新人教版高二数学教案.docx

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新人教版高二数学教案

XXXX/高二

〔新人教版高二数学教案〕

2.3.2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：

了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：

了解方差公式D（a+b）=a2D，以及若～（n，p），则D=np（1p），并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：

离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：

比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教具准备：

多媒体、实物投影仪。

教学设想：

了解方差公式D（a+b）=a2D，以及若～（n，p），则D=np（1p），并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

授课类型：

新授课

课时安排：

2课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

回顾一组数据的方差的概念：

设在一组数据，，，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，，，那么+++叫做这组数据的方差

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示

2.离散型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3.连续型随机变量:

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:

离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5.分布列:

x1x2xi

PP1P2Pi

6.分布列的两个性质：

⑴Pi0，i=1，2，;⑵P1+P2+=1.

7.二项分布:

～B（n，p），并记=b（k;n，p）.

01kn

P

8.几何分布：

g（k，p）=，其中k=0,1,2,，.

123k

P9.数学期望:

一般地，若离散型随机变量的概率分布为

x1x2xn

Pp1p2pn

则称为的数学期望，简称期望.

10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

11平均数、均值:

在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，，所以的数学期望又称为平均数、均值

12.期望的一个性质:

13.若B（n,p），则E=np

二、讲解新课：

1.方差:

对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，，，，且取这些值的概率分别是，，，，，那么,

=++++

称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望.

2.标准差:

的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作.

3.方差的性质：

（1）;

（2）;

（3）若～B（n，p），则np（1-p）

4.其它：

⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;

⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例：

例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：

抛掷散子所得点数X的分布列为123456从而例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002000获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位?

解：

根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX1=12000.4+14000.3+16000.2+18000.1=1400,DX1=（1200-1400）20.4+（1400-1400）20.3+（1600-1400）20.2+（1800-1400）20.1=40000;EX2=10000.4+14000.3+18000.2+22000.1=1400,DX2=（1000-1400）20.4+（1400-1400）0.3+（1800-1400）20.2+（2200-1400）20.l=160000.因为EX1=EX2,DX1例3.设随机变量的分布列为12nP

求D

解：

（略）,

例4.已知离散型随机变量的概率分布为

1234567

P

离散型随机变量的概率分布为

3.73.83.944.14.24.3

P

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：

;

;

;

=0.04,.

点评：

本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中.，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中.

=2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：

射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：

+（10-9）;同理有

由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.

点评：

本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同.=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例6.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A机床B机床

次品数10123次品数10123

概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10

问哪一台机床加工质量较好

解：

E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,

E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差

D1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）2

0.06+（3-0.44）20.04=0.6064,

D2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）2

0.04+（3-0.44）20.10=0.9264.

D1D2故A机床加工较稳定、质量较好.

四、课堂练习：

1.已知，则的值分别是（）

A.;B.;C.;D.

答案：

1.D

2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.

分析：

涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.

解：

设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3

当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P（=0）=

当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P（=1）=

当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P（=2）=

当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（=3）=

所以，E=

3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D

分析：

涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：

抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：

E=np，D=npq（这里q=1-p）直接进行计算

解：

因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以B（200，1%）因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.98

4.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4

分析：

这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差D=P（1-P）后，我们知道D是关于P（P0）的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：

因为所有可能取的值为0，1且P（=0）=1-p,P（=1）=p,

所以，E=0（1-p）+1p=p

则D=（0-p）2（1-p）+（1-p）2p=p（1-p）

5.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

A110120125130135B100115125130145

P0.10.20.40.10.2P0.10.20.40.10.2

其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

分析：

两个随机变量A和B都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.A取较为集中的数值110，120，125，130，135;B取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：

先比较A与B的期望值，因为

EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,

EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.

所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为

DA=（110-125）20.1+（120-125）20.2+（130-125）20.1+（135-125）20.2=50，

DB=（100-125）20.1+（110-125）20.2+（130-125）20.1+（145-125）20.2=165.

所以，DADB.因此，A种钢筋质量较好

6.在有奖摸彩中，一期（发行10000张彩票为一期）有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元?

分析：

这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的不考虑获利的意思是指：

所收资金全部用于奖品方面的费用

解：

设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100依题

意，可得的分布列为

0525100

P

答：

一张彩票的合理价格是0.2元.

五、小结：

⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：

①理解的意义，写出可能取的全部值;②求取各个值的概率，写出分布列;③根据分布列，由期望的定义求出E;④根据方差、标准差的定义求出、.若～B（n，p），则不必写出分布列，直接用公式计算即可.

⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和

，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

六、课后作业：

P69练习1,2,3P69A组4B组1,2

1.设～B（n、p）且E=12D=4，求n、p

解：

由二次分布的期望与方差性质可知E=npD=np（1-p）

2.已知随机变量服从二项分布即~B（6、）求b（2;6，）

解：

p（=2）=c62（）2（）4

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和的分布列如下：

（注得分越大，水平越高）

123

pA0.10.6

123

p0.3b0.3

试分析甲、乙技术状况

解：

由0.1+0.6+a+1a=0.3

0.3+0.3+b=1a=0.4

E=2.3,E=2.0

D=0.81,D=0.6

七、板书设计（略）

八、教学反思：

⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：

①理解的意义，写出可能取的全部值;

②求取各个值的概率，写出分布列;

③根据分布列，由期望的定义求出E;

④根据方差、标准差的定义求出、.若～B（n，p），则不必写出分布列，直接用公式计算即可.

⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要