C316函数模型及应用 学生版.docx
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C316函数模型及应用学生版
函数模型及应用
考纲要求：
函数模型及应用在高考中为B级要求。
高考常考利用函数模型的单调性比较数的大小；比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题。
近三年题号分数分布：
从近三年的高考试题来看，结合生活中的实际问题，应用函数模型解题。
具体分布如下：
2013年结合解三角形在解答题18题占分16分；2012年结合二次函数和不等式在解答题17题占分14分；2011年结合二次函数在解答题17题占分14分。
知识点梳理：
1．几种常见函数模型
（1）一次函数模型：
y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）；
（2）反比例函数模型：
y＝
＋b（k、b为常数，k≠0）；
（3）二次函数模型：
y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0），二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中是最为常见的；
（4）指数函数模型：
y＝kax＋b（k、a、b为常数，k≠0，a>0且a≠1）；
（5）对数函数模型：
y＝mlogax＋n（m、n、a为常数，m≠0，a>0且a≠1）；
（6）幂函数模型：
y＝axn＋b（a、b、n为常数，a≠0，n≠0）；
（7）分式函数模型：
y＝x＋
（k>0）；
（8）分段函数模型．
2．解应用题的方法和步骤用框图表示如下：
典型例题：
一、一次函数、二次函数模型
【例1】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
当堂训练：
1.即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？
并求出每天最多的营运人数．（注：
营运人数指火车运送的人数）．
二、分段函数模型
【例2】据气象中心观察和预测：
发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t,0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．
（1）当t＝4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？
如果不会，请说明理由．
当堂训练：
1.某市居民自来水收费标准如下：
每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．
（1）求y关于x的函数；
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
三、指数函数、对数函数模型
【例3】诺贝尔奖发放方式为：
每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：
1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示第x（x∈N*）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f
（1），2000年记为f
（2），…，依次类推）．
（1）用f
（1）表示f
（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；
（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：
1.03129＝1.32）
【例4】鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2．4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0．6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入函数为y＝lg2x，则这三种门票分别为________万张时为失学儿童募捐纯收入最多．
当堂训练：
1.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010．为了简单起见，科学家用PA＝lg（nA）来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为。
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5＜PA＜5．5．
2.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝
（lgE-11．4）．2008年5月12日，中国汶川发生了8．0级特大地震，而1989年旧金山海湾区域地震的震级为6．0级，那么2008年地震的能量是1989年地震能量的________倍．
四、三角函数型
【例5】某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：
h）的函数，记作y=f（t）。
下面是某日水深的数据：
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象。
（1）试根据以上数据求出函数y=f（t）的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留多少时间（忽进出港所需的时间）？
五、不等式型
【例6】对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为:
为
要求清洗完后的清洁度为
.有两种方案可供选择,方案甲:
一次清洗;方案乙:
分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为
.设用
单位质量的水初次清洗后的清洁度是
用
单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
其中
是该物体初次清洗后的清洁度.。
（Ⅰ）分别求出方案甲以及
时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
（Ⅱ）若采用方案乙,当
为某固定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最小?
并讨论
取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
当堂训练：
近年来，某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费（单位:
万元）与太阳能电池板的面积（单位:
平方米）成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费
（单位：
万元）与安装的这种太阳能电池板的面积
（单位:
平方米）之间的函数关系是
为常数）.记
为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
（1）试解释
的实际意义,并建立
关于
的函数关系式；
（2）当
为多少平方米时,
取得最小值？
最小值是多少万元？
六、函数的综合模型
【例4】某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：
前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：
时间（将第x天记为x）x
1
10
11
18
单价（元/件）P
9
0
1
8
而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．
（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式y=f（x）；
（2）在这20天中哪一天销售收入最高？
为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？
（结果精确到1元）
当堂训练：
1.国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值u（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（1）写出u关于w的函数关系式；
（2）若把一颗钻石按重量比1∶3切割成两颗钻石时，求价值损失的百分率．
课后作业：
1．用18m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________________．
2．某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1000元．某单位购买x件（x∈N*，x≤15），设最低的购买费用是f（x）元，则f（x）的解析式是____________．
3．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r%增加到（r＋10）%，那么r＝________.
图K12－1
4．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图K12－1所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．
5．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1g,3年后剩下________．
6．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200kg，配料的价格为1.8元/kg，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：
7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg支付．当9天购买一次配料时该厂用于配料的保管费用P＝________.
7．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为________．
图K12－2
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
8．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
9．直角梯形ABCD，如图K12－3
（1），动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y＝f（x）的图象如图K12－3
（2）所示，则△ABC的面积为________．
图K12－3
10．已知每生产100g饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100g
300g
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是________．
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
11．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：
驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/ml，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车．（精确到1小时）
12．鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．
13．（8分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P＝
，Q＝
t.今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求：
（1）y关于x的函数表达式；
（2）总利润的最大值．
14．（8分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用f（x）；
（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？
写出你的结论，并说明理由．
15．（12分）某地区的农产品A第x天（1≤x≤20）的销售价格p＝50－|x－6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20）农产品A的销售量q＝40＋|x－8|（百斤）．
（1）求该农户在第7天销售农产品A的收入；
（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？
16．（12分）2014年青奥会水上运动项目将在J地举行，截至2010年底，投资集团B在J地共投资100百万元用于地产和水上运动项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：
一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：
百万元）的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：
百万元）的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．
（1）B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
（2）假设2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B集团投资成功的标准是：
从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于投资额的18%，问B集团投资是否成功？
能力提升：
1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：
用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）.
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（3）设f（x）=
，现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?
说明理由
2.如图所示,有两条道路
与
现要铺设三条下水管道
（其中
分别在
上）,若下水管道的总长度为
设
.
（1）求
关于
的函数表达式,并指出
的取值范围;
（2）已知点
处有一个污水总管的接口,点
到
的距离
为
到点
的距离
为
问下水管道
能否经过污水总管的接口点
?
若能,求出
的值,若不能,请说明理由.
3.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,
为长方形薄板,沿AC折叠后,
交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能,凹多边形
的面积最大时制冷效果最好.
（1）设AB=x米,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;
（2）若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?
（3）若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
4.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:
①报销的医疗费用y（万元）随医疗总费用x（万元）增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x2+4x+8）作为报销方案;
（2）若该单位决定采用函数模型y=x2lnx+a（a为常数）作为报销方案,请你确定整数
的值.（参考数据:
ln20.69,ln102.3）
5.为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k为常数）.经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.
（每平方米平均综合费用=
）.
（1）求k的值;
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?
此时每平方米的平均综合费用为多少元?
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