第二章 完全信息静态博弈(博弈论-中南财经政法大学 罗捍东)(课件).pptx

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第二章完全信息静态博弈,1基本分析思路和方法一、上策均衡假设一个博弈有n个博弈方，博弈方i的策略集（又称策略空间）为Si（i=1,2,n），用sijSi表示博弈方i的第j个策略；若siSi（i=1,2,n）,称s=（s1,s2,sn）为一个策略组合；若用s-i=（s1,s2,si-1,si+1,sn）,则s=（si,s-i）。

12/15/2019,1,用ui（s）=ui（s1,s2,sn）（i=1,2,n）表示博弈方i在策略组合s=（s1,s2,sn）的得益,ui是策略集S1S2Sn上的多元函数。

定义1：

若一个博弈的策略空间为Si,得益函数为：

ui（s）=ui（s1,s2,sn）（i=1,2,n）,则该博弈表示为：

G=S1,S2,Sn；u1,u2,un。

定义2：

一个博弈G,若对博弈方i及所用si都有ui（si,s-i）ui（si,s-i），则称si是si的严格上策，si是si的严格下策。

12/15/2019,2,*,12/15/2019,3,定义3：

若在博弈G中对每个博弈方i都存在策略si是其它所有策略的严格上策,则称策,略组合s*=（s1,s2,sn）是G的上策均衡。

*在第一章的“囚徒困境”博弈中，其中（坦白，坦白）就是一个上策均衡。

而其它例子都没有上策均衡。

上策均衡反映了所有博弈方的绝对偏好，因此非常稳定，根据上策均衡可以对博弈结果作出最肯定的预测。

二、严格下策反复消去法,12/15/2019,4,在博弈G中博弈方的严格下策当然是博弈方实际上不愿选择的策略，因此可以从博弈方的策略集中去掉。

定义：

若博弈G中每个博弈方都反复去掉严格下策后剩下唯一策略组合s*=（s1,s2,sn），*,12n,则称s*=（s*,s*,s*）为G的反复消去严格下,策均衡。

例1：

博弈G如右图：

博弈方左中右,12/15/2019,5,求解反复消去严格下策均衡的方法成为严格下策反复消去法。

显然第一章的“智猪博弈”中大猪“按”、小猪“等待”是一个反复消去严格下策均衡。

左,中,1,0,1,3,12/15/2019,6,左,中,上,解：

博弈方的策略“右”是策略“中”的严格下策，消去策略“右”后为：

博弈方的策略“下”是策略“上”的严格下策，消去策略“下”后为：

博弈方的策略“左”是策略“中”的严格下策，消去策略“左”后为可知（上，中）就是该博弈反复消去严,格下策均衡。

严格下策反复消去法中每次消去的必须是严格上策，否则会出现一些意想不到的结果。

例2：

博弈G如下图：

博弈方,12/15/2019,7,L,解：

1）博弈方的策略“L”和“M”都是策略“R”的下策（不是严格下策），消去策略“L”和“M”后为：

R1,80,80,9,12/15/2019,8,博弈方的策略“S”和“D”都是策略“U”的严格下策，消去策略“S”和“D”后剩下唯一策略组合（U,R）。

LMR2,81,61,8,2）博弈方的策略“S”和“D”都是策略“U”的下策（不是严格下策），消去策略“S”和“D”后为:

U,博弈方的策略“M”和“R”都是策略“L”的下策（不是严格下策），消去策略“M”和“L”后剩下唯一策略组合（U,L）。

2,81,61,80,80,60,80,81,50,9,12/15/2019,9,2纳什均衡,12/15/2019,10,一、纳什均衡的定义定义4：

博弈G=S1,S2,Sn；u1,u2,un,12n,中，若存在策略组合s*=（s*,s*,s*），任,一博弈方i的策略s*都是对其余博弈方策略组合,i*（s*,s*,s*,s*,s*）最佳对策，s-i12i-1i+1n即ui（si,s-i）ui（si,s-i）对任意siSi都成*,12n,立，则称s*=（s*,s*,s*）是G的一个纳什,均衡。

二、纳什均衡的求解方法,12/15/2019,11,1、划线法对其他博弈方的任一策略组合，找出博弈方i的最佳策略，并在其得益值下划线。

若存在一个策略组合，使得所有博弈方的得益值下都划了线，则该策略组合就是一个纳什均衡。

例1：

博弈G如右图：

左,博弈方中,右,解：

该博弈的纳什均衡为（上，中）。

12/15/2019,12,L,例2：

博弈G如下图：

博弈方M,R,解：

该博弈有两个纳什均衡（U,L）和（U,R）。

12/15/2019,13,2、箭头法考察在每个策略组合处各个博弈方能否通过单独改变自己的策略而增加得益。

如能，则从所分析的策略组合对应的得益数组引一箭头，到改变策略后策略组合对应的得益数组。

若存在一策略组合，其得益数组只有进来的箭头而没有出去的箭头，则该策略组合就是纳什均衡。

12/15/2019,14,例3：

博弈G如右图：

博弈方中,纳什均衡为（上，中）。

12/15/2019,15,斗鸡B,进攻,退却,例4：

斗鸡博弈,（进，退）和（退，进）是两个纳什均衡。

12/15/2019,16,二、纳什均衡的一致预测性,12/15/2019,17,一致预测性是指这样一种性质：

如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会利用该预测或者这种预测能力，选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的结果。

一致预测性是纳什均衡的本质属性，纳什均衡是稳定的和自我强制的.,三、纳什均衡与严格下策反复消去法,12/15/2019,18,上策均衡肯定是纳什均衡，但反过来纳什均衡不一定是上策均衡，因此上策均衡是比纳什均衡更强、稳定性更高的均衡概念。

只是，上策均衡在博弈问题中的普遍性比纳什均衡要差得多。

命题1：

在n个博弈方的博弈G=S1,S2,12/15/2019,19,12,Sn；u1,u2,un中，如果s*=（s*,s*,s*）是G的一个纳什均衡，那么严格下策反复,n消去法一定不会将它消去。

12,证：

用反证法：

设策略组合（s*,s*,n,s*）是博弈G的一个纳什均衡，且博弈方i的策略,s*，是该策略组合中第一个由于相对于该博弈,*,i方的其他策略是严格下策而被消去的策略（也许是在其他某些策略被消去以后）。

则必然存在博弈方i的某个策略si，该si在si被消去的时候还没,i,有被消去，并且是相对于s*的严格上策，即满,足：

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（1）,12/15/2019,20,对任意由其他博弈方此时尚未消去的所有策略构成的策略组合s-i=（s1,si-1,si+1,sn）都成立。

*,i12n,*,由于假设s是纳什均衡（s,s,s）的,各方策略中第一个被消去的，因此其他博弈方的策略s1,si-1,si+1,sn，在si被消去的时候都还没有被消去，于是对s-i=（s1,si-1,si+1,sn）也必须成立即:

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（2）*,12n,12/15/2019,21,这显然与（s*,s*,s*）是纳什均衡策略,组合的假设相矛盾，因为不等式

（2）表明si不是博弈方i对其他博弈方的策略组合的最佳反应。

该矛盾证明了开头所作的：

纳什均衡被严格下策反复消去法消去的假设是不可能成立的，这样命题1就得到了证明。

命题2：

在n个博弈方的博弈G中，如果严格下策反复消去法排除了除s*=（s1,s2,sn）之外的所有策略组合，那*么s*一定是该博弈惟一的纳什均衡。

证：

命题2的后半部分即惟一性可由命题1的结论得到证明。

下面用反证法证明前半部分：

12/15/2019,22,设严格下策反复消去法已经消去除了,12/15/2019,23,s*=（s1,s2,sn）以外的所有策略组合。

*但s*却不是一个纳什均衡。

就是说，至少存在某个博弈方i的某个策略si使得：

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（1）*但由于s*是经过严格下策反复消去法以后留下的惟一策略组合，因此si必然是被严格下策反复消去法消去的策略。

也就是说，在严格下策反复消去过程中的某个阶段，必然存在某个当时还没有被消去的策略si使得：

ui（si,s-i）ui（si,s-i）

（2）,12/15/2019,24,对由此时尚未被消去的，其他博弈方的策略构成的所有策略组合s-i都成立。

由于s*是本博弈经过严格下策反复消去法以后惟一留下的策略组合，因此策略s1,si-1,si+1,sn始终不会被消去，因此也应该满足

（2）式，即:

ui（si/,s-i）ui（si,s-i）（3）*,/,12/15/2019,25,*,iiii,如果s就是s,即s是相对于s的严格,上策，则（3）式和

（1）式相矛盾，从而s*不是纳什均衡的假设不能成立。

这就证明了命题。

/,*,iii,如果s与s不同，则s/在严格下策反复,消去的过程中也必须被消去（要不然s*就不会是留下的惟一的策略组合）。

进一步推定在某阶段存在si/是相对于si/的严格上策，用si/和si/分别代替si/和si时，,12/15/2019,26,/,ii,*,

（2）式和（3）式仍然必须成立，如果s就是s，则与上相同也证明了命题。

否则用si/代替si/重复上述过程。

这样，,ii,总会找到某个s（k）就是s*,从而证明在前述,假设下必然导致

（1）式和（3）式的矛盾，否定前述假设成立的可能性，由此证实命题2。

3无限策略博弈分析和反应函数,12/15/2019,27,根据上一节的分析已经明白，分析完全信息静态博弈的关键是找出其中的纳什均衡。

但前面所讨论都是可通过策略之间的两两比较进行分析的有限策略博弈模型。

在无限策略、连续策略空间的博弈中，纳什均衡的概念同样适用。

我们通过具体模型来说明这种博弈的纳什均衡分析方法。

一、古诺（Cournot）模型古诺模型是研究寡头垄断市场的经典模型，在古诺模型中,假设一个市场有两家生产同一种产品厂商。

如果厂商1的产量为q1，厂商2的产量为q2，则市场总产量为Qq1十q2。

设市场出清价格P（即可以将产品全部卖出去的价格）是市场总产量的函数（即逆需求函数）P=P（Q）=Q=（q1q2）。

再设两厂商有相同的单位生产成本c1=c2=c,且都没有固定成本，则该博弈中两博弈方的得益（即两厂商各目的利润）分别为:

12/15/2019,28,和虽然本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略，但根据纳什均衡的定义我们知道，纳什均衡就是具有相互是最优对策性质的各博弈方策略组成的策略组合。

12/15/2019,29,12,12/15/2019,30,因此，如果假设策略组合（q*,q*）是本,12,博弈的纳什均衡，则（q*,q*）必须是使得两,博弈方的得益达到最大值,即满足:

要求上式的最大值,只需

（1）、

（2）两式分别对q1、q2求偏导并令两个偏导数都等于,零,由此可得q*,q*应满足方程组:

12,12/15/2019,31,解之得该方程组唯的一组解:

均衡总产量为：

两博弈方的均衡得益（利润）分别为:

具体地,若设:

则:

12/15/2019,32,如果想对上述博弈结果作效率评价，可以再从两厂商总体利益最大化的角度作一次产量选择，根据向场条件求实现总得益（总利润）最大的总产量。

设总产量为Q，则总得益为UP（Q）cQQ（8Q）2Q6QQ2。

很容易求得使总得益最大的总产量Q*3，最大总得益U*9。

12/15/2019,33,将此结果与两厂商独立决策，追求自身而不是共同利益最大化时的博弈结果相比，不难发现此时总产量较小，而总利润却较高。

因此从两厂商的总体来看，根据总体利益最大化确定产量效率更高。

换句话说，如果两厂商更多考虑合作，联合起来决定产量，先定出使总利益最大的产量后各自生产一半（1.5,1.5单位），则各自可分享到的利益为4.5，比只考虑自身利益的独立决策行为得到的利益要高。

12/15/2019,34,当然，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，上述合作的结果并不容易实现，即使实现了也往往是不稳定的。

合作难以实现或维持的原因主要是。

各生产一半实现最大总利润产量的产量组合（1.5,1.5）不是该博弈的纳什均衡策略组合。

12/15/2019,35,也就是说，在这个策略组合下，双力都可以通过独自改变（增加）自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破1.5单位产量的冲动。

在缺乏由强制作用的协议等保障手段的情况下，这种冲动注定了维持上述较低水平的产量组合是不可能的，两厂商早晚都会增产，只有达到纳什均衡的产量水平（2，2）时才会稳定下来。

因为只有这时候任一厂商单独改变产量才不利于自己，这实际上也是一种“囚徒困境”，如果将遵守限额还是突破限额作为厂商面临的选择，则构成了得益矩阵如下图的博弈。

12/15/2019,36,厂商2,当然不难看出该博弈是一个囚徒困境博弈。

上述两寡头产量博弈只是古诺模型中比较简单的个特例，更一般的古诺模型是包括n个寡头的寡占市场产量决策。

但其分析方法是一样的。

12/15/2019,37,F4,二、反应函数古诺模型的纳什均衡也可以通过对划线法思路的推广来求，划线法的思路是先找出每个博弈方针对其他博弈方所有策略（或策略组合）的最佳对策，然后再找出相互构成最佳对策的各博弈方策略组成的策略组合，也就是博弈的纳什均衡。

在无限策略的古诺博弈模型中这样的思路实际上也是可行的，只是其他博弈方的策略现在有无限多种，因此各个博弈方的最佳对策也有无限种，它们之间往往构成一种连续函数关系。

12/15/2019,38,在上面讨论的两寡头古诺模型中，对厂商2的任意产量q2，厂商1的最佳对策产量q1，就是使白己在厂商2生产产量q2的情况下利润最大化的产量，即q1是最大化问题：

的解。

上式对q1求导并令导数等于0：

由此得：

12/15/2019,39,这样我们得到了对于厂商2的每个可能,的产量，厂商1的最佳对策产量的计算公式，它是厂商2产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为厂商1对厂商2产量的一个“反应函数”（ReactionFunction）。

同样的方法，我们可再求出厂商2对厂商1产量q1的反应函数：

q,2,6,3,6,3,q1,由于这两个反应函数都是连续的线性函数，因此可以用坐标平面上的两条直线表示它们,如图:

（2,2）,12/15/2019,40,从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的最佳反应为3。

这正是实现市场总利润最大的产量，因为这时候等于由一个厂商垄断市场，市场总体利润就是该厂商的利益；当一方的产量达到6时，另一方被迫选择0，因为这时后者坚持生产已经无利可图。

在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点（2，2）代表的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的。

R1（q2）上的其他所有点（q1,q2）只有q1是对q2的最佳反应，q2不是对q1的最佳反应，而R2（q1）上的点则刚好相反。

12/15/2019,41,根据纳什均衡的定义，（2，2）是该古诺模型的纳什均衡，并且因为它是惟的一个，因此应该是该博弈的结果。

这个结论与前面直接根据纳什均衡定义得到的完全样。

二、伯特兰德（Bertrand）寡头模型现在我们把反应函数法应用到伯特兰德模型的分析。

伯持兰德1883年提出了另一种形式的寡占模型。

这种模型与选择产量的古诺模型的区别在于，伯特兰德模型中各厂商所选择的是价格而不是产量。

我们用简单的两寡头且产品有一定差别的伯特兰德价格博弈模型进行分析。

12/15/2019,42,上述产品有一定差别是指两个厂商生产的是同类产品，但在品牌、质量和包装等方面有所不同，因此伯特兰德模型中厂商的产品之间有很强的替代性但又不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。

当厂商1和厂商2价格分别为P1和P2时，它们各自的需求函数为：

和,12/15/2019,43,从上式可以看出产品之间是有差别的，其中d1，d20即两厂商产品的替代系数。

我们也假设两厂商无固定成本，假设边际生产成本分别为c1和c2。

两博弈方的得益函数分别为：

我们直接用反应函数法分析这个博弈。

上两式分别对P1和P2求偏导，并令偏导数为0，由此得：

12/15/2019,44,很容易求出两厂商对对方策略（价格）的反应函数分别为,和,12/15/2019,45,12,纳什均衡（P*，P*）必是两反应函数的交,点，即必须满足：

记：

求解此方程组即可得到纳什均衡（P1，P2）：

*,12/15/2019,46,12,将P*，P*代入得益函数则可进一步得到,两厂商的均衡得益值。

具体地，如果进一步假设模型中的参数分别为：

则可以得到：

P1P220，u1u2414。

*,12/15/2019,47,上述模型是伯特兰德模型较简单的情况。

更一般的情况是有n个寡头的价格决策，并且产品也可以是无差别的。

值得一提的另外一点是，这种价格决策与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的最佳结果，因此也是囚徒困境的一种。

12/15/2019,48,三、公共资源问题随着社会经济的不断发展，我们越来越无法回避公共资源利用、公共设施提供和公共环境保护等方面的间题。

而在这些问题中，也包含了众多的博弈关系。

我们以人们对公共资源利用方面的博弈关系为例来作一些讨论。

12/15/2019,49,在经济学中，所谓公共资源是指具有

（1）没有哪个个人、企业或组织拥有所有权；

（2）大家都可以自由利用，这样两个特征的自然资源或人类生产的供大众免费使用的设施和财货。

例如大家都可以开采使用的地下水，可自由放牧的草地，可自由排放废水的公共河道（假设政府未予限制），以及公共道路、楼道的照明灯等。

由于公共资源有上述两个特征，因而利用这些资源时不支付任何代价，除非政府将这些资源收归国有，并对使用者征收资源税或收取类似的费用。

12/15/2019,50,最晚是从休漠1739年开始，政治经济学者们就己经开始认识到，在人们完全从自利动机出发自由利用公共资源时，公共资源倾向于被过度利用、低效率使用和浪费，并且过度利用会达到任何利用它们的人都无法得到实际好处的程度。

12/15/2019,51,我们用下面这个公共草地的放牧习题为例来论证这个结论。

设某村庄有n个农户，该村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。

出于这片草地的面积有限，因此只能让不超过某一数量的羊群吃饱，如果在这片草地上放牧羊只的实际数量超过这个限度，则每只羊都无法吃饱，从而每只羊的产出（毛、皮、肉的总价值）就会减少，甚至只能勉强存活或要饿死。

假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就要决定养羊的数量，因此可看作各农户在决定自己的养羊数量时是不知道其他农户养羊数的，即各农户决定养羊数的决策是同时作出的。

再假设所有农户都清楚这片公共草地最多能养多少只羊和在羊只总数的不同水平下每只羊的产出。

这就构成了n个农户之间关于养羊数的一个博弈问题，并且是一个静态博弈。

在此博弈中，博弈方就是n个农户；他们各自的策略空间就是他们可能选择的养羊数目qi（i=1,2,n）的取值范围。

12/15/2019,52,当各农户养羊数为q1、q2、qn时，在公共草地上放牧羊只的总数为Qq1q2qn，根据前面的介绍，每只羊的产出应是羊群总数Q的减函数VV（Q）V（q1、q2、qn）。

假设购买和照料每只羊的成本对每个农户都是相同的不变常数c，则农户i养qi只羊的得益函数为：

为了使讨论比较简单和能得到直观的结论，我们进步设定下列具体数值。

假设n3，即只有三个农户，每只羊的产出函数为V100Q100一（q1q2qn），而成本c4。

这时，三农户的得益函数分别为：

12/15/2019,53,由于羊的数量不是连续可分的，田此上述函数不是连续函数。

但我们在技术上也可以把羊的数量看作连续可分的，因此上述得益函数仍然可当作连续函数来处理。

分别求三农户各自对其他两农户策略（养羊数）的反应函数，得：

12/15/2019,54,12,12/15/2019,55,3,三个反应函数的交点（q*,q*,q*）就是博,12,3,弈的纳什均衡。

我们将q*,q*,q*代入上述应函,12,3,数，并解此联立方程组，即得q*q*q*24，,12,再将其代入三农户的得益函数，则可得u*u*,u*576，此即三农户独立同时决定在公共,3草地放羊数量时所能得到的利益。

为了对公共资源的利用效率作出评价，我们同样也可讨论总体利益最大的最佳羊只数量。

设在该草地上羊只的总数为Q。

则总得益为：

使总得益u最大的养羊数Q*必使总得益函数的导数为0，容易求得：

Q*48，总得益值u*2304。

该结果比三农户各自独自决定自己的养羊数量时三农产得益的总和1728大了许多。

而此时的养羊数Q*48则比三农户独立决策时草地上的羊只总数32472小，因此，三农户独立决策时实际上使草地处于过度放牧的情况，浪费了资源，农户也没有获到最好的效益。

12/15/2019,56,如果各农户能将养羊数自觉限制在48316,只，则他们都能得到更多的利益。

但问题是他们面临的也是种囚徒的困境局面，因此很难实现这种理想的合作的结果。

这个例子再一次证明了纳什均衡，或者说非合作博弈的结果有可能是低效率的。

在本例中，如果利用上述草地资源的农户数进一步增加，则纳什均衡的效率会更低；如允许外来者任意加入利用该公共资源的行列，则所有利用该资源的人的利益很决都会消失，即羊只总数会随着放牧农户数的增加而增加到刚好不至于亏损的水平，各农户将完全不能从在公共草地上养羊得到任何好处，公共资源等于完全被浪费,1掉2/15/2。

019,57,公共资源利用方面常会出现这样的悲剧，原因是每个可以利用公共资源的人都相当于面临着一种囚徒的困境；在总体上有加大利用资源可能（至少加大利用者白身还能增加得益）时，自己加大利用而他人不加大利用则自己得利。

自己,加大利用但其他人也加大利用则自己不至于吃亏，最终是所有人都加大利用资源直至再加大只会减少利益的纳什均衡水平，而这个水平肯定比实现资源最佳利用效率，同时也是个人最佳效率的水平要高。

F5,12/15/2019,58,公共设施问题也是类似的问题。

在许多需要人类生产、提供的公共设施的问题上，做搭便车者（FreeRider）总是比做提供者合算。

因此许多必需的公共设施，如楼道里的电灯等就总是没人提供。

这些公共资源博弈问题的结果说明了在公共资源的利用、公共设施的提供方面，政府的组织、协调和制约是非常必要的，这也可以说是政府之所以有必要存在的主要理由之一。

12/15/2019,59,现在考虑一般情况：

n个农户养羊数分别为q1、q2、qn时，羊只总数为Qq1q2qn，每只羊的产出为vv（Q）v（q1、q2、qn）。

是减函数，我们假定：

每只羊的成本为c，则农户i的得益函数为：

12/15/2019,60,则农户i的得益最优化的一阶条件是：

上述一阶条件可以作如下解释：

增加一只羊由正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的效应是这只羊是他之前所有的羊的价值下降（qiv/（Q）0）。

最优解满足边际收益等于边际成本的条件。

12/15/2019,61,又因为：

上述n个一阶条件得到n个反应函数：

12/15/2019,62,即第i个农民的饲养量随其他农民的饲养量的增加而递减。

所以：

12/15/2019,63,五、反应函数的问题和局限性反应函数法的概念和思路非常简店明了，它解决了我们分析一般的具有无限多种策略，有连续策略空间的博弈模型，因此反应函数法在博弈分析中非常有用。

但这并不等于说有了反应函数的概念，就可以解决所有博弈的分析，或者分析出所有博弈的最终结果。

12/15/2019,64,因为在许多博弈中，博弈方的策略是很有限的而不是很多的，更不是连续的，博弈方的得益函数并不是连续的可导函数，所以无法用先求导找出各个博弈方的反应函数，再解联立方程组的方法求纳什均衡，反应函数法在分析这样的博弈模