二次函数最值问题.docx

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二次函数最值问题

一、线段和最小

【例1】已知，如图，二次函数y=ax2+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：

对称。

（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；

（2）求二次函数解析式；

（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值。

【例2】在平面直角坐标系中，抛物线

经过A（2，0）和B（4，0）两点，直线

交y轴于点C，且过点D（8，m）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使CP+DP的值最小，求出点P的坐标；

（3）将抛物线y=x2+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，当四边形A′B′DC的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A′B′DC周长的最小值．

（4）设抛物线的顶点为Q，过点C作x轴的平行线l，点M在直线l上，且MN垂直于x轴，垂足为N，若DM+MN+NQ最小，直接写出此时点M,N的坐标

【例3】已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）．

（1）求此抛物线解析式；

（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点，再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的

倍，试确定点F的位置，使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：

简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

二、线段差最大

【例4】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？

并求出最大值．

三、面积最大

【例5】如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：

当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？

并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

【例6】如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

【例7】平面直角坐标系中,▱ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为（0,3）、（-1,0）,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到▱A'B'OC'．

（1）若抛物线过点C,A,A',求此抛物线的解析式；

（2）平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：

点M在何处时△AMA'的面积最大?

最大面积是多少?

并求出此时M的坐标．

【例8】如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为 ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）.动点P自A点出发，在AB上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为s（不能构成△OPQ的动点除外）. 

（1）求出点B、C的坐标； 

（2）求s随t变化的函数关系式； 

（3）当t为何值时s有最大值？

并求出最大值. 

练习

【题1】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．

（1）求此二次函数解析式；

（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：

 交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：

在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．

（4）设抛物线交y轴于点R，若点K在抛物线对称轴上，当

的值最大时，直接写出此时点K的坐标

【题2】已知：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？

若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

（4）若点Q是直线AC下方的抛物线上的一点，求使得三角形QAC面积最大时点Q的坐标及此时三角形QAC的面积的最大值。

（5）在抛物线上是否存在一点R，使得S三角形ACR=S三角形BCR?

若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。