【解答】解：

将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，

故应选D

【点评】考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．

二．填空题（共5小题）

11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于　　．

【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．

【解答】解：

取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则

∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH

∴∠OEH为异面直线所成的角．

在△OEH中，OE=，HE=，OH=．

由余弦定理，可得cos∠OEH===．

故答案为：

【点评】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角．

12．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为　45°　．

【分析】连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，先证明∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即可得出结论．

【解答】解：

连接AC，BD交于点O，连接OE，OP

因为E为PC中点，所以OE∥PA，

所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．

因为四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥，

所以PO⊥平面ABCD，

所以AO为PA在面ABCD的射影，所以∠PAO即为PA与面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，

因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．

△PBC中，PB=PC=2，BC=，∴2（4+2）=4+4BE2，∴BE=，

∴OE2+OB2=BE2，

所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直线PA与BE所成的角为45°．

故答案为为45°．

【点评】本题考查异面直线所成角，考查线面垂直，比较基础．

13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，异面直线A'D与AB'所成角的大小是　　．

【分析】根据题意，连接B′C，得出∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角，利用等边三角形求出它的大小．

【解答】解：

正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，

连接A′D、AB′、B′C，如图所示；

则A′B′∥DC，且A′B′=DC，

∴四边形A′B′CD是平行四边形，

∴A′D∥B′C，

∴∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角，

连接AC，则△AB′C是边长为等边三角形，

∴∠AB′C=，

即异面直线A'D与AB'所成角是．

故答案为：

．

【点评】本题考查了空间中两条异面直线所成角的作法与计算问题，是基础题．

14．如图是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是　60°　．

【分析】如图：

由于AB∥MC且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角，根据由△CMD为等边三角形，可得

∠MCD=60°即为所求．

【解答】解：

原正方体如图所示：

由于AB∥MC且AB=MC，故直线AB与CD成的角等于CD与CM成的角．

由△CMD为等边三角形，∴∠MCD=60°，

故直线AB与CD在原正方体中所成角的大小是60°．

故答案为：

60°．

【点评】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了数形结合的数学思想和转化的数学思想．

15．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为　60°　．

【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．

【解答】解：

取BC的中点G，连接GM，GN

M、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，

所以：

GM==5，GN=

在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3

利用余弦定理得：

|=

即：

cos

所以：

∠MGN=120°

所以：

异面直线AC与BD所成的角为60°

故答案为：

60°

【点评】本题考查的知识要点：

异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．