数学建模与中学生数学应用能力培养的策略研究论文.docx

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数学建模与中学生数学应用能力培养的策略研究论文

XXXX大学学生毕业论文

题目_数学建模与中学生数学应用能力培养的策略研究

作者：

XXX_

指导老师：

XXX_

师范学院数学系

数学教育专业2010级

三年制X班

二零一三年四月十五日

主要内容简介：

加强创新精神和创新能力的培养,已是世界各国教育改革的共同趋势,也是我国实现“科教兴国”战略的基本要求,创新教育已经成为高等教育的核心,多年来的教育实践证明,数学建模的教学与竞赛活动在高等学校的创新教育中的地位和意义已是举足轻重.

本文首先给出了数学建模方法一般遵循的6个步骤：

（1）模型准备；

（2）模型假设；（3）模型构成；（4）模型求解；（5）模型分析；（6）模型检验。

解读了数学建模思想和数学应用能力对学生的重要性。

最后给出了培养中学生数学应用能力的3个策略：

（1）在课堂教学中渗透建模的思想和方法；

（2）保证每学期一定课时的专门案例教学；

（3）利用数学建模兴趣小组来检验和加强学生的数学应用能力。

指导老师姓名

职称

论

文

评

语

成绩

指导老师签名

总评意见：

评审人：

年月日

注：

1.评语、成绩由指导老师填写。

2.评语及总评意见应包括学术价值、实际意义、达到水平、学术观点和论证有无错误。

数学建模与中学生数学应用能力培养的策略研究

内容摘要：

新课程标准明确提出中学数学要讲背景、讲应用。

我们的教学中不仅要教会学生数学知识，更要教会学生今后如何运用数学。

于是，在平时的教学中，教师应培养学生的数学建模意识，加强学生在数学建模中的主体作用。

本文首先给出了数学建模方法一般遵循的6个步骤，解读了数学建模思想和数学应用能力对学生的重要性。

最后给出了培养中学生数学应用能力的3个策略，以及构建了相应的成果评价系统。

关键词：

数学建模；课堂渗透；案例教学；兴趣小组

　　当今世界,创新取代了传统的比较优势,已经无可替代地成为国家竞争战略的基础。

　　因此,加强创新精神和创新能力的培养,已是世界各国教育改革的共同趋势,也是我国实现“科教兴国”战略的基本要求,创新教育已经成为高等教育的核心,多年来的教育实践证明,数学建模的教学与竞赛活动在高等学校的创新教育中的地位和意义已是举足轻重.

　　一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动是由国家教育部高教司直接组织领导,面向全国高校,规模最大,参与院校最多,涉及面最广的一项科技竞赛活动.其宗旨是“创新意识,团队精神;重在参与,公平竞争”。

自1992年举办第一届竞赛以来,参赛队数以平均每年近30%的速度增加,2006年已达到864所院校9985个参赛队的规模.正是由于数学建模竞赛活动的深入开展,它积极地推动了大学数学教学改革的开展,并已取得了显著的成果[1]。

一、问题研究的背景

21世纪的中国迎来了教育大变革的时代，新的课程改革强调数学与实际生活的联系，数学修养不等于数学知识的难与深，也不等于技巧的高与低，数学修养更多的表现为数学眼光，即能够运用数学知识去分析数学现象，思考数学的发生发展过程。

在这里，特别强调了学生主动地运用数学知识解决问题，强调用数学眼光从生活中捕捉数学问题。

中学数学的学习目的之一，就是培养学生解决实际问题的能力，要求学生会提出、分析和解决带有实际意义或相关学科、生产、生活中的数学问题，使用数学语言表达问题，进行交流，形成应用数学的意识和能力。

重视数学应用是数学教学改革的需要，加强应用意识是教育改革的需要，数学应用意识和能力的培养也是时代的需要[2]。

二、数学建模思想对学生的影响

当前的数学教育只把数学当成训练人们科学思维的工具，在教学上单纯进行解题、运算的训练、忽视应用、忽视数学同其他学科联系。

强化模型思想的教学，沟通了数学与其它学科的联系，培养了学生应用数学的意识，能够用数学的思维和方法关注社会，关心生活。

在解决问题的过程中，往往需要小组共同收集资料，分析资料。

通过小组的合作和讨论，培养了学生的交流合作的能力，发挥了学生的参与意识，体现了学生的主体性。

一个问题最后结果的获得可能需要长时间的收集资料和观察[3]，可能需要经历反复的挫折的打击和成功的鼓舞。

在克服各种困难中经历知识的发生发展过程，在头脑构建知识信息，锻炼了学生的意志，激发了学生的创造力。

三、数学模型的定义

对于现实世界中的某个特定的对象，为了一个特定的目的，根据该对象的固有的内在联系和规律，作出一些必要的简化假定之后，运用恰当的数学工具，最终得到的那个数学结构就是数学模型。

建模的一般步骤：

（1）模型准备。

为了了解问题的背景，掌握一定的信息，需要进行一些大量的调查和统计工作，尽量弄清现实对象的特征，初步确定运用那一种类型的模型。

（2）模型假设。

根据现实对象的特征和建模的目的，对问题作出合理的简化后，作出假设的过程，这个过程即是把实际问题提炼成数学问题的过程，假设不合理，将导致模型失败。

因此，它要求操作者要有一定的相关的知识和丰富的想象力、判断力，善于抓住问题的主次，尽量将问题线性化，均匀化。

（3）模型构成。

根据所作的假设，分析现实对象的因果关系，利用现实对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量之间的关系。

模型构成的原则是，尽量采用较为简单的模型。

（4）模型求解。

用数学的方法如解方程、解不等式、绘出图形等求解数学模型。

有时要注意应用计算机技术。

（5）模型分析。

对模型的解答进行数学上的分析，依据模型的结果作出决策、预报等，有时还需进行误差分析。

（6）模型检验。

把数学上分析的结果与实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性。

若检验的结果与实际情况不相符合，就应该对模型进行修改或补充，并重新建立数学模型[4]。

上述建模步骤可以表示为下图：

四、中学生数学建模能力的培养策略

学生建模能力主要包括两个层面上：

一是数学化能力，即将实际问题转化为数学问题的能力，其中包括数学阅读能力，数学抽象能力，转化能力；二是针对转化来的数学问题，应用相应的数学知识加以解决的能力[5]。

根据上述情况分析培养学生这些能力主要从以下几个方面做起：

（一）在课堂教学中渗透建模的思想和方法

1．能力的形成是一个长期的工作，培养学生数学建模的能力首先应该重视课本中的应用题。

新教材编入的数学应用题是根据教材进度和学生知识掌握情况而设，它是对教材基础知识的把握和延伸。

因此，应认真对待教材中的应用题，仔细分析问题，归纳解决问题的方法，积累解决应用题、建立数学模型的一般技巧。

2．数学知识来自实践并在实践中运用并发展，所以从数学知识的现实原型出发，引导学生通过观察、分析、概括、抽象，得到数学概念、公式、定理、法则的教学方式符合知识的发生发展过程，体现了教育学中问题解决的心理过程。

另外，寻找数学知识的现实、生活原型，即把所学的数学知识还原成一些实际问题，使学生可以借助自己的认知结构主动的构建知识[6]。

（二）保证每学期一定课时的专门案例教学

根据教学的内容和进度，抽取一定课时进行专门的案例分析，从中提炼建模的方法；也可以让学生了解一些经典案例，学习建模方法，感受数学的真善美。

如公平席位分配问题、马尔萨斯人口模型、住房贷款优化等。

在一般的中学数学教材中关于利息的知识主要注重学生的计算能力，评价方式也一般集中在学生所算出的总利息结果是否准确，而往往忽视各种利息计算方法背后的现实意义以及对一些基本经济金融知识认识的缺失。

使学生就变成了银行的“计算器”而不是金融产品的设计者。

比如正方体截面切割的形状，用一个平面去截正方体，截面的形状是什么样的？

　　学习目标：

通过想象和操作，探究正方体截面的形状。

　　问题串：

　　1.给出分类的原则（例如：

按截面图形的边数分类）。

按照你的分类原则，能得到多少种不同的截面？

设计一种方案，找到截得这些形状截面的方法，并在正方体中画出示意图。

　　2.如果截面是三角形，你认为可以截出几种不同的三角形？

　　3.如果截面是四边形，你认为可以截出几种不同的四边形？

　　4.证明上面的结果。

　　5.截面多边形的边数最多有几条？

请说明理由。

　　6.截面可能是正方形吗？

可能有几种？

画出示意图。

　　7.如果截面是三角形，其面积最大是多少？

画出示意图。

　　8.你还能提出哪些相关的数学问题？

　　这个问题就可以根据不同的学生提出不同的要求，如：

利用土豆、萝卜或橡皮泥通过切割实验进行研究；用透明材料制作一个中空的正方体，留出注水口，注入有色水，通过观察水面形状的方式进行实验研究；利用电脑或图形计算器。

借助某些软件（如几何画板，Z+Z智能平台）进行模拟实验研究；空间想象；证明你的结论。

（三）利用数学建模兴趣小组来检验和加强学生的数学应用能力

1.学员的甄选

教师先拟定参与数学兴趣小组的人数N，然后根据自愿报名和测试成绩相结合的原则，取测试成绩前N-x名，另外x名由老师根据平时的表现，选择一些测试成绩不好但平时思维较活跃、动手能力较强的同学。

2.选题的知识基础

兴趣小组的选题以高中数学教材中涉及的学习内容为主，包括:

（1）二次函数:

用料最省、造价最低、利润最大等；

例1.（设计用料最省的铁皮罐头）某厂生产容积为1升（1立方分米）的圆柱形铁皮罐。

请根据以下情景分别设计下料方案。

（1）做一个铁罐，圆形上盖和下底由外切正方形板材冲压得到，怎样做用料最省？

（2）现有2米长1米宽的铁皮两张，为方便加工，一张用来冲压上盖和下底，一张用来切割铁罐侧面长方形。

问如何下料，可使生产的铁罐尽可能多？

此时，铁罐的底面直径和高各是多少？

解：

（1）设铁罐直径为

分米，高为

分米。

由

=>

。

做一个铁罐用料

，解得直径

，高为

时用料最省。

（2）设铁罐半径为

分米，则高为

分米，圆料紧密排列，长方向

件，宽方向

件；方料顺长方向排列，长方向

件，宽方向

件。

优化模型：

S.T

其中，

为整数。

用Lingo解得

时可生产60个铁罐。

（2）幂函数、指对数函数:

商品定价、细胞分裂、种群繁殖、曲线拟合和预测等；

（3）等差数列:

住房面积、产录、运输路程、经济问题等；

例2.一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是

又过两个小时，含量降为

试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100

.

（提示：

不妨设开始时刻为

表示

时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔

内酒精浓度的改变量为

其中

为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.）

解：

设

为

时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为

其通解是

而

就是所求量.

由题设可知

故有

和

由此解得

可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.

（4）等比数列:

人口增长、资产折旧、增长率、银行信贷、生物种群繁殖、股票行情、经济问题等；

（5）三角函数模型:

求距离、测角度、方位确定、物理力学光学电学等；

（6）解析几何模型:

系统（如喷泉、拱型桥、油罐车、通风塔）设计、物体

运行轨迹等；

（7）概率统计模型:

有奖促销、比赛成绩处理、水库中的鱼量、社会经济问题等。

例3.如图一是某村镇9个自然屯（用

表示）间可架设有线电视线路的最短距离示意图，边旁数字为距离（单位：

km）.若每km的架设费用是定数20元/m，试协助有线电视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设费用.

解：

由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图二）：

故得架设路线为:

总架线长度为27km，故总架设费用为

（万元）

例4.设某小型工厂使用A，B两种原料生产甲、乙两种产品，按工艺，生产每件产品甲需要原料A，B依次为6、5个单位，生产每件产品乙需要原料A，B依次为2、10个单位，两种原料的供给量依次为18和40个单位，两种产品创造的产值分别为1万元和2万元，试建立其生产规划模型，并回答以下问题：

（1）产值最大的生产方案是什么？

最大产值是多少？

方案是否有可选择余地？

若有请至少再给出一个.

（2）依你所给最优方案，说明原料的利用情况.

解：

设生产甲、乙两种产品的数量依次为

表示总产值，则有模型如下：

使用图解法易得其产值最大的生产方案将有无穷多组（这是因为第二个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案可以选为该直线段上的两个端点：

最大产值均为

（万元）

（2）按照上面的第一个解，原材料全部充分利用；而按照第二个解，原材料

将有10个单位的剩余量，原材料

将被充分利用（但产品甲不生产

参考文献

[1]王家文、王浩、刘海.Matlab编程基础．北京：

机械工业出版社，2004

[2]张奠宙、宋乃庆.数学教育概论[M]．北京：

高等教育出版社，2004

[3]斯科特著、侯德润张兰译.数学史．广西：

广西师范大学出版社，2002

[4]范蔚．基础教育课程改革[M]．重庆：

重庆出版社，2006

[5]周卫勇．普通高中新课程的理解与行动[M]．首都师大出版社，2004

[6]傅俪、刘琼孙、何中市.数学实验．重庆：

科学出版社，2000