当MPL=APL时，APL曲线到达极大值。
3.解答：
〔1〕由生产数Q=2KL-0.5L2-0.5K2,且K=10，可得短期生产函数为：
Q=20L-0.5L2-0.5*102
=20L-0.5L2-50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量定义，有以下函数：
劳动总产量函数TPL=20L-0.5L2-50
劳动平均产量函数APL=20-0.5L-50/L
劳动边际产量函数MPL=20-L
〔2〕关于总产量最大值：
20-L=0
解得L=20
所以，劳动投入量为20时，总产量到达极大值。
关于平均产量最大值：
-0.5+50L-2=0
L=10〔负值舍去〕
所以，劳动投入量为10时，平均产量到达极大值。
关于边际产量最大值：
由劳动边际产量函数MPL=20-L可知，边际产量曲线是一条斜率为负直线。
考虑到劳动投入量总是非负，所以，L=0时，劳动边际产量到达极大值。
〔3〕当劳动平均产量到达最大值时，一定有APL=MPL。
由〔2〕可知，当劳动为10时，劳动平均产量APL达最大值，及相应最大值为：
APL最大值=10
MPL=20-10=10
很显然APL=MPL=10
4.解答：
〔1〕生产函数表示该函数是一个固定投入比例生产函数，所以，厂商进展生产时，Q=2L=3K.相应有L=18,K=12
〔2〕由Q=2L=3K,且Q=480，可得：
L=240,K=160
又因为PL=2,PK=5，所以
C=2*240+5*160=1280
即最小本钱。
5、
〔1〕思路：
先求出劳动边际产量与要素边际产量
根据最优要素组合均衡条件，整理即可得。
K=（2PL/PK）L
K=（PL/PK）1/2*L
K=（PL/2PK）L
K=3L
〔2〕思路：
把PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函数即可求出
〔a〕L=200*4-1/3K=400*4-1/3
（b）L=2000K=2000
（c）L=10*21/3K=5*21/3
（d）L=1000/3K=1000
6.
（1）.Q=AL1/3K1/3
F（λl，λk）=A〔λl〕1/3〔λK〕1/3=λAL1/3K1/3=λf（L,K）
所以，此生产函数属于规模报酬不变生产函数。
〔2〕假定在短期生产中，资本投入量不变，以
表示；而劳动
投入量可变，以L表示。
对于生产函数Q=AL1/3K1/3，有：
MPL=1/3AL-2/3K1/3，且dMPL/dL=-2/9AL-5/3
-2/3<0
这说明：
在短期资本投入量不变前提下，随着一种可变要素劳动投入量增加，劳动边际产量是递减。
相类似，在短期劳动投入量不变前提下，随着一种可变要素资本投入量增加，资本边际产量是递减。
7、〔1〕当α0=0时，该生产函数表现为规模保持不变特征
〔2〕根本思路：
在规模保持不变，即α0=0，生产函数可以把α0省去。
求出相应边际产量
再对相应边际产量求导，一阶导数为负。
即可证明边际产量都是递减。
8．
（1）.由题意可知，C=2L+K,
Q=L2/3K1/3
为了实现最大产量：
MPL/MPK=W/r=2.
当C=3000时，得.L=K=1000.
Q=1000.
（2）.同理可得。
800=L2/3K1/3.2K/L=2
L=K=800
C=2400
9利用图说明厂商在既定本钱条件下是如何实现最大产量最优要素组合。
解答：
以以下图为例，要点如下：
分析三条等产量线，Q1、Q2、Q3与等本钱线ABQ3虽然高于等产量线Q2。
但惟一等本钱线AB与等产量线Q3既无交点又无切点。
这说明等产量曲线Q3所代表产量是企业在既定本钱下无法实现产量。
再看Q1虽然它与惟一等本钱线相交与a、b两点，但等产量曲线Q1所代表产量是比拟低。
所以只需由a点出发向右或由b点出发向左沿着既定等本钱线AB改变要素组合，就可以增加产量。
因此只有在惟一等本钱线AB和等产量曲线Q2相切点E，才是实现既定本钱下最大产量要素组合。
10、利用图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小本钱最优要素组合。
解答：
如下图，要点如下：
〔1〕由于此题约束条件是既定产量，所以，在图中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等本钱线以供分析，并从中找出相应最小本钱。
〔2〕在约束条件即等产量曲线给定条件下，A〞B〞虽然代表本钱较低，但它与既定产量曲线Q既无交点又无切点，它无法实现等产量曲线Q所代表产量，等本钱曲线AB虽然与既定产量曲线Q相交与a、b两点，但它代表本钱过高，通过沿着等产量曲线Q由a点向E点或由b点向E点移动，都可以获得一样产量而使本钱下降。
所以只有在切点E，才是在既定产量条件下实现最小本钱要素组合。
由此可得，厂商实现既定产量条件下本钱最小化均衡条件是MRL/w=MPK/r。
第五章
下面表是一张关于短期生产函数
产量表:
在表1中填空
根据
（1）.在一张坐标图上作出TPL曲线,在另一张坐标图上作出APL曲线和MPL曲线.
根据
（1）,并假定劳动价格ω=200,完成下面相应短期本钱表2.
根据表2,在一张坐标图上作出TVC曲线,在另一张坐标图上作出AVC曲线和MC曲线.
根据
（2）和（4）,说明短期生产曲线和短期本钱曲线之间关系.
解:
（1）短期生产产量表（表1）
L
1
2
3
4
5
6
7
TPL
10
30
70
100
120
130
135
APL
10
15
70/3
25
24
65/3
135/7
MPL
10
20
40
30
20
10
5
（2）
（3）短期生产本钱表（表2）
L
Q
TVC=ωL
AVC=ω/APL
MC=
ω/MPL
1
10
200
20
20
2
30
400
40/3
10
3
70
600
60/7
5
4
100
800
8
20/3
5
120
1000
25/3
10
6
130
1200
120/13
20
7
135
1400
280/27
40
（4）
（5）边际产量和边际本钱关系,边际MC和边际产量MPL两者变动方向是相反.
总产量和总本钱之间也存在着对应
系:
当总产量TPL下凸时,总本钱TC曲线和总可变本钱TVC是下凹;当总产量曲线存在一个拐点时,总本钱TC曲线和总可变本钱TVC也各存在一个拐点.
平均可变本钱和平均产量两者变动方向是相反.
MC曲线和AVC曲线交点与MPL曲线和APL曲线交点是对应.
2.以下图是一张某厂商LAC曲线和LMCQ1和Q2产量上画出代表最优生产规模SAC曲线和SMC曲线.
解:
在产量Q1和Q2上,代表最优生产规模SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2.SAC1和SAC2分别相切于LACA和BSMC1和SMC2那么分别相交于LMCA1和B1.
3.假定某企业短期本钱函数是TC（Q）=Q3-5Q2+15Q+66:
指出该短期本钱函数中可变本钱局部和不变本钱局部;
写出以下相应函数:
TVC（Q）AC（Q）
AVC（Q）AFC（Q）和MC（Q）.
解
（1）可变本钱局部:
Q3-5Q2+15Q
不可变本钱局部:
66
（2）TVC（Q）=Q3-5Q2+15Q
AC（Q）=Q2-5Q+15+66/Q
AVC（Q）=Q2-5Q+15
AFC（Q）=66/Q
MC（Q）=3Q2-10Q+15
4某企业短期总本钱函数是STC（Q）=0.04Q3-0.8Q2+10Q+5,求最小平均可变本钱值.
解:
TVC（Q）=0.04Q3-0.8Q2+10Q
AVC（Q）=0.04Q2-0.8Q+10
令
得Q=10
又因为
所以当Q=10时,
5.假定某厂商边际本钱函数MC=3Q2-30Q+100,且生产10单位产量时总本钱为1000.
求:
（1）固定本钱值.
（2）总本钱函数,总可变本钱函数,以及平均本钱函数,平均可变本钱函数.
解:
MC=3Q2-30Q+100
所以TC（Q）=Q3-15Q2+100Q+M
当Q=10时,TC=1000=500
固定本钱值:
500
TC（Q）=Q3-15Q2+100Q+500
TVC（Q）=Q3-15Q2+100Q
AC（Q）=Q2-15Q+100+500/Q
AVC（Q）=Q2-15Q+100
6.某公司用两个工厂生产一种产品,其总本钱函数为C=2Q12+Q22-Q1Q2,其中Q1表示第一个工厂生产产量,Q2表示第二个工厂生产产量.求:
当公司生产总产量为40时能够使得公司生产本钱最小两工厂产量组合.
解:
构造F（Q）=2Q12+Q22-Q1Q2
+λ（Q1+Q2-40）
令
使本钱最小产量组合为Q1=15,Q2=25
7生产函数Q=A1/4L1/4K1/2;各要素价格分别为PA=1,PL=1.PK=2;假定厂商处于短期生产,且
.推导:
该厂商短期生产总本钱函数和平均本钱函数;总可变本钱函数和平均可变函数;边际本钱函数.
由
（1）
（2）可知L=A=Q2/16
又TC（Q）=PA&A（Q）+PL&L（Q）+PK&16
=Q2/16+Q2/16+32
=Q2/8+32
AC（Q）=Q/8+32/QTVC（Q）=Q2/8
AVC（Q）=Q/8MC=Q/4
8某厂商生产函数为Q=0.5L1/3K2/3;当资本投入量K=50时资本总价格为500;劳动价格PL=5,求:
劳动投入函数L=L（Q）.
总本钱函数,平均本钱函数和边际本钱函数.
当产品价格P=100时,厂商获得最大利润产量和利润各是多少
解:
（1）当K=50时，PK·K=PK·50=500,
所以PK=10.
MPL=1/6L-2/3K2/3
MPK=2/6L1/3K-1/3
整理得K/L=1/1,即K=L.
将其代入Q=0.5L1/3K2/3,可得:
L（Q）=2Q
〔2〕STC=ω·L〔Q〕+r·50
=5·2Q+500
=10Q+500
SAC=10+500/Q
SMC=10
〔3〕由
（1）可知,K=L,且K=50L=50.代入Q=0.5L1/3K2/3,有Q=25.
又π=TR-STC
=100Q-10Q-500
=1750
所以利润最大化时
产量Q=25,利润π=1750
9.假定某厂商短期生产边际本钱函数为SMC（Q）=3Q2-8Q+100,且当产量Q=10时总本钱STC=2400，求相应STC函数、SAC函数和AVC函数。
解答：
由总本钱和边际本钱之间关系。
有
STC（Q）=Q3-4Q2+100Q+C
=Q3-4Q2+100Q+TFC
2400=103-4*102+100*10+TFC
TFC=800
进一步可得以下函数
STC（Q）=Q3-4Q2+100Q+800
SAC（Q）=STC（Q）/Q=Q2-4Q+100+800/Q
AVC（Q）=TVC（Q）/Q=Q2-4Q+100
10.试用图说明短期本钱曲线相互之间关系.
解:
如图,TC曲线是一条由水平TFC曲线与纵轴交点出发向右上方倾斜曲线.在每一个产量上,TC曲线和TVC曲线之间垂直距离都等于固定不变本钱TFC.TC
曲线和TVC曲线在同一个产量水平上各自存在一个拐点B和C.
在拐点以前,TC曲线和TVC曲线斜率
是递减;在拐点以后TC曲线和TVC曲线斜率是递增.
AFC曲线随产量增加呈一直下降趋势.AVC曲线,AC曲线和MC曲线均呈U形特征.MC先于AC和AVC曲线转为递增,MC曲线和AVC曲线相交于AVC曲线最低点F,
MC曲线与AC曲线相交于AC曲线最低点D.AC曲线高
于AVC曲线,它们之间距离相当于AFC.
且随着产量增加而逐渐接近.但永远不能相交.
11.试用图从短期总本钱曲线推导长期总本钱曲线,并说明长期总本钱曲线经济含义.
如图5—4所示，假设长期中只有三种可供选择生产规模，分别由图中三条STC曲线表
示。
从图5—4中看，生产规模由小到大依次为STC1、STC2、STC3。
现在假定生产Q2产量。
长期中所有要素都可以调整，因此厂商可以通过对要素调整选择最优生产规模，以最低总本钱生产每一产量水平。
在d、b、e三点中b点代表本钱水平最低，所以长期中厂商在STC2曲线所代表生产规模生产Q2产量，所以b点在LTC曲线上。
这里b点是LTC曲线与STC曲线切点，代表着生产Q2产量最优规模和最低本钱。
通过对每一产量水平进展一样分析，可以找出长期中厂商在每一产量水平上最优生产规模和最低长期总本钱，也就是可以找出无数个类似b〔如a、c〕点，连接这些点即可得到长期总本钱曲线。
长期总本钱是无数条短期总本钱曲线包络线。
长期总本钱曲线经济含义:
LTC曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来最小生产总本钱.
12.试用图从短期平均本钱曲线推导长期平均本钱曲线,并说明长期平均本钱曲线经济含义.
解:
假设可供厂商选择生产规模只有三种：
SAC1、SAC2、SAC3，如右上图所示，规模大小依次为SAC3、SAC2、SAC1。
现在来分析长期中厂商如何根据产量选择最优生产规模。
假定厂商生产Q1产量水平，厂商选择SAC1进展生产。
因此此时本钱OC1是生产Q1产量最低本钱。
如果生产Q2产量，可供厂商选择生产规模是SAC1和SAC2，因为SAC2本钱较低，所以厂商会选择SAC2曲线进展生产，其本钱为OC2。
如果生产Q3，那么厂商会选择SAC3曲线所代表生产规模进展生产。
有时某一种产出水平可以用两种生产规模中任一种进展生产，而产生一样平均本钱。
例如生产Q1′产量水平，即可选用SAC1曲线所代表较小生产规模进展生产，也可选用SAC2曲线所代表中等生产规模进展生产，两种生产规模产生一样生产本钱。
厂商终究选哪一种生产规模进展生产，要看长期中产品销售量是扩张还是收缩。
如果产品销售量可能扩张，那么应选用SAC2所代表生产规模；如果产品销售量收缩，那么应选用SAC1所代表生产规模。
由此可以得出只有三种可供选择生产规模时LAC曲线，即图中SAC曲线实线局部.
LAC
在理论分析中，常假定存在无数个可供厂商选择生产规模，从而有无数条SAC曲线，于是便得到如图5—7所示长期平均本钱曲线，LAC曲线是无数条SAC曲线包络线。
LAC曲线经济含义:
它表示厂商在长期内在每一产量水平上,通过选择最优生产规模所实现最小平均本钱.
13.试用图从短期边际本钱曲线推导长期边际本钱曲线,并说明长期边际本钱曲线经济含义.
S
解:
图中,在Q1
产量上,生产该
产量最优生产规模由SAC1曲线和SMC1曲线所代表,而PQ1既是最优短期边际本钱,又是最优长期边际本钱,即有LMC=SMC1=PQ1.同理,在Q2产量上,有LMC=SMC2=RQ2.在Q3产量上,有LMC=SMC3=SQ3.在生产规模可以无限细分条件下,可以得到无数个类似于P,R,S点,将这些连接起来就得到一条光滑LMC曲线.
LMC曲线经济含义:
它表示厂商在长期内在每一产量水平上,通过选择最优生产规模所实现最小边际本钱.
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