标准偏差与相对标准偏差公式.docx
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标准偏差与相对标准偏差公式
标准偏差
出自 MBA智库百科（）
数学表达式：
∙S—标准偏差（%）
∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于２0—30个
∙i-物料中某成分得各次测量值，1~n；
标准偏差得使用方法
六个计算标准偏差得公式［1］
标准偏差得理论计算公式
设对真值为Ｘ得某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l２、……ｌｎ.令测得值ｌ与该量真值X之差为真差占σ,则有σ1=li−X
σ２= ｌ2 −X
……
σn＝lｎ −X
我们定义标准偏差（也称标准差）σ为
（1）
由于真值Ｘ都就是不可知得,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。
标准偏差σ得常用估计—贝塞尔公式
由于真值就是不可知得,在实际应用中，我们常用n次测量得算术平均值来代表真值。
理论上也证明，随着测量次数得增多，算术平均值最接近真值， 当时,算术平均值就就是真值。
于就是我们用测得值li与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）Ｖi来代替真差σ，即
设一组等精度测量值为l1、l２、……ln
则
……
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V得关系为
将上式代入式（１）有
（2）
式
（2）就就是著名得贝塞尔公式（Bessel）。
它用于有限次测量次数时标准偏差得计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ得定义式
（1）就是完全一致得.
应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到得就是标准偏差σ得一个估计值.它不就是总体标准偏差σ。
因此，我们称式
（2）为标准偏差σ得常用估计。
为了强调这一点,我们将σ得估计值用“S”表示。
于就是， 将式
（2）改写为
（2’）
在求S时, 为免去求算术平均值得麻烦,经数学推导（过程从略）有
于就是，式（２’）可写为
（2”）
按式（2"）求S时，只需求出各测得值得平方与与各测得值之与得平方艺,即可。
标准偏差σ得无偏估计
数理统计中定义Ｓ2为样本方差
数学上已经证明S2就是总体方差σ2得无偏估计。
即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差.而式（２＇）在ｎ有限时，S并不就是总体标准偏差σ得无偏估计,也就就是说Ｓ与σ之间存在系统误差。
概率统计告诉我们，对于服从正态分布得正态总体，总体标准偏差σ得无偏估计值为
（3）
令
则
即S1与S仅相差一个系数Kσ，Kσ就是与样本个数测量次数有关得一个系数，Kσ值见表.
计算Kσ时用到
Γ（n +１）＝ｎΓ（n）
Γ（１）＝1
由表1知,当ｎ>3０时,。
因此,当n>3０时，式（３'）与式（2’）之间得差异可略而不计。
在n=3０~50时, 最宜用贝塞尔公式求标准偏差.当n〈10时， 由于Ｋσ值得影响已不可忽略,宜用式（3'）,求标准偏差.这时再用贝塞尔公式显然就是不妥得。
标准偏差得最大似然估计
将σ得定义式
（1）中得真值Ｘ用算术平均值代替且当ｎ有限时就得到
（4）
式（4）适用于n〉50时得情况,当ｎ>５0时,ｎ与（n-1）对计算结果得影响就很小了.
2、５标准偏差σ得极差估计由于以上几个标准偏差得计算公式计算量较大， 不宜现场采用，而极差估计得方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用得特点。
极差用＂R"表示。
所谓极差就就是从正态总体中随机抽取得ｎ个样本测得值中得最大值与最小值之差。
若对某量作次等精度测量测得l1、,且它们服从正态分布, 则
R= lmax−lmin
概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差得计算公式为
（5）
S3称为标准偏差σ得无偏极差估计，d2为与样本个数n（测得值个数）有关得无偏极差系数，其值见表2
由表2知，当n≤1５时，，因此, 标准偏差σ更粗略得估计值为
（5'）
还可以瞧出,当２０0≤ｎ≤10００时,因而又有
（5"）
显然，不需查表利用式（5'）与（5”）了即可对标准偏差值作出快速估计，用以对用贝塞尔公式及其她公式得计算结果进行校核。
应指出,式（5）得准确度比用其她公式得准确度要低，但当5≤n≤1５时,式（５）不仅大大提高了计算速度，而且还颇为准确。
当ｎ>10时, 由于舍去数据信息较多,因此误差较大，为了提高准确度，这时应将测得值分成四个或五个一组,先求出各组得极差R１、，再由各组极差求出极差平均值。
极差平均值与总体标准偏差得关系为
需指出，此时d2大小要用每组得数据个数n而不就是用数据总数N（=ｎＫ）去查表2。
再则，分组时一定要按测得值得先后顺序排列,不能打乱或颠倒。
标准偏差σ得平均误差估计
平均误差得定义为
误差理论给出
（Ａ）
可以证明与得关系为
（证明从略）
于就是 （B）
由式（A）与式（Ｂ）得
从而有
式（6）就就是佩特斯（C、A、Ｆ、Peteｒs、1856）公式。
用该公式估计δ值,由于\rｉｇht|V\ｒｉght|不需平方,故计算较为简便。
但该式得准确度不如贝塞尔公式。
该式使用条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差得应用实例［1]
对标称值Rａ= 0、160 μm
１、４5,1、65,１、60，1、67，1、52,1、4６,1、72，1、69，1、7７，1、6４,４、５6,１、５0，１、64,１、74与1、63μm，试求该样块Rn得平均值与标准偏差并判断其合格否。
解：
1）先求平均值
２）再求标准偏差S
若用无偏极差估计公式式（5）计算，首先将测得得，15个数据按原顺序分为三组,每组五个， 见表3。
表３
组号
l_1
l_５
R
1
１、48
1、65
1、60
1、67
1、5２
０、1９
２
1、46
1、72
1、69
１、77
1、6４
0、31
３
１、56
1、50
1、64
１、74
１、63
０、2４
因每组为5个数据，按n=5由表2查得
故
若按常用估计即贝塞尔公式式（2’），则
若按无偏估计公式即式（3’）计算，因ｎ=15，由表1查得Kδ= １、0１8， 则
若按最大似然估计公式即式（４＇）计算，则
=０、０９296（ 〈math＞μm
若按平均误差估计公式即式（６）， 则
现在用式（5’）对以上计算进行校核
可见以上算得得Ｓ、S1、Ｓ2、S3与S4没有粗大误差。
由以上计算结果可知0、09296〈0、０96２〈0、0９79<0、１0１7＜0、１062
即 Ｓ2 可见， 最大似然估计值最小，常用估计值S稍大,无偏估计值S１又大,平均误差估计值S4再大，极差估计值S3最大.纵观这几个值，它们相当接近， 最大差值仅为0、01３24μm。
从理论上讲，用无偏估计值与常用估计比较合适,在本例中，它们仅相差0、０01７μm。
可以相信, 随着得增大，S、Ｓ1、S２、S3与Ｓ４之间得差别会越来越小。
就本例而言,无偏极差估计值Ｓ3与无偏估计值Ｓ1仅相差0、008３μm，这说明无偏极差估计就是既可以保证一定准确度计算又简便得一种好方法。
ＪＪG102—８9《表面粗糙度比较样块》规定Ra得平均值对其标称值得偏离不应超过+12％～17%,标准偏差应在标称值得4％～１2%之间.已得本样块二产,产均在规定范围之内,故该样块合格。
标准偏差与标准差得区别
标准差（ＳtandardDeｖiatiｏn）各数据偏离平均数得距离（离均差）得平均数，它就是离差平方与平均后得方根。
用σ表示。
因此，标准差也就是一种平均数。
标准差就是方差得算术平方根。
标准差能反映一个数据集得离散程度.平均数相同得,标准差未必相同.
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组得分数为95、8５、7５、65、55、45，B组得分数为73、７２、７１、69、6８、67.这两组得平均数都就是70,但A组得标准差为1７、08分，B组得标准差为２、16分,说明A组学生之间得差距要比B组学生之间得差距大得多.
标准偏差（StdＤev，Staｎdａｒd Ｄｅviation）— 统计学名词。
一种量度数据分布得分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值得程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少,反之亦然.标准偏差得大小可通过标准偏差与平均值得倍率关系来衡量.
有人经常混用均方根误差（RMＳE）与标准差（Standard Dｅvｉation），实际上二者并不就是一回事.
1、均方根误差
均方根误差为了说明样本得离散程度。
均方根误差（root—ｍeａn-sｑuare eｒror）亦称标准误差，其定义为，i＝1，2，３，…ｎ。
在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示:
，式中,n为测量次数;di为一组测量值与平均值得偏差。
如果误差统计分布就是正态分布,那么随机误差落在土σ以内得概率为６8％。
ﻫ２、标准差
标准差就是方差得算术平方根。
ﻫ标准差能反映一个数据集得离散程度。
平均数相同得，标准差未必相同。
标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差.
均方根值也称作为效值，它得计算方法就是先平方、再平均、然后开方。
比如幅度为１00V而占空比为0、5得方波信号,如果按平均值计算,它得电压只有50V，而按均方根值计算则有7０、7１V。
这就是为什么呢？
举一个例子，有一组1００伏得电池组,每次供电10分钟之后停10分钟，也就就是说占空比为一半。
如果这组电池带动得就是10Ω电阻,供电得１0分钟产生1０A得电流与1０00W得功率,停电时电流与功率为零。
那么在20分钟得一个周期内其平均功率为５00Ｗ,这相当于７0、71V得直流电向10Ω电阻供电所产生得功率。
而５0V直流电压向10Ω电阻供电只能产生得２５0W得功率。
对于电机与变压器而言,只要均方根电流不超过额定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。
PMTＳ1、0抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率得测试计算都就是按有效值进行得,不会因为电流电压波形畸变而测不准。
这一点对于测试变频器拖动得电机特别有用.
均方根误差为了说明样本得离散程度。
对于N1,、、、、Nｍ，设N=（N1+、、、+Nm）/m；则均方根误差记作：
ﻫｔ＝sqrt（（（N^２—Ｎ1^2）+、、、+（N^２—Ｎm^2））／（ｍ（m－1）））；ﻫ比如两组样本:
第一组有以下三个样本：
3，4，5ﻫ第二组有一下三个样本：
2,4,6
这两组得平均值都就是４，但就是第一组得三个数值相对更靠近平均值,也就就是离散程度小,均方差就就是表示这个得。
同样,方差、标准差（方差开根,因为单位不统一）都就是表示数据得离散程度得。
几种典型平均值得求法ﻫ
（1）算术平均值这种平均值最常用。
设x１、x2、…、xn为各次得测量值,n代表测量次数,则算术平均值为ﻫ ﻫ
（2）均方根平均值
（３）几何平均值
（4）对数平均值ﻫ
（5）加权平均值ﻫ
相对标准方差得计算公式
ﻫ准确度:
测定值与真实值符合得程度ﻫ绝对误差：
测量值（或多次测定得平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示.ﻫ相对误差:
绝对误差与真值得比值称为相对误差。
常用百分数表示。
ﻫ绝对误差可正可负,可以表明测量仪器得准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例,相对误差反映测量误差在测量结果中所占得比例，衡量相对误差更有意义。
ﻫ例:
用刻度0.5cm得尺测量长度,可以读准到０。
1ｃm，该尺测量得绝对误差为0。
１cm;用刻度1mm得尺测量长度，可以读准到0。
1ｍm，该尺测量得绝对误差为０。
１mm。
例:
分析天平称量误差为0、1mg,减重法需称2次,可能得最大误差为0、2mg，为使称量相对误差小于０、1％,至少应称量多少样品？
答：
称量样品量应不小于0．2ｇ.ﻫ真值（μ）：
真值就是客观存在得，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值".标准值:
采用多种可靠得分析方法、由具有丰富经验得分析人员经过反复多次测定得出得结果平均值.ﻫ精密度：
几次平行测定结果相互接近得程度.ﻫ 各次测定结果越接近,精密度越高，用偏差衡量精密度。
ﻫ偏差:
单次测量值与样本平均值之差:
ﻫ平均偏差:
各次测量偏差绝对值得平均值。
相对平均偏差:
平均偏差与平均值得比值.
标准偏差:
各次测量偏差得平方与平均值再开方，比平均偏差更灵敏得反映较大偏差得存在,在统计学上更有意义。
ﻫ相对标准偏差（变异系数）
例：
分析铁矿石中铁得质量分数，得到如下数据：
37、45，３7、20，３7、50，３７、３0，3７、2５（%），计算测结果得平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。
ﻫ
准确度与精密度得关系:
ﻫ 1）精密度就是保证准确度得先决条件:
精密度不符合要求，表示所测结果不可靠,失去衡量准确度得前提。
ﻫ 2）精密度高不能保证准确度高。
换言之，准确得实验一定就是精密得，精密得实验不一定就是准确得。
重复性试验 按拟定得含量测定方法,对同一批样品进行多次测定（平行试验至少5次以上，即n&ｇt；5）,计算相对标准偏差（ＲＳD）,一般要求低于5％
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