第七章解析几何与微分几何SECTION7资料0128085609.docx

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第七章解析几何与微分几何SECTION7资料0128085609

［曲线方程与正方向］

§平面曲线

曲线方程的形式

直角坐标系

隐式F（x,y）=0

显式y=f（x）

参数式或

（t为任意参数,s为曲线的弧长）极坐标系

（=:

（）

曲线的正向

x增加时，曲线上一点的运动方向

t或s增加时，曲线上一点的运动方向

「增加（即逆时针方向）时，曲线上一点运动方向

［曲线的切线与法线］当曲线上的点Q趋于M时，割线MQ的极限位置称为曲线在点M处的切线，通过点M并垂直于切线的直线称为法线•切线的正向就是曲线在切点处的正向，法线的正向就是切线的正向按逆时针方向旋转90°而得到的方向.

［曲线的切线方程与法线方程］

［曲率、曲率半径、曲率圆（或密切圆）与曲率中心的定义

的夹角「与弧长MQ之比，当Q趋于M时的极限，即

6da

称为曲线在点M的曲率,也就是切线的方向角对于弧长的转动率.当k>0时,表明曲线凹向朝法线的正向；当k<0时,表明曲线凹向朝法线的负向（图7.15）.

1ds

R

Fda

称为曲线在点M的曲率半径.在曲线凹向的法线上截

MC=R，则称C为曲线在点M的曲率中心，以C为圆心,R为半径的圆称为曲线在点M的曲率

圆,又称为密切圆.C点的坐标为

xC=x-Rsinot=

_dy

=x-R—-

ds

yc=y+Rcosa

rdx

=y+R——

ds

［曲率半径与曲率中心坐标的计算公式］设R为曲率半径,（xc,yc）为曲率中心的坐标，则有

1°曲线方程为F（x,y）=0时

F''xx

F''xy

F'x

F''yx

F''yy

F'y

F'x

F'y

0

2°曲线方程为y=f（x）时

X=X（t）

3°曲线方程为丿，时

y=y（t）

r二x2y2㊁

xy_xy

4°曲线方程为「TLi时

r22、'2-

Xc」cos_""mmy—sil""7n」'cos

［等距线、渐屈线、渐开线与包络线］

言，就是渐开线（或称渐伸线）

它是微分方程组

XY'（1+Y'2）x厂Y2'一

|y」+y'=f（x）[Y''

的解，式中丫'=巴

dx

定义与图形

方程与说明（：

y=f（x））

例在圆盘周围绕上一根不会伸缩的细线，线端栓一支铅笔，拉紧线端A逐渐拉开,铅笔尖在纸上画出来的曲线就是圆的渐开线•这个圆称为渐开线的基圆•细线称为渐开线的发生线（图7.16（a））.

现在来寻求渐开线的方程.设基圆的圆心是O,半径是a.开始画时，发生线的外端在A点，取OA为x轴（极轴），如图7.16（b）.再设线外端

为+e=PON,在齿轮设计中,通称为压力角）的一段弧NA,展开成为切线NP,所以切线aNP

）,从直角三角形ONP得:

OP=——，又因tan「，二

Cosa

圆的渐开线方程

X=—a—cos申

cosa

y=—a—sin申

l.cosa

式中是依赖于极角

的，这个关系决定于即=tan二-二.，把上式写为极坐标方程

*cosa©单位为弧度）

®=tana-a

设t=+［可得直角坐标参数方程

‘X=a（cost+tsint）”,

丿”v（a为基圆半径）

j=a（sint—tcost）

［雪列-弗莱纳公式］

dtndnt

dsRdsR

式中t和n分别为曲线的切线和法线的单位矢量，s为弧长，R为曲率半径.

［基本定理与自然方程］在闭区间［a,b］上给定一个连续函数k（s），则除了在平面上的位置差别外，唯一地存在一条平面曲线，以s为弧长，k（s）为曲率.k=k（s）称为曲线的自然方程.

［两条平面曲线构成n阶接触的概念与条件］

设两条曲线Ci和C2有一共同点0,在C2上取一点M,从M到Ci的距离设为h,以d表示M到0的距离（图

7.17）,如果

-n>0（M>0）d

则称两条曲线Ci与C2在点0构成n阶接触.

检验两条平面曲线构成n阶接触的准则：

1设曲线Ci的方程为F（x,y）=0，曲线C2的方程为x=x（t），y=y（t），并设在点t=to（即0（xo,yo））处Fx'+F：

式0,X2（to）+y2（to）式0，则两条曲线Ci与C2在点0构成n阶接

触的充分必要条件是：

「（to）八（to）「二（n）（toHo

式中（t^F[x（t）,y（t）]，「⑴表示「（t）n阶导数.

从此还可推出下面的检验准则：

2假定Ci:

F（x,y）=o是一条代数曲线（即F（x,y）是关于x和y的多项式），C2在原点（。

。

）的展开式为

ypxa2x2亠亠anxn

则Ci和C2在原点构成n阶接触的充分必要条件是：

把C2的展开式代进F（x,y）=0后，关于x的乘幕x，x2,x3,-xn的系数都等于零.