2012深圳杯数学建模夏令营C题解答Word文档下载推荐.docx
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二、问题分析
（1）由于整个机房内不同方位的温度是有差异的，根据附件1的数据，采用MATLAB软件绘制出冷热通道的热分布图与流场分布图，并根据热分布图得出了机房室内的最高温度。
（2）由于机柜散发热量及冷通道的气体传播的途径有很多，本题忽略其他因素，只考虑在空气中传播，建立大气扩散模型，通过与测试案例得出机房室内的热分布情况。
（4）根据《电子信息系统机房设计规范》C级要求，在一定任务量的基础上，以机房内的气流组织为研究对象，采用k~e两方程紊流模型建立数学模型，并得出了空调如何控制风速来调节机房室内的温度。
三、问题假设
（1）假设每个机柜散发的热量是相通的，且热量分布稳定。
（2）假设机柜散发热量是以相同溶度的热空气在机房传播。
（3）假设机柜散发热与冷通道的冷气在机房的分布是不受机房风速影响。
（4）假设机房室内气体为不可压缩流体，且满足Boussinesq假设：
认为流体密度的变化仅对浮升力产生影响。
（5）假定流场具有高的紊流Re数，流体的紊流粘性具有各向同性。
（6）气流为低速流动，可忽略由流体粘性力做功所引起的耗散热。
（7）假设一点的温度只与一个机柜相关。
（8）假设温度与机柜任务量满足指数函数关系。
（9）假设温度最高点只发生在温度极值点上
四、符号说明
ki（i=x，y，z）：
机房内任意一点的扩散系数
C（x，y，z，t）：
机房内任意一点热空气的浓度
Ux，Uy，Uz：
为x，y，z方向风速
Kx，Ky，Kz：
为x，y，z方向上的扩散系数
p0：
单位时间内机柜散发热空气的速率
Q0：
从机柜散发出的热流总量
Q1：
在（t，t+Dt）内通过某空间域的热流量
Q2：
在某空间域热流量的增量
¶
x，¶
y，¶
z：
分别为用浓度标准差表示的x，y，z轴上热量的扩散参数
vs：
热空气与冷空气接触的系数；
S：
机柜散发热的扩散的系数
K、t：
分别为风速与任意扩散时刻
H：
机柜散发出的热源距地面的高度
G：
为重力加速度；
K：
为流体紊流动能；
P：
为时均压力；
C：
为热源强度；
Pr：
为充分紊流时的普朗特数；
T：
为流体温度；
T0：
为参考温度；
Ui：
为速度分量，当i=1、2、3时分别代表X、Y、Z方向；
ε：
为紊流能量耗散率；
m、s：
分别为层流和紊流的动力粘性系数；
ρ：
为流体密度；
β：
为流体体积膨胀系数。
五、模型建立及求解
5.1模型一
经过对附件1的数据和题目的分析，直接使用MATLAB软件将该机房的二维热分布及二维的流场分布图绘制如下图1由附件1得到的通道二、三热分布图和流场分布图：
图1.1通道二热分布图 图1.2通道二流场分布图
图1.4通道三热分布图 图1.4通道三流场分布图
图1由附件1得到的通道二、三热分布图和流场分布图
同时，通过MATLAB求出极值（MATLAB计算程序见附录Ⅰ）：
通道二：
Imregionalmax=41.3707
Points=
3.3697 2.7000
通道三：
Imregionalmax=47.8571
3.3697 2.4091
5.2模型二
机房的热分布模型
记热量开始扩散的时刻t=0，并且以热源作为扩散中心，则可将t时刻机
房内任意一点（x，y，z）的热空气浓度记为C（x，y，z，t）。
假设单位时间内通过单位法向量面积的热流量与浓度梯度成正比，则有
q=-ki×
gradC
其中ki（i=x，y，z）是扩散系数，grad表示浓度梯度。
（1）
假设机房空间W的体积为V，包括机房空间W的曲面为一规则的球面，设
其表面面积S
，外法线向量为n=æ
-x，-y，ö
，
表 ç
1÷
z
è
z ø
则在（t，t+Dt）内流通过空间域W的热流量可以表示为：
=ò
t+Dt
Q1 t
ò
q×
ndsdt
s
（2）
在空间W所包围的区域内空气中的热流量增量可表示为：
Q2=ò
[C（x，y，z，t+Dt）-C（x，y，z，t）]dV
V
（3）
t+Dt
由机柜散发的的总热流量为：
Q0=ò
t ò
p0dVdt
W
（4）
由质量守恒可得出：
Q0=Q1+Q2，即，
[C（x,y,z,t+Dt）-C（x,y,z,t）]dV+
t+Dtt
ndsdt=
ò
p0dVdt
（5）
V s W
根据曲面积分Gauss公式得：
ò
nds=ò
divqdV
s V
（6）
则式子（5）可以转换成
ú
ë
é
C（x，y，z，t+Dt）-C（x，y，z，t）×
Dù
ê
Dt
tdV
û
+ò
由于：
t+Dtt
divqdVdt=ò
t
（7）
（ +D） （ ）
t+Dtkdiv（gradC）dt
C=limC
x，y，z，t
t-C
=limt
（8）
t Dt®
0 Dt Dt®
0 Dt
故式子（7）即可转换成：
¶
tû
Cù
dV×
Dt+
divqdV×
Dt=
p0dV×
Dt
（9）
V V
化简得：
dV+
W
divqdV=p
（10）
tú
ò
0
根据A.Fick扩散微分方程式中：
C+ ¶
C
¶
C ¶
2V
t Ux¶
X
+Uy¶
Y
+Uz¶
Z
=KX
X2+KY¶
Y2+KZ¶
Z2
（11）
其中：
C为常温气体浓度；
t为时间；
Ux ，Uy，Uz为x，y，z方向风速；
Kx，Ky，Kz为x，y，z方向上的扩散系数。
假设机房热量是在无风条件下扩散，此时有，
C= ¶
2V ¶
t Kx¶
X2+Ky¶
Y2+Kz¶
（12）
结合式子（11）可解出（10）的结果为：
C（x，y，z，t）= p0
é
x-y-（z-H）ù
（13）
x
（4p×
t）1.5（KK
yKz
）0.5expê
-4Kt
4Kyt
ú
4Kztú
由此得到机房里通过机柜散发热后的空气浓度：
1 s
C（x，y，z，t）=vC（x，y，z，t）（x2+y2+z2=s2t2）
（14）
由（13）可知机柜的热分布是一个向四周散发且在冷通道里的温度是降低的。
进而可知在测试案例中机房的热分布呈一个向四周发散的状态，特别是在冷通道的温度明显的可以看出是在降低（相对于其他通道）。
5.3模型三
机房设计是一个对称结构，也就是机柜位置对称，空调位置对称，冷热通道对称。
所以我们选取任务量相同的温度组（即附件二中第E、M、P列）通过
MATLAB作图并寻求温度极值点（见图2机柜不同任务量不同高度的热分布图）：
图2.1.1高度为0.2 图2.1.2高度为1
图2.1.3高度为1.8 图2.1.4高度为2.6
图2.1第E列即每个机柜任务量为0.5
图2.2.1高度为0.2 图2.2.2高度为1
图2.2.3高度为1.8 图2.2.4高度为2.6
图2.2第M列即每个机柜任务量为0.2
图2.3.1高度为0.2 图2.3.2高度为1
图2.3.3高度为1.8 图2.3.4高度为2.6
第P列即每个机柜任务量为0.3
图2机柜不同任务量不同高度的热分布图
通过MATLAB计算出温度最高的几个极值点（MATLAB计算程序见附录
Ⅱ）：
每个机柜的任务量为0.5：
Imregionalmax=
32.7584
32.8246
32.7247
2.4162
4.3727
4.0889
7.2485
4.3222
每个机柜任务量为0.2：
28.6021
28.6308
28.5428
4.1818
每个机柜任务量为0.3：
30.6982
30.7181
30.6863
根据数据可以发现三个任务量下极值点相同，由此，可以得出极值点即为
（2.4162,4.3727）
（4.0889,4.3727）
（7.2485,4.3222）
但由于高度上的分布是离散的，所以必须根据不同位置做出温度分布图，这样可以减小误差。
因为得到的极值点x值即通道位置就为给出数据中通道二、通道三、通道四的数据，所以，仅需要做出这三个通道的温度分布，见图3不同通道的热分布图：
图3.1通道二 图3.2通道三 图3.3通道四
图3不同通道的热分布图
通过MATLAB计算出温度最高的几个极值点（MATLAB计算程序见附录Ⅲ）：
32.5008
4.2717 1.7758
每个机柜的任务量为0.2：
32.4353
每个机柜的任务量为0.3：
32.5858
（2.4162,4.3727,1.7758）
（4.0889,4.3727,1.7758）。
由于我们没有温度极值点的数据，所以通过点
（7.2485,4.3222,1.7758）
（2.4,4.1,1.8）
（4.1,4.1,1.8）
（7.2,4.1,1.8）进行模拟，从而得到不同任务量下温度极值点的温度分布表（表1
机柜不同任务量下温度极值点的温度分布表）：
表1机柜不同任务量下温度极值点的温度分布表
（注其中x、y、z分别为通道位置，距离空调位置，高度）
机柜一
机柜二
机柜三
机柜四
2.4
4.1
7.2
y
1.8
0.5
32.1
32.0
32.2
0.8
35.9
32.4
32.6
35.8
0.3
30.2
0.2
28.4
31.9
28.1
28.0
30.0
30.1
分析表格可知当机柜一工作量提高到0.8时点二，点三温度没有变化，同样当机柜二工作量提高到0.8时点一，点四温度没有变化，当机柜四工作量提高到0.8时点一，点二温度没有变化，而当机柜三工作量提高到0.8时所有点的温度都几乎没有变化。
同样，当温度降低时也是如此。
根据上述分析，我们做出假设：
点一的最高温度只与机柜一有关，点二的最高温度只与机柜二有关，点三的最高温度只与机柜四有关。
做出散点图（图4温度极值点与相关机柜任务量的拟合），由图像确定使用指数函数拟合。
40
38
36
34
32
30
28
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
图4.1点（2.4,4.1,1.8）
图4.2点（4.1,4.1,1.8）
图4.3点（7.2,4.1,1.8）
图4温度极值点与相关机柜任务量的拟合
分析数据，选取温度极值点对应的机柜号拟合得到方程（MATLAB计算程
序见附录Ⅳ）：
T1=26.7333´
1.4483x1;
T2=26.0368´
1.5055x2;
T3=26.4856´
1.4760x4
其中Ti为第i个温度极值点的温度
xi为第i个相关机柜的任务量
运用MATLAB分配任务量，并求出机房最高温度的最低值（MATLAB计算程序见附录Ⅴ）：
任务量为0.8时：
maxint=35.1919
x11=0.7400
x12=0.7300
x13=1.0000
x14=0.7300
任务量为0.5时：
maxint=30.1168
x11=0.3200
x12=0.3500
x14=0.3300
5.4模型四
k~e两方程紊流模型建立数学模型
对于不可压缩、定常的流动，根据以上的假设，该模型的控制方程可用如下的通用形式：
（ru）+¶
（rv）+¶
（rw）=0
（1）连续性方程：
¶
é
X1 ¶
X2 ¶
X3
æ
Ui ¶
Ujö
ù
（15）
i j
（rUU
）=-
ê
（m+m）ç
+
÷
+b（T-T）rg
（16）
Xi
Xiê
ç
X ¶
i
j i
é
mi
0
ø
miö
¶
Tù
q
X（rUiT）=-¶
ç
Pr+
Xú
+CP
（2）能量方程：
i
ië
sTø
iû
（17）
（3）紊流动能方程（k方程）：
æ
kö
æ
Ui
mi¶
T
X（rUik）=-¶
Xç
X÷
+miç
+¶
-re+bg
÷
Pr¶
i iè
K iø
è
j
iø
i（18）
（4）紊流动能耗散率方程（ε方程）：
æ
m
U
Ujö
U e2
m¶
（rUe）=-
ç
i ÷
+Cmç
i+
i-C
+Cbg i
X i
s¶
X÷
1iç
2k 3
i jè
e jø
è
j iø
i（19）
紊流粘性系数的表达式：
m=CmCrk
D
2
e （20）
5.4.1计算结果及分析
点三的相关机柜为机柜二，根据题三拟合的公式：
。
由于点（7.2,4.1,1.8）就在机柜和冷通道交界处。
根据题设，冷通道的出风口为通道1/3。
我们假设风
𝑇
冷+2𝑇
热
𝑚
𝑎
𝑥
=
3 18≤𝑇
≤28
速恒定，那么 ，又因为 由此可得
54‒2𝑇
≤𝑇
≤84‒2𝑇
3 3
𝑥
热 冷 热即54‒52.9712×
1.4760 ≤𝑇
冷≤84‒52.9712×
1.4760。
根据上面所设立的模型，可以计算出机柜中的温度是……根据附件2中的数据，可以得到任务量和温度之间的散点图。
把散点图和上面个所得的公式进行比较，算出R2值。
同理，可以得到点2的散点图和拟合图。
如图（matlab程序见附录Ⅵ）：
图5点2散点图和拟合线
图6点3散点图和拟合线
根据图可知，假设符合实际，温度控制时应该满足
六、模型的检验
1.本文中大多数图形
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