N维空间几何体质心的计算方法.docx
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N维空间几何体质心的计算方法
N维空间几何体质心的计算方法
摘要:
本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。
首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。
关键字:
质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分
一.质心或形心问题:
这类问题的核心是静力矩的计算原理。
1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心:
静力矩的微元关系为
dMxyudldMyxudl
==.
其中形如曲线L（
（,
yfxaxb
=≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别
为（
b
ay
fxS
=
⎰
（
b
ya
Mufx
=⎰
设曲线AB
L
的质心坐标为（
xy,则,,
yx
MM
xy
MM
==
其
中（
b
a
Muxdxul
==
⎰
为AB
L
的质量,L为曲线弧长。
若在式
y
M
x
M
=
与式
x
M
y
M
=
两端同乘以2π,则可得
到22（
b
ay
xlfxS
ππ
==
⎰
22（
b
ax
ylfxS
ππ
==
⎰
其中x
S与y
S
分别表示曲线AB
L
绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。
2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心:
设f（x为
[],ab
上的连续非负函数,考虑形如区域
{}
（,,0（
Dxyaxbyfx
=≤≤≤≤
的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为
1
（,（,
2
yfyxyxx
≤≤+∆
当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点
1
（,（
2
xfx
处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有
1
（（
2
x
dMufxfxdx
=
（
y
dMuxfxdx
=
.两个静力矩为2
1
（
2
b
xa
Mufxdx
=⋅
⎰
（
b
xa
Muxfxdx
=⎰.设质心坐标为（,
xy,则有（
yb
a
Mu
xxfxdx
MM
==⎰
2
1
（
2
yb
a
Mu
yfxdx
MM
==⎰
.其中
（
b
a
MufxdxMA
==
⎰
为该
均匀密度薄板的质量,A为面积。
二.平面图形的重心:
给定一个曲线
12（,（,,yfxyfxxaxb====围成的图形,它是一个物质平面图形,我
们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线
1,,,nxaxxxxb====,划分成宽为12,,,nxxx∆∆∆的窄条,每个窄条的
质量等于它的面积和密度δ的乘积。
如果每个窄条用以
ix∆为底,高为21（（iiffξξ-的
矩形来代替,其中
12ii
ixxξ-+=
则这窄条的质量将近似等于
[]21（（（1,2,,
iiiimffxinδξξ∆=-∆=,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重
心上:
21（（（,（2iiiiicffxyξξξ+==
现在把每个窄条用一个质点来代替,它的质量等
于对应窄条的质量,并且集中于该窄条的重心处,我们来求整个图形的重心坐标的近似
值。
[][]2
1
2
1
（（（（i
i
i
i
ci
i
i
ffx
xffx
ξδξξδξξ-∆≈
-∆∑∑,
[][][]1221211
（（（（2（（iiiiiiciii
ffffxyffxξξδξξδξξ+-∆≈
-∆∑∑当
max0
ix∆→时
取
极
限
则
得
[][]2
1
2
1
（（（（ba
c
ba
xfxfxdxxfxfxdx
-=
-⎰⎰,
[][][]2121211（（（（2（（b
acb
afxfxfxfxdxyfxfxdx
+-=-⎰⎰.这些公式任何均匀的平面图形都适用,可看
出重心的坐标是与密度无关的。
例:
求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图
解:
在这种情况下,
21（（fxfx==因此
0520
235
2
5
acxax
=
=
=,
0cy=.
三.重心
1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要确定物体的重心。
例如:
炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴
低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻转困难。
因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时显然需要确定重心的位置。
本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于其重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。
设均匀薄板是由曲线
1（yyx=,2（yyx=和直线xb=围成的平面图形,我们要求此
平面的重心（,Gxy,用u表示此薄板单位面积的重量,则微面积
sd的重量为12（uyydx-,
其重心G的坐标为
12
（,
2yyx+,显然整个薄板的重量为12（bauyydx-⎰,由力学知,合力
对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y轴的力矩,得
1212（（bbaauyydxxuxyydx⎡⎤-⋅=-⎣⎦
⎰⎰,取对x轴的力矩得
121212（（2bb
aayyuyydxyuyydx+⎡⎤-⋅=-⋅⎣⎦
⎰⎰,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式:
1
2
121
2
2222
121212（（（（111（（2
2（bbaa
ba
bba
a
b
axyydxxyydx
xsyydx
yydxyydxysyydx
⎫--⎪
==
-⎪
⎪⎬--⎪⎪
==⎪
-⎭⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
其中s标薄板的面积,由公式（1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄板单位面积的重量无关。
特别,若
2（0yx≡,则得曲边梯形薄板重心坐标公式:
ba
baxydxxydx=⎰⎰
2
12ba
baydxyydx=⎰⎰.
例:
试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。
解:
由于
2
2Rsπ=
1y=
2y=故知重心G的坐标（,xy为:
12023222
2
（22
2（40.42332
bRa
R
xyydx
xs
RRxR
RRπππ
-=
=
-=-⋅
=
≈⎰⎰,
22121（20
ba
yydxys-=
=⎰
.
四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心
设有非均匀平面薄板D,其上每点的密度为（,xyρρ=,设薄板D的重心坐标为
（,xy,考虑D中微面积dD,它的微质量为:
（,dmxydDρ=,它关于y轴与x
轴的力矩分别为:
（,xdmxxydDρ=与（,ydmyxydDρ=
把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D关于y轴与x轴的力矩为:
（,（,D
D
D
xdmxxydDxxydxdy
ρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰与
（,（,D
D
D
ydmyxydDyxydxdy
ρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式:
（,（,（2
（,（,D
D
D
DDDxdmxxydxdyxm
xydxdyydmyxydxdyymxydxdyρρρρ⎫⎪
=
=
⎪
⎪
⎪
⎬⎪⎪==⎪⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
特别,若薄板是均匀的,即（,xyρ=常数,则得求均匀薄板重心坐标公式:
D
xdxdy
xD
=
⎰⎰,
D
ydxdy
yD
=
⎰⎰.
对于均匀薄板,我们有
[]21（
（21（（yxb
ba
yxaD
xdxdydxxdyxyxyxdx
==-⎰⎰⎰
⎰⎰,
[][]{}
2211（
2
（（（22
21
21（（2
yxyxbb
ayxaDyx
bayydxdydxydydxyxyxdx⎛⎫⎪==⎪⎝⎭
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰故
（2
1ba
xyydx
xD
-=
⎰,
（2
22112ba
yydxyD-=
⎰
.
五.设一立体在空间占据区域T,那么立体的体积为
T
Vdxdydz
=⎰⎰⎰
设（,,xyzρρ=,（,,xyzT∈是立体在点（,,xyz的密度,其中T是它所占据的空间区域,那么该立体的质量为（,,T
Mxyzdxdydzρ=⎰⎰⎰
立体重心的坐标公式为:
1T
xxdxdydz
V
=
⎰⎰⎰,
1T
yydxdydz
V
=
⎰⎰⎰,
1T
zzdxdydz
V
=
⎰⎰⎰.
这里x,y,z是区域T的几何重心的坐标。
例:
求平面0x=,0z=,1y=,3y=,23xz+=所围之棱柱的重心坐标。
解:
先求棱柱的体积
33
3201
33
301
03
203（32
1
（3
292
zT
Vdxdydzdxdydz
x
dxdyxdxxx-==-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
现在求重心的坐标
338
2010221
99x
Txxdxdydzxdxdydz-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰,338
2010222
99xTyydxdydzdxydydz-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰,338
2010221992xTzzdxdydzdxdyzdz-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
参考文献：
《微积分与解析几何》电子工业出版社，1.，1985年11月出版，作者：
R⋅E⋅约翰逊F⋅L⋅基奥克斯特。
2．《微分与积分学》吉林人民出版社，，1983年9月出版，作者：
N⋅PISKUNOV3.《数学分析》，山东科学技术出版社，1985年出版，作者：
郭大钧陈玉妹袭卓明4．《高等数学解题手册》，天津科学技术出版社，1983年12月出版，作者：
丹科波波夫科热夫尼科娃。
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