高考福建卷文科数学试题及解答.docx
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高考福建卷文科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试数学（福建）
数学（文史类）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则A⋂（CU）等于
A.{2}B.{5}C.{3,4}D.{2,3,4,5}
（2）等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于
A.4B.8C.16D.32
（3）sin15°+cos75°+cos15°sin105°等于
1
A.0B.C.
22
D.1
（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
π
（5）函数y=sin（2x+
3
π
）的图象
π
A.关于点（
3
π
C.关于点（
4
，0）对称B.关于直线x=对称
4
π
，0）对称D.关于直线x=对称
3
（6）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为
AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于
A.45°B.60°C.90°D.120°
（7）已知f（x）为R上的减函数，则满足f
（1）>
x
取值范围是
f
（1）的实数x的
A.（-∞，1）B.（1，+∞）
C.（-∞，0）⋃（0，1）D.（-∞，0）⋃（1，+∞）
（8）对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是
A.若a·b＝0，则a=0或b=0B.若λa=0,则λ＝0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a-b=a·c，则b=c
（9）已知m,n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.m⊂α,n⊂α,m∥β，n∥β⇒α∥βB.α∥β，m⊂α,n⊂α，⇒m∥nC.m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D.n∥m,n⊥α⇒m⊥α
（10）以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是
A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0
C.x2+y2+4x-5=0D.x2+y2+4x+5=0
（11）已知对任意实数x,有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）,且x>0时f’（x）>0,g’（x）>0,则x<0时
A.f’（x）>0,g’（x）>0B.f’（x）>0,g’（x）<0
C.f’（x）<0,g’（x）<0D.f’（x）<0,g’（x）<0
（12）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：
凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000B.4096C.5904D.8320
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
（13）（x2+1）6的展开式中常数项是.（用数字作答）
x
⎧⎪x+y≥2,
（14）已知实数x、y满足⎨x-y≤2,则z=2x-y的取值范围是.
⎪⎩0≤y≤3,
（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。
（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：
对于任意a∈A,都有a-a;
（2）对称性：
对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;（3）传递性：
对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.
则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：
“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系：
.
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1
（17）（本小题满分12分）在△ABC中，tanA=
4
（I）求角C的大小;
3
tanB=.
5
（II）若AB边的长为，求BC边的长
（18）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;（II）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;（III）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
（19）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.
（I）求证：
AB1⊥平面A1BD;
（II）求二面角A-A1D-B的大小.
（20）（本小题满分12分）设函数f（x）=tx2+2t2x+t-1（x∈R,t>0）.
（I）求f（x）的最小值h（t）;
（II）若h（t）<-2t+m对t∈（0,2）恒成立，求实数m的取值范围.
（21）（本小题满分12分）数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn（n∈N*）.
（I）求数列{an}的通项an;
（II）求数列｛nan｝的前n项和T.
（22）（本小题满分14分）如图，已知点F（1，0），直线l:
x=-1,P为平面上的动点，过P作
l的垂线，垂足为点Q，且
OP·OF＝FP·FQ
（I）求动点P的轨迹C的方程;
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
（1）已知MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，求λ1+λ2的值;
（2）求|MA|·|MB|的最小值.
数学试题（文史类）参考答案
一、选择题：
本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分.
（1）C
（2）C（3）D（4）A（5）A（6）B
（7）D（8）B（9）D（10）B（11）B（12）C二、填空题：
本大题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
1
（13）15（14）[-5,7]（15）
2
（16）答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理知运算能力.满分12分.
解：
（I）∵C＝π-（A+B）,
1+3
∴tanC=-tan（A+B）=45＝-1，
·
1-13
45
又∵03
∴C=π
4
⎧tanA=sinA=1,
⎪
（II）由⎨2
cosA
2
4π
且A∈（0，），
2
⎪sin
⎪⎩
+
cos
A=1,
得sinA=.17
∵AB=
sinC
BC,
sinA
∴BC＝AB·
sinA=.
sinC
（18）本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.满分12分.
解:
记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1.
依题意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互独立.（I）“甲第三次试跳才成功”为事件A1A2A3，且三次试跳相互独立，
∴P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2）P（A3）=0.3×0.3×0.7=0.063.
答：
甲第三次试跳才成功的概率为0.063.（II）甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，
解法一：
C＝A1B1+A1B1+A1B1，且A1B1、A1B1、A1B1彼此互斥，
∴P（C）＝P（A1·B1）+P（A1·B1）+P（A1·B1）
＝P（A1）P（B1）+P（A1）P（B1）+P（A1）P（B1）
＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88.
解法二：
P（C）＝1-P（A1）·P（B1）＝1-0.3×0.4=0.88.
答：
甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0,1,2）,
“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni（i=0,1,2）,
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1为互斥事件.
∴所求的概率为
P（M1N0+M2N1）＝P（M1N0）+P（M2N1）
＝P（M1）P（N0）+P（M2）P（N1）
＝C1×0.7×0.3×0.42+0.72×C1×0.6×0.4
22
=0.0672+0.2352
=0.3024.
答：
甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.
（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.
解法一：
（I）取BC中点O，连结AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
连结B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点，
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD.
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
∴AB1⊥平面A1BD.（II）设AB1与A1B交于点C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（I）得AB1
⊥平面A1BD，
∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.
在△AA1D中，由等面积法可求得AF＝，
5
1
又∵AG＝2AB1=,
AG2
∴sin∠AFG===,
AF454
5
所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.
4
解法二：
（I）取BC中点O，连结AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1中点O1，以a为原点，OB，OO1，OA的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐
标系，则B（1,0,0）,D（-1,1,0）,A1（0,2,
）,A（0,0,3）,B1（1,2,0）,
∴AB1＝（1,2,-3）,BD=（-2,1,0）,BA1=（-1,2,3）
∵AB1·BD＝-2+2+0=0,AB1·BA1＝-1+4-3＝0，
∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1,
∴AB1⊥平面A1BD.（II）设平面A1AD的法向量为n=（x,y,z）.
AD＝（-1,1,-
3）,AA1=（0,2,0）.
∵n⊥AD,n⊥AA1,
∴⎧n·AD＝0，
⎧-x+y-
∵
=0,
∴⎧y=0,
⎨n·AA＝0，
⎨2y=0,
⎨x=-3z
⎩1⎩⎩
令z=1得a=（-,0,1）为平面A1AD的一个法向量.
由（I）知AB1⊥A1BD.
∴AB1为平面A1BD的法向量.
cos=
n·AB1=
|n|·|AB1|
=-6.
4
∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.
4
（20）本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分.
解：
（I）∵f（x）=t（x+t）2-t3+t-1
∴当x=-t时，f（x）取最小值f（-t）=-t2+t-1,即h（t）=-t3+t-1.（II）令g（t）=h（t）-（-2t+m）=-t3+3t-1-m,
（x∈R,t>0），
由g’（t）=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.
当t变化时g’（t）、g（t）的变化情况如下表：
T
（0,1）
1
（1,2）
g’（t）
+
0
-
g（t）
递增
极大值1-m
递减
∴g（t）在（0，2）内有最大值g
（1）=1-m
h（t）<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）<0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1（21）本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.
解：
（I）∵an+1=2Sn,,
∴Sn+1-Sn=2Sn,
∴Sn+1=3.
Sn
又∵S1＝a1=1,
∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）.
∴当n≥2时，an-2Sn-1=2·3n-2（n≥2）,
⎧⎪1，n=1
∴an=⎨
⎪⎩2·3n-2
n≥2.
（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.
当n=1时，T1=1;
当n≥2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3n-2,…………①
3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②
①-②得：
-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n·3n-1
=2+2·
3（1-3n-2）
2n·3
1-3
n-1
=-1+（1-2n）·3n-1
∴Tn=1+（n-1）3n-1（n≥2）.
22
又∵Tn=a1=1也满足上式，
∴Tn=1+（n-1）3n-1（n∈N*）
22
（22）本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：
（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由OP·QF＝FP·FQ得：
（x+1,0）·（2,-y）=（x-1,y）·（-2,y）,化简得C：
y2=4x.（II）
（1）设直线AB的方程为：
x=my+1（m≠0）.
2
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,又M（-1,-）.
m
⎧y2=4x,
⎩
联立方程组⎨x=my+1,消去x得：
y2-4my-4=0,
△=（-4m）2+12>0,
⎧y1+y2=4m,
⎨yy=-4.
⎩12
由MA=λ,AF,MB=λ2BF得：
y1+
2-λ
m1
y1,y2+m
=-λ2
y2，整理得：
λ=-1-2
1my
λ=-1-2,
2my
∴λ1+λ2＝-2-
=-2-2·y1+y2
2（1+1）
my1y2
my1y2
=-2-24m
m-4
=0.
解法二：
（I）由QP·QF＝FP·FQ得：
FQ·（PQ+PF）＝0，
∴（PQ-PF）·（PQ+PF）=0，
∴PQ2-PF2=0,
∴|PQ|=|PF|.
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：
y2=4x.（II）
（1）由已知MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，得λ1·λ2<0,
则：
|MA|=-λ1|AF|…………①
|MB|λ2BF
过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A1、B1,
则有：
MA＝|AA1|＝|AF|…………②
MB|BB1|
|BF|
由①②得：
-λ1|AF|＝|AF|，即λ
+λ＝0.
λ2|BF|
12
|BF|
（II）
（2）解：
由解法一：
|MA|·|MB|＝（
）2|y1-yM||y2-yM|
M
=（1+m2）|y1y2-yM（y1+y2）|+y2|
=（1+m2）|-4+2×4m+4|
mm2
=（1+m2）（4+4）
m2
=4（2+m2+1
m2
）≥4（2+2
）=16.
当且仅当m2=1
m2
，即m=±1时等号成立，所以|MA|·|MB|
最小值为16.
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