人教版数学选修22第一章练习题与解析.docx

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人教版数学选修22第一章练习题与解析

人教版数学选修

2-2第一章练习题及解析

1．曲线y＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线

y＝4x－1，则切线方程为（）

A．y＝4x

B．y＝4x－4

C．y＝4x－8

D．y＝4x或y＝4x－4

[答案]

D

[解析]

y′＝lim

y

x

x→0

＝lim

[x＋x3＋x＋x－2]－x3＋x－2

x

x→0

＝lim

（（x）

2＋3x

x＋3x2＋1）

x→0

＝3x2＋1.

由条件知，3x2＋1＝4，∴x＝±1，

当x＝1时，切点为（1,0），切线方程为y＝4（x－1），

即y＝4x－4.

当x＝－1时，切点为（－1，－4），切线方程为y＋4＝4（x＋1），

即y＝4x.

2．设点P是曲线y＝x3－

3x＋2上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值

3

范围为（）

A．0，

π∪

2π，π

B．0，

π∪

5π，π

2

3

2

6

2

π

5

D．

，

C．3π，π

2

6π

[答案]

A

[解析]

设P（x0，y0），

x＋x3－3x＋x＋2－x3＋3x－2

∵f′（x）＝lim

3

3

x

x→0

＝3x2－

3，∴切线的斜率k＝3x02－

3，

∴tanα＝3x02－3≥－3.

π2

∴α∈0，2∪3π，π.故应选A.

3．设P为曲线C：

y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为

π

[0，4]，则点P横坐标的取值范围为（

）

1

A．[－1，－2]

B．[－1,0]

C．[0,1]

D．[

1，1]

2

[答案]

A

[解析]

考查导数的几何意义．

π

∵y′＝2x＋2，且切线倾斜角θ∈[0，4]，

∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，

∴－1≤x≤－

1

2.

4．已知f（x）＝x2＋3xf′

（2），则f′

（2）＝________.

[答案]

－2

[解析]

∵f′（x）＝2x＋3f′

（2），

∴f′

（2）＝4＋3f′

（2），∴f′

（2）＝－2.

1

5．求过点（2,0）且与曲线y＝x相切的直线方程．

[解析]

易知（2,0）不在曲线y＝

1上，令切点为（x0，y0），则有y0＝

1

.①

x

x0

1

1

又y′＝lim

y

x＋x－x

1

＝lim

x

＝－

2，

x→0

x

x→0

x

1

所以y′|x＝x0＝－x20，

1

即切线方程为y＝－x20（x－2）

而

y0

1

②

＝－2

x0－2

x0

由①②可得x0＝1，

故切线方程为y＋x－2＝0.

6．若直线y＝kx是曲线y＝x3－3x2＋2x上一点处的切线，求实数

k的值．

[解析]

0，x03

－3x02＋2x0

），

设切点（x

y

∵x＝

x0＋

x3－3x0＋

x2＋2x0＋

x

x－x30＋3x20－2x0

＝（x）2＋3x20＋3x·x0－6x0－3x＋2，

∴limy＝3x20－6x0＋2，

x→0x

∴k＝3x20－6x0＋2，切线方程为

y－（x30－3x20＋2x0）＝（3x20－6x0＋2）（x－x0），

切线过原点，

∴0－（x30－3x20＋2x0）＝（3x20－6x0＋2）（0－x0），

3

1

解得x0＝0或

2，则k＝2

或－

4.

7．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点（1,0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1

⊥l2.

（1）求直线l2的方程；

（2）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

[解析]

（1）y′|x＝1

＝lim

1＋x2＋1＋x－2－12＋1－2

＝3，

x

x→0

所以l1的方程为：

y＝3（x－1），即y＝3x－3.

设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B（b，b2＋b－2），

y′|x＝b＝lim

b＋x2＋b＋x－2－b2＋b－2

x

x→0

＝2b＋1，所以l2的方程为：

y－（b2＋b－2）＝

（2b＋1）·（x－b），即y＝（2b＋1）x－b2－2.

2

1

22

因为l1⊥l2，所以

3×（2b＋

1）＝－1，所以b＝－

3，所以l2

的方程为：

y＝－

3x－9.

1

（2）由

y＝3x－3，

x＝6，

1

22

得

5，

y＝－3x－9，

y＝－

2

即l1与l2的交点坐标为

1，－5.

6

2

又l1，l2与x轴交点坐标分别为（1,0），－22，0.3

1×－

5×

22

125

所以所求三角形面积

S＝2

2

1＋3＝12.

8．（2014郑·州一中期中

）函数f（x）的定义域为

R，f（－2）＝2013，对任意

x∈R，都有

f′（x）<2x成立，则不等式

f（x）>x2＋2009的解集为（

）

A．（－2,2）

B．（－2，＋∞）

C．（－∞，－2）

D．（－∞，＋∞）

[答案]C

[解析]令F（x）＝f（x）－x2－2009，则F′（x）＝f′（x）－2x<0，∴F（x）在R上为减函数，

又F（－2）＝f（－2）－4－2009＝2013－2013＝0，

∴当x<－2时，F（x）>F（－2）＝0，

∴不等式f（x）>x2＋2009的解集为（－∞，－2）．

9．已知y＝1x3＋bx2＋（b＋2）x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．

3

[答案]

b<－1或b>2

[解析]

若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则

＝4b2－4（b＋2）≤0，∴－1≤b≤2，

由题意b＜－1或b＞2.

10．（2014·夏三市联考宁）若函数f（x）的导函数f′（x）＝x2－4x＋3，则f（x＋1）的单调递减

区间是________．

[答案]（0,2）

[解析]由f′（x）＝x2－4x＋3<0得1

＋1<3得f（x＋1）的单调递减区间（0,2）．

11．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（2a－3）x－1.

（1）若f（x）的单调减区间为（－1,1），则a的取值集合为________．

（2）若f（x）在区间（－1,1）内单调递减，则a的取值集合为________．

[答案]

（1）{0}

（2）{a|a<0}

[解析]f′（x）＝3x2＋2ax＋2a－3＝（x＋1）（3x＋2a－3）．

（1）∵f（x）的单调减区间为（－1,1），

∴－1和1是方程f′（x）＝0的两根，

3－2a

∴3

＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．

（2）∵f（x）在区间（－1,1）内单调递减，∴f′（x）<0在（－1,1）内恒成立，

又二次函数y＝f′（x）开口向上，一根为－1，∴必有

3－2a

3

>1，∴a<0，

∴a的取值集合为{a|a<0}．

[点评]

f（x）的单调减区间为（m，n），则必有f′（m）＝0，f′（n）＝0或x＝m，x＝n是函

数f（x）的不连续点，f（x）在区间（m，n）上单调递减，则（m，n）是f（x）的单调减区间的子集，

f′（x）≤0在（m，n）上恒成立．

1

12．求证：

方程x－2sinx＝0只有一个根x＝0.

1

[证明]设f（x）＝x－2sinx，x∈（－∞，＋∞），

1

则f′（x）＝1－2cosx＞0，

∴f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数．

而当x＝0时，f（x）＝0，

1

∴方程x－2sinx＝0有唯一的根x＝0.

13．（2013·国大纲文，全21）已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋3x＋1.

（1）当a＝－2时，讨论f（x）的单调性；

（2）若x∈[2，＋∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

[解析]

（1）当a＝－2时，f（x）＝x3－32x2＋3x＋1，

f′（x）＝3x2－62x＋3.

令f′（x）＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.

当x∈（－∞，2－1）时，f′（x）>0，f（x）在（－∞，2－1）上是增函数；

当x∈（2－1，2＋1）时，f′（x）<0，f（x）在（2－1，2＋1）上是减函数；

当x∈（2＋1，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）在（2＋1，＋∞）上是增函数．

5

（2）由f

（2）≥0得a≥－4.

5

当a≥－4，x∈（2，＋∞）时，

2＋2ax＋1）≥3（x2－5

3（x－

1

f′（x）＝3（x

2x＋1）＝

2）（x－2）>0，

所以f（x）在（2，＋∞）上是增函数，于是当

x∈[2，＋∞）时，f（x）≥f

（2）≥0.

5

综上，a的取值范围是

[－4，＋∞）．

14．曲线y＝x在点（－1，－1）处的切线方程为（）

x＋2

A．y＝2x＋1

B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3

D．y＝－2x－2

[答案]

A

[解析]

本小题主要考查导数的运算及其几何意义，直线的点斜式方程等基础知识．

－1＋x

－－1

－1＋x＋2

∵f′（－1）＝lim

x

x→0

＝lim

－1＋x＋1＋x

2

＝lim

＝2，

x→0

1＋xx

x→0

1＋x

∴曲线在（－1，－1）处的切线方程为

y－（－1）＝2（x＋1），即y＝2x＋1.

15．过点P（－2,0）作曲线y＝x的切线，求切线方程．

[解析]

因为点P不在曲线y＝x上，

故设切点为Q（x0，x0），∵y′＝

1，

2

x

∴过点Q的切线斜率为：

1＝

x0，∴x0＝2，

2

x0x0＋2

∴切线方程为：

y－2＝1

（x－2），

2

2

即：

x－22y＋2＝0.

16．函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）

A．无极大值点、有四个极小值点

B．有一个极大值点、两个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

[答案]C

[解析]设f′（x）与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，

当x0，f（x）为增函数，

当x1

同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．

[点评]有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f（x）的图象还是f′（x）的图

象，若给的是f（x）的图象，应先找出f（x）的单调区间及极（最）值点，如果给的是f′（x）的图象，应先找出f′（x）的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．

17．（2014·溪一中期中屯）设f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′（x）满足f′

（1）＝2a，f′

（2）

＝－b，其中常数a、b∈R.

（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

－x

（2）设g（x）＝f′（x）e，求函数g（x）的极值．

[解析]∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

∵f′

（1）＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，

∵f′

（2）＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，

∴a＝－32，b＝－3，

3

3

2

2

∴f（x）＝x

－

2x

－3x＋1，f′（x）＝3x－3x－3，

5

∴f

（1）＝－2，f′

（1）＝－3，

5

∴切线方程为y－（－2）＝－3（x－1），

即6x＋2y－1＝0.

（2）∵g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，∴g′（x）＝（6x－3）e－x＋（3x2－3x－3）·（－e－x），

∴g′（x）＝－3x（x－3）e－x，

∴当00，当x>3时，g′（x）<0，当x<0时，g′（x）<0，

∴g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0,3）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减，

所以g极小（x）＝g（0）＝－3，g极大（x）＝g（3）＝15e－3.

18．（2014山·东省菏泽市期中

）已知函数f（x）＝1x2＋alnx.

2

（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；

（2）若a＝1，求证：

在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数

2

3

的图象的下方．

g（x）＝x

3

[解析]

（1）由于函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

当a＝－1时，f′（x）＝x－1＝x＋1x－1，

x

x

令f′（x）＝0得x＝1或x＝－1（舍去），

当x∈（0,1）时，f′（x）<0，因此函数f（x）在（0,1）上单调递减，

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，因此函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，

则x＝1是f（x）的极小值点，

1

所以f（x）在x＝1处取得极小值为

f

（1）＝2.

1

2

2

3

（2）证明：

设F（x）＝f（x）－g（x）＝

2x＋lnx－

3x，

则F′（x）＝x＋1－2x2＝－2x3＋x2＋1

xx

－x－12x2＋x＋1

＝

x

，

当x>1时，F′（x）<0，

故f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，

1

又F

（1）＝－6<0，

∴在区间[1，＋∞）上，F（x）<0恒成立，

即f（x）

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数

g（x）图象的下方．

19．（2014山·西省太原五中月考）已知函数f（x）＝xlnx.

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若f（x）≥－x

2＋ax－6在（0，＋∞）上恒成立，求实数

a的取值范围；

－2,

（3）过点A（－e

0）作函数y＝f（x）图象的切线，求切线方程．

[解析]

（1）∵f′（x）＝lnx＋1，∴由f′（x）<0得lnx<－1，

1

1

∴0

（0，e）．

（2）∵f（x）≥－x2＋ax－6，∴a≤lnx＋x＋

6，

x

设g（x）＝lnx＋x＋6x，则

x2＋x－6x＋3x－2

g′（x）＝

x

2

＝

2

x

，

当x∈（0,2）时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减；

当x∈（2，＋∞）时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增．∴g（x）最小值为g

（2）＝5＋ln2，

∴实数a的取值范围是（－∞，5＋ln2]．

（3）设切点T（x0，y0），则kAT＝f′（x0），

x0lnx0

2

∴

1

＝lnx0＋1，即ex0＋lnx0＋1＝0，

x0＋2

e

设h（x）＝e2x＋lnx＋1，则h′（x）＝e2＋1x，

当x>0时h′（x）>0，∴h（x）是单调递增函数，

∴h（x）＝0最多只有一个根，

1

2

1

1

1

又h（2

×2

2

0＝2

e）＝e

e＋lne＋1＝0，∴x

e，

由f′（x0）＝－1

1

得切线方程是x＋y＋e2＝0.

2

1，

20．在曲线y＝x（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及

x轴所围成的面积为12

试求：

（1）切点A的坐标；

（2）过切点A的切线方程．

[解析]

如图所示，设切点

A（x0，y0），由y′＝2x知过A点的切线

方程为y－y0＝2x0（x－x0），

2

即y＝2x0x－x0.

令y＝0得x＝x0，即Cx0，0.

22

设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，

213

S＝S曲边△AOB－S△ABC，S曲边△AOB＝∫x00xdx＝3x0，

△

1

1

－x0

2

1

3

S

ABC＝

2|BC||AB|·＝2

x0

2

·x

4x

0＝

0，

即S＝1x03－1x03＝

1x03＝1.

3

4

12

12

所以x0＝1，从而切点

A（1,1），切线方程为

y＝2x－1.

21．（2014山·东省德州市期中

）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

y（升）

关于行驶速度

x（千米/小时）的函数为y＝

1

x3－3x＋8（0

128000

80

（1）当x＝64千米/小时时，行驶100

千米耗油量多少升？

（2）若油箱有

22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？

[解析]

（1）当x＝64千米/小时