第8讲学生《全等三角形提高讲义》.docx

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第8讲学生《全等三角形提高讲义》

第8讲《全等三角形》提高讲义（动点）

考点．探索并掌握两个三角形全等的判定和性质．

学法1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．

2．本节一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，而是在运动变化中（寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形中，解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．

知识精讲

1．三角形全等的判定方法：

两个三角形中对应相等的边或角

全等判定法

一般三角形

三条边

两边及其夹角

两角及其夹边

两角及一角的对边

直角三角形

斜边及一条直角边

注意：

要证全等必须满足至少一组边对应相等．

2．三角形全等的证题思路：

3．全等三角形的性质：

全等三角形的对应边_______，对应角______；

4．全等三角形中常见的基本图形：

经典例题

例1、如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．

【习题改编】

（1）你添加的条件是：

；

（2）证明：

例2、如图，已知

中，

厘米，

厘米，点

为

的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运

动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，

与

是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够

使

与

全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿

三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在

的哪条边上相遇？

例3、数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

，且EF交正方形外角

的平分线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

，所以

．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

练习

1、如图

（1）,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=

；（直接写结果）

（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？

请说明理由；

（3）如图

（2），若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？

（只需直接写出你的猜想，不必证明）

图

（1）

图

（2）

2.如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？

若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？

请说明理由.

3.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

（1）求证：

BG＝CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.

4.

（1）如图1，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

5、在△ABC中，∠A

=90°，AB=AC，D为BC的中点．

（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：

△DEF为等腰直角三角形；

（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？

证明你的结论．

图1图2

6、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在

（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立？

（不用说明理由）

图1图2图3

7.如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM

BE，垂足为M，AM交BD于点F．

（1）求证：

OE=OF；

（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM

BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

8.如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）何时∆PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结DC．

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）．

（2）证明：

DC⊥BE．

10．在△ABC中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.

⑴当直线MN绕点C旋转到图⑴的位置时,求证:

①△ACD≌△CEB;②DE＝AD＋BE

⑵当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时,求证:

DE＝AD－BE;

⑶当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系,并加以证明.

注意:

第

（2）

、（3）小题你选答的是第小题.

解:

11、如图14，画一个两条直角边相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F，量出BE、CF、EF的长，改变D的位置，再重复上面的操作，你是否发现BE、CF、EF的长度之间有某种关系？

能说清其中的奥妙吗？