水质评价问题的数学模型.docx

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水质评价问题的数学模型

水质评价问题的数学模型

摘要

本文以某村四个水井因农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染为背景，通过对这四个水井的24个水质监测数据的统计，对四个水井的综合水质进行了细致的分析。

针对问题一：

首先从水质监测数据中选取相对有用的五种关键数据（分别为溶解氧,高镭酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群）作为评价因子，对各个水井的各种污染物的检测数据进行无量纲标准化处理得到新数据并列出图表，并对比水质分级标准的三组数据，运用层次分析法建模，并利用MATLAB7.0.1编程求解，最后求得北井的水质最好，南井和东井水质次之，西井水质最差。

此外，我们还运用了逼近于理想值的排序方法，即TOPSIS法，首先确定四个水井水质监测数据中各项指标的正理想值和负理想值，然后求出各个方案与正理想值、负理想值之间的加权欧氏距离，山此得出各评价因子与最优数据指标的接近程度，作为评价水井水质优劣的标准。

经计算得出四个水井的综合评价指标值分别为90,73,210,505,可见北井水质最好，南井水质较好，东井水质中等，西井水质最差。

针对问题二：

对四个井的地表水进行水质等级判断时，没有明确的界限，因此我们选择在模糊数学中采用隶属函数来描述水质分界，同时采用格贴近度公式，分别求得四个水井与三个水质等级的贴近程度，根据择近原则，算出西井、东井均属于III类，南井属于II类，北井属于I类。

最后，我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。

关键词：

层次分析法；TOPSIS法；模糊数学统讣算法；水质等级判断。

一、问题重述3

二、模型假设3

三、符号说明3

四、问题分析4

4.1问题一的分析4

4.1」层次分析法5

4」.2TOPSIS分析法5

4.1.3两种方法差异分析5

4.2问题二的分析5

五、模型的建立和求解6

5・1问题一求解6

~5丄1各衡量指标数据的无量纲化处理6

5.1.2.模型一层次分析法8

5丄3模型二TOPSIS分析方法12

5丄4两种方法的结果分析15

5.2问题二：

模糊性模型15

521建立因素集15

522设置偏大型柯西分布隶属函数16

523综合指标18

六、模型的评价与推广19

6・1模型的评价19

6.1」模型优点19

6丄2模型缺点19

6.2模型的推广20

参考文献21

附录22

一、问题重述

某村内有各相距500米以上的四口水井，分别位于村东、村西、村南和村北，由于农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染，水质监测资料如附件1所示.

需要解决的问题如下：

（1）请用2种以上的数学方法对该村的四个井水的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在着异，以及差异产生的原因。

（2）请对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。

（水质分级标准参考附件2,或自己查有关资料）

二、模型假设

（1）不考虑元素间的相互作用的影响

（2）短期内重金属元素的物理、化学变化及迁移对周圉环境影响不大

（3）假设附录中所给该村井水水质监测的数据真实，不会有大的偏差。

（4）不考虑历史沉积的重金属的影响

三、符号说明

crc2,c3,c4,c5

分别表示溶解氧，高镭酸盐指数，总磷，氨氮，类大肠菌群

Q‘Q2‘Qi

表示水质分级标准中的【类，II类，III类。

CR

一致性比例

CI

一致性指标

R1

平均随机一致性指标

U

评定结果的指标集

=1,2,3,4,5,6,7,8,9）

九项项污染指标值

叫

区间最小值

Mj

区间最大值

时，娜

区间边界

Wj（x）（J=l,2・・,/w）

权重

V

定性评价的评价论域

效益型指标

J

成本型指标.

B

权重矩阵

呂，耳,gyP4

分别表示东井，西井，南井，北井

四、问题分析

4.1问题一的分析

要对东井、西井、南井、北井四个水井的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在差异，以及差异产生的原因，可从题口的要求中获知利用附录1中的水质监测数据来进行四个水井的排名。

经过分析和查阅相关资料，可以运用层次分析法和TOPSIS分析方法求解。

在该问题中，我们选择从溶解氧、高猛酸盐指数。

总磷、氨氮、粪大肠菌群这儿个方面（PH值为无量纲量在此不讨论，之所以选取这五个指标，是山于附件二中，关于水质分级标准，除这五个指标外的其他指标项口在分级时至少有两个标准值是相同的，对于水质的衡量没有太多帮助）来衡量四个水井的水质情况，从而建立了层次结构模型和TOPSIS分析模型。

4.1」层次分析法

⑴最大特征值兄„和的MATLAB讣算方法：

[V,D]=（”g（A）,其中A为待计算特征值的矩阵,

D为对角矩阵，其对角元素为A的特征值，最大的即为。

（2）—致性指标C/计算方法：

C/二如口（其中入为矩阵A的最大特征值，"为矩阵的阶数）

”一1

（3）随即一致性指标&的计算方法：

RI与n有如下关系,如表

1

2

3

4

56789

RI0

0

0.58

0.90

1.121.241.32L41L45

（4）权重计算方法

讣算矩阵A的特征根及特征向量，将所求的特征向量单位化后得到的就是权重值。

4.1.2TOPSIS分析法

此外，该问题还可以应用TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。

其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异一'♦距离S即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过讣算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。

4.1.3两种方法差异分析

山于方法的不同，对数据的使用及舍入也有所不同，加之分析问题的角度不同，所以结果可能出现差异，不过可以确定，尽管计算方法存在不同，如果两种方法都计算准确的话，结果不会有太大出入。

4.2问题二的分析

通过仔细分析题口的要求，得知题LI要求我们找出对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。

于是我首先想到了利用模糊数学模型中的一个偏大型柯西分布隶属函数去处理，据模糊识别原则中的择近原则，同时运用格贴近度公式，求解出四个与I类、I【类、111类哪个水质等级标准更符合。

五、模型的建立和求解

5.1问题一求解

先对各评价因子进行无量纲化处理，再分别应用层次分析法和TOPSIS分析法建立模型求解。

5.1」各评价因子数据的无量纲化处理

在利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即

标准化以后各变量的平均值都为1,标准差为原始变量的变异系数。

该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。

对极大型指标溶解氧的指标做极小变换，即取倒数变换，其中心=丄/=k23.4o用EXCEL方法作出标准化前•后的各变量数据如表1所示：

a

表1各指标原数据及无量纲化后数据

样品编号

溶解氧

高猛酸盐指数

总磷

氨氮

类大肠菌群

东井

0.196

23.8

0.78

10.7

900

西井

1」1

16.2

0.98

13

1805

南井

0.156

1.9

0.5

0.05

600

北井

0.139

1.7

0.3

0

968

平均值

0.40025

10.9

0.64

5.9375

1068.25

无量纲化处理后的各指标数据

东井

0.489694

2.183486

1.21875

1.802105

0.842499

西井

2.773267

1.486239

1.53125

2.189474

1.689679

南井

0389756

0」74312

0.78125

0.008421

0.561666

北井

0.347283

0.155963

0.46875

0

0.906155

水质分级标准

I类

0.13

2

0.02

0.15

200

II类

0」7

4

0」

0.5

2000

in类

0.2

6

0.2

1

10000

平均值

0.166667

4

0.106667

0.55

4066.667

无量纲化处理

I类

0.78

0.5

0.1875

0.272727

0.04918

II类

1.02

1

0.9375

0.909091

0.491803

in类

1.2

1.5

1.875

1.818182

2.459016

表中所示分别为四个水井的五项评价因子的源数据和无量纲化后数据，以及水质分级标准的源数据和无量纲化后数据。

五种评价因子数据表示如下：

溶解氧

I□洛解氧

总璘

I□高縊酸盐抬数

14

12

10

8

6

4

9

A

1Q

氨氮

X0

L0.7

□氨氮

■

C匚1

0.0500.1505|__I

fl|fl■■fliki1'

东井西井南井北井I类II类III类

粪大肠菌群

5.1.2.模型一层次分析法

（1）建立层次结构模型

水质的分级是山一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

层次分析法为这个问题的决策提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。

（2）构造判断矩阵

层次结构反映因素之间的关系，但准则层中的各准则在□标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心中，它们各有一定的比例。

设现在要比较的5个因子X=｛知花以3，"，冯｝对水质z的影响大小，我们采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法，即每次取两个因子兀和勺，以呦表示兀和厂对水质Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=（切扁表示，称A为A-Z之间的成对比判断矩阵，容易看出，

若石与勺对Z的影响为知，则巧与脸对Z的影响为5=—。

CliJ

设G,C2，g，g，C5分别表示溶解氧，高镭酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群，则

准则层的判断矩阵A=g）计为

2

4

11

2

31

11

4

41

丿

根据题中所给数据得到决策层的判断矩阵如下，其中P也分别表示东井，西井,

南井，北井

鬥

1

1/2

1

1

1

1/2

1/3

1/3

2

1

3

3

2

1

1/4

1/4

A

1

1/3

1

2

A

3

4

1

1

1

1/3

1/2

1

3

4

1

1

P.

q

片

1

1

1

2

片

1

1

4

6

P.

1

1

2

3

1

1

2

7

P?

1

1/2

1

1

A

1/4

1/2

1

2

片

1/2

1/3

1

1

片

1/6

1/7

1/2

1

用

P]

P,

打

P\

1

1/2

1

1

匕

2

1

3

2

P,

1

1/3

1

1

1

1/2

1

1

（3）层次单排序及一致性检验

对应于问题一，则是用MATLAB工具计算出矩阵A=（®）m对应于最大特征值血的特征向量W,归一化处理后即为措施层中三个等级对于准则层中五个污染物指标相对重要性的排序权值。

同时，可以由人讪是否等于矩阵人的阶数”来检验矩阵人是否为一致矩阵。

由于特征根连续的依赖于故兄叭比”大得越多，A的非一致性程度也就越严重，Anax对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X={xi,x2,x^x4,x5}在对因素Z的影响中所占的比重。

对所得到的判断矩阵做一次一致性检验，以便决定是否能接受它。

判断矩阵的一致性检验步骤如下：

（1）计算一致性指标C7

CI=^~n,其中“为判断矩阵A的阶数5

77-1

通过MATLAB编程（见附录1）得到判断矩阵A的/^为5-6579,CI为0.1645。

（2）查找相应的平均随机一致性指标对于〃…,9,卍的值如表2所示:

表2：

—致性指标&

~L23456789-

RI0

00.580.901.12L241.32L41L45

（3）计算一致性比例C7?

CR旦

RI

当C/?

<0.10时，认为判断矩阵A的一致性是可以接受的。

山上两个步骤算出CR为0.0762,则该判断矩阵的一致性是可以接受的。

（4）层次总排序及一致性检验

由上面得到的措施层各等级对准则层中各个衡量指标的权重向量vv0=（0.3955,0.0996,0.2048,0.0960,0.2042）,最终要得到最底层中各方案对于LI标的排序权重，从而进行排序。

总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。

准则层（C层）包含CPC2,C3,C4,C5共5个元素，他们的层次总排序权重分别为

5心心心心，方案层包含3个因素片££出，它们关于上一层次单排序权重分别为

叱,％用，巴按照比=f%幻，心1…•，4来计算。

/-I

最后得到各水井的综合评价为B=（0.2139,0.3838,0.1750,0.1313）

根据模型的特点，可知，最后综合评价值越小，对应水井的水质越好，则可以看出，北京的水质最好，东井和南井水质次之，西井水质最差。

5.1.3模型二TOPSIS分析方法

TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。

其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异一"距离S即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。

TOPSIS分析方法的解题步骤如下：

（1）设有4个目标，5个属性，对其中第i个目标的第丿•个属性的评估值为勺，则初始判断矩阵V为：

XI5

/

（2）山于各个指标的量纲可能不同，需要对决策矩阵进行归一化处理:

/.・・、

X\\…X\5

v=:

:

旳…畧

其中

xij二xij/J，i=1,,4;J=1,,5

（3）根据DELPHI法获取专家群体对属性的信息权重矩阵B,形成加权判断矩阵:

X11

為2…

人22…

H1

0

0…

\\\…

0

0

Z=VB=

X"

■

•••

xa

♦♦•

0

■

…W.

••

•••

•

4

•

■

♦♦•

■

兀””

■

0

••

0•・•

•

%

/n

/.2

♦♦•

Jin

•

fll

■

♦♦•

•

•

J2n

■fn

■

■

■

•♦•

■

■

•

■

■

•••

■

■

■fml

■

im2

•

♦♦•

■

九”

（4）根据加权判断矩阵获取评估LI标的正负理想解:

正理想解:

负理想解:

（5）计算各LI标值与理想值之间的欧氏距离:

Sj=-fjy‘j=I’2,

（6）计算各个目标的相对贴近度:

C；=S；/（S；+S；）J=12…,”

（7）依照相对贴近度的大小对目标进行排序，形成决策依据.，表3如下:

表3各水井的决策依据

目标

溶解氧

高猛酸盐指数

总磷

氨氮

粪大肠菌群

东井

5.1

23.8

0.78

10.7

900

西井

6.9

16.2

0.98

13.0

1805

南井

6.4

1.9

0.15

0.05

600

北井

7.2

1.7

0.03

968

初始条件：

根据表1的数据生成初始判断矩阵V

23.80.78

10.7900、

6.916.20.98

13.01805

6.41.90.15

0.05600

、7・21.70.03

利用徳尔菲法则，生成集结后的群体偏好矩阵:

A=（2.35.14.06.54.8）7

正、负理想解如下：

£=（1.442,2.279,1.664,3.665,0.8756）

=（0.802,2.878J.785,2.635,0.319）

（8）结果（计算贴近度）:

C；=（210,500,90,73）,

依据C；从小到大的顺序对决策方案进行排序可知c2>c,>c3>c4,结果表明，北井水质最好，南井水质较好，东井水井一般，西井水质最差。

表4综合评价值

四个水井的综合评价指标值

地区

东井

西井

南井

■北井■

综合评价指标值

210

500

90

73

5.1.4两种方法的结果分析

由层次分析法得水井的综合评价为Z?

=（0.2139,0.3838,0.1750,0.1313）,因为综合评价值越小，对应水井的水质越好，曲此可知北井的水质最好，南井、东井水质次之，西井水质最差。

而山T0PSIS分析方法得出的结果是C；=（9073210505）,曲于该模型的特点是C；数值越小，水井水质越好，该结果表明北井水质最好，南井水质较好，东井水井一般，西井水质最差。

由上可知，两种方法的判断结果基本一致。

5.2问题二：

模糊性模型

在第二个问题中，我们在模糊数学中釆用隶属函数描述水质分界，体现了实际界限的模糊性，使评论结果更接近客观实际，运用模糊统计•方法，基于模糊统计的基础上根据模糊统计实验的客观存在性来确定的，所谓的模糊统计实验包含以下四个要素

（1）论域X;

（2）X中一个固定元素卞；

（3）X中一个随机变动的集合A（普通级）；

⑷X中一个以A作为弹性边界的模糊集A,对A的变动起着制约作用，其中，或者兀年A,致使A的关系是不确定的。

5.2.1建立因素集

假设做n次模糊统计实验，则可计算出尤。

对A的隶属频率二人）eA的次数/n

设评定结果的指标集为U二（xxx2xyxAx5）,x,.（i=l2345）分别表示溶解氧,

高猛酸盐指数，总磷，氨氮，粪大肠菌群。

V表示定性评价的评价论域,V=（儿九儿）儿，比，『3分别表示I类'II类，III类,

t/xV±每个有序数对（*力）的隶属度。

有序对（心力）指定的隶属度如表5所示

表5

V定性评价的评价论域

yly2y3

xl0.450.350.2

x2

0.3

0.34

0.36

U评定结果的指标集

x3

0.5

0.3

0.2

x4

0.6

0.3

0.1

x5

0.56

0.1

0.34

山此确定一个从U到U的模糊关系这个模糊关系函数是一个5x3阶的矩阵，记为

0.45

0.35

0.3

0.34

0.5

0.3

0.6

0.3

、0.56

0.1

R=

0.2、

0.36

0.2

0.1

0.347

5.2.2设置偏大型柯西分布隶属函数

我们假设溶解氧高镭酸盐指数总磷氨氮类大肠菌群所打分数分别为4分、4分和5分、3分，2分，从中可以看出所打分数越高，所占的比重就越大，所以各个污染物的综合分数不能简单地加权求和。

据模糊识别原则中的则近原则，设A，8wF（U）（i=l,2,…,n）,若存在i°,使

N（A“,,B）=max{Ng,B）,Ng”）,…,NgB）}

则认为B与盅最贴近，即判断B与人，为一类，该原则称为择近原则。

在该问题中，已知有三个等级的水质分类标准I类、II类、III类，而需判断的四个井的地表水设为色,场，尽,厲，反映井地表水水质的因素有9个标准，构成论域其中U={x}（PH）,勺（溶解氧），心（锌），耳（挥发酚），“（高猛酸盐指数），a6

（化学需氧量），心（总磷），忑（氨氮），心（粪大肠菌群）}

设四个井对9项指标的数值为：

A）={7.52150.150.020.050.002200）

A2={64150.50.11.00.00220000）

A3={56201.00.21.00.00510000）

待别进行水质等级判断的四个井的地表水的各项指标为

^={0.1960.150.00623.851.40.7810.7900}

0.150.00316.265.10.9813.01805）

B3={0.1560.2701.9100.150.05600）

B4={0.1390.1901.7100.030968）

设A,BwF（U）,M（AB）=（A0B）a（A®B）c是模糊集人B的贴近度，叫做人3的格贴近

度,记为N（A9B）=（AOB）a（A®B）co

利用格贴近度计算公式计算可得

N（d，Aj二0.3,N（Q,九）二0.5,N（Q,AJ二0.2

N（冬，州）二0.6,N（B2,A2）=0.3,N（尽，九）二0.1

N（B3,4）=0.2,N（B3,A2）=0.2,N（B3,A3）=0.6

我们根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数八仞）』+如-"〒，1恥4

，｝"[汕聊+&,4<^><7

其中a,0,/,&为待定常数。

根据实际情况，我们取隶属度为/（7）=1；/⑷=0.8；/

（1）=0.01。

将其代入函数解得：

a=2.4944,0=0.8413,/=0.3574,6>=0.3046于是，隶属函数为

[1+2.4944册）一0.8413厂『，1<硝）<4

0.3574xIn即+0.3046,4

在本题中，我们所要求的是样本点X变量类型的数据表，该问题中有24个变量（山于铜、氤化物、汞、镉、六价洛、铅指标均〈DL,因此不予考虑，只需分析18个变量即可），对它们分别进行3次数据处理，得到3个样本点（忑皿2•一內3,21,…,18）,则所构成的数据表X可以写成一个18x3维的矩阵。

其中弓=（兀1.兀2…兀・怡）‘e/?

3,i=l,2,…，18.ei称为第i个样本点。

样本均值为x=（xrx2,x3ye/?

3»i=l,2,•••,18.

样本协方差矩阵及样本相关系数矩阵分别为

13__

G=