人教版初二数学上册 第12章全等三角形单元检测.docx
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人教版初二数学上册第12章全等三角形单元检测
全等三角形单元检测
一.选择题(共12小题)
1.如图,△ABC与△DEF是全等三角形,即△ABC≌△DEF,那么图中相等的线段有( )
A.1组B.2组C.3组D.4组
2.在△ABC中,∠A=∠B,若与△ABC全等的三角形中有一个角为90°,则△ABC中等于90°的角是( )
A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C
3.给出下列结论:
①面积相等的两个图形必全等;
②两个全等图形的面积必相等;
③面积不相等的两个图形必不全等;
④不全等的两个图形的面积必不相等.
其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图
(1),已知△ABC的六个元素,则图
(2)、图(3)、图(4)中的三角形和△ABC全等的有( )
A.图
(2)和图(3)B.图(3)和图(4)C.只有图(3)D.只有图(4)
5.如图,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD=AE.下列方法中,可以直接判断△ADB≌△AEC的是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
6.如图,用∠B=∠D,∠1=∠2直接判定△ABC≌△ADC的理由是( )
A.AASB.SSSC.ASAD.SAS
7.到一个角的两边距离相等的点( )
A.在一条射线上B.在两条互相垂直的射线上
C.在一条直线上D.在两条互相垂直的直线上
8.如图,△ABC纸片,要在纸片内找一点P,使它到三边的距离相等,点P是( )
A.边AB,AC的垂直平分线的交点
B.边AB,BC上的高的交点
C.边AB,AC的中线的交点
D.∠ABC与∠ACB的平分线的交点
9.如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB的中点,连接DF、EF、DE,EF与AC交于点O,DE与AB交于点G,连接OG,若∠BAC=30°,下列结论:
①△DBF≌△EFA;②AD=AE;③EF⊥AC;④AD=4AG;⑤△AOG与△EOG的面积比为1:
4.
其中正确结论的序号是( )
A.①②③B.①④⑤C.①③⑤D.①③④
10.如图,长方形图中有许多三角形.如果要找全等的三角形,一共可以找出几对( )
A.8B.7C.6D.4
11.如图,在正方形网格上有五个三角形,其中与△ABC全等(不包括本身)的三角形有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
12.如图,已知D为△ABC边BC的中点,DE⊥DF,则BE+CF( )
A.大于EFB.小于EF
C.等于EFD.与EF的大小关系无法确定
二.填空题(共6小题)
13.由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形,而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形(填“是”或“不是”).
14.如图,D、E分别是AB,BC上一点,△ABE≌△ACD.若点B和C对应,则AB对应边 ,AD对应边 ,∠A对应角 ,则∠AEB= ,理由是 ,EB= ,理由是 .
15.如图,已知△ACF≌△DBE,∠E=∠F,AD=9cm,BC=5cm,AB的长为 cm.
16.如图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90°
(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 .
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 .
(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 .
(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 .
(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是 .
17.如图,已知△ABC和△BDE,B为AD中点,BE=BC,∠1=∠2,∠3=∠4,请根据题意,写出图中的两对全等三角形:
.
18.在△ABC和△DEF中,AB=4,∠A=35°,∠B=70°,DE=4,∠D= °,∠E=70°,根据 判定△ABC≌△DEF.
三.解答题(共8小题)
19.如图,AB∥CD,PA平分∠BAC,PC平分∠ACD,过P点作PM、PE交CD于M,交AB于E
(1)求证:
PA⊥PC;
(2)当E、M在AB、CD上运动时,求∠3+∠4﹣∠1﹣∠2的值.
20.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,求∠DFB、∠DGB的度数.
21.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,O为AC的中点,AD为高,OG⊥AC,交AD的延长线于G,OB交AD于F,OE⊥OB交BC于E,过点O作OH⊥BC于H,求证:
DF=HE.
22.如图,点A、D、E在直线l上,∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥l于D,CE⊥l于E,求证:
DE=BD+CE.
23.如图,AB∥CD,AB=CD,∠A=∠C.你能得到哪些有关角、边的结论?
△ABF与△CDE全等吗?
24.已知:
△ABC中,D是AB的中点,E是AC的中点,F是DB上的一点,DF=AE,AG是∠BAC的角平分线,FH⊥AG垂足是H,FH、BC相交于I,求证:
BI=CI.
25.已知△ABC,点E在直线AB上,点D在直线AC上,且BD=AE,过点E作EG∥BC交直线BD于点G,交直线AC于点F,且BG=AB,∠ABG=60°.
(1)当点D在线段AC上时如图①,求证:
EG=BC+DF;
(2)当点D在线段AC延长线上时,如图②;当点D在线段CA延长线上时,如图③,请分别写出线段EG、BC、DF之间的数量关系,不需要证明.
(3)若∠BAC=30°,AB=3
,则DF= .
参考答案
一.选择题(共12小题)
1.【解答】解:
∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴EC=BF,
即图中相等的线段有4组,
故选D.
2.【解答】解:
∵与△ABC全等的三角形中有一个角为90°,∠A=∠B,
∴∠C=90°.
故选C.
3.【解答】解:
①面积相等的两个图形的对应边、对应角不一定相等,所以它们未必全等;故①错误;
②两个全等图形的面积必相等,故②正确;
③面积不相等的两个图形对应边、对应边上的高线肯定不相等,所以它们不全等,故③正确;
④不全等的两个图形的面积有可能相等,故④错误.
综上所述,正确的个数是2.
故选:
B.
4.【解答】解:
如图
(1)、
(2)根据一边、一角不能判定量三角形全等,故图
(2)中的三角形和△ABC不全等;
如图
(1)、(3)两角为58°、50°,对应相等,但是对应边不相等,不能判定它们全等,故图(3)中的三角形和△ABC不全等;
如图
(1)、(4)根据全等三角形的判定定理ASA可以证得它们全等,故图(4)中的三角形和△ABC全等.
综上所述,只有图(4)中的三角形和△ABC全等.
故选:
D.
5.【解答】解:
在△ADB与△AEC中,
,
∴△ADB≌△AEC(ASA).
故选:
C.
6.【解答】解:
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
故选A.
7.【解答】解:
到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线所在直线上.
故选C.
8.【解答】解:
∵点P到△ABC的三边的距离相等,
∴点P应是△ABC三条角平分线的交点.
故选D.
9.【解答】解:
Rt△ABC中,若∠BAC=30°,设BC=2,则AC=2
,AB=4;
∴AF=2,AE=2
,
∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°,即△EFA是直角三角形,
∴tan∠AEF=
=
,即∠AEF=30°,EF平分∠AEC,
根据等边三角形三线合一的性质知:
EF⊥AC,且O是AC的中点;(故③正确)
①∵F是AB的中点,∴AF=BF;
根据等边三角形三线合一的性质知:
DF⊥AB,
∵∠BAC=30°,
∴∠AFO=90°﹣∠BAC=60°,即∠DBF=∠AFE=60°;
∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD,
∴△DBF≌△EFA,故①正确;
②在Rt△ABC中,AB>AC,
∵AB=AD,AC=AE,
∴AD>AE,故②错误;
④由①的全等三角形知:
DF=EA,
又∵∠DFG=∠EAG=90°,∠DGF=∠EGA,
∴△DFG≌△EAG,即AG=GF,
∴AD=2AF=4AG,故④正确;
⑤由④知:
G是AF中点,由已知设AB=4,可以求出:
EO=3,AO=
,
∴S△EOG=
OE•(
OA)=
×3×
=
;
又S△AOG=
AG•AO•sin30°=
×1×
=
,
故△AOG与△EOG的面积比为1:
3,故⑤错误;
因此正确的结论是:
①③④,
故选:
D.
10.【解答】解:
∵ABCD是长方形,利用SAS可判定
∴△AOD≌△BOC,△DOC≌△AOB,△ABC≌△BCD,△BCD≌△ADC,
△ADB≌△ABC,△BCD≌△ADB,△ABC≌△ADC,△ADC≌△ADB,
所以共有8对,
故选A,
11.【解答】解:
根据SSS,可以判定图中有两个三角形与△ABC相似.
故选C.
12.【解答】解:
延长ED到G使DG=ED,连接CG,FG,
BD=CD,∠BDE=∠CDG,
可证得△BED≌△CGD,
∴CG=BE,
∵DE⊥DF,DG=ED,
∴EF=FG,
在△FCG中,FC+CG>FG,
∴BE+CF>EF.
故选A.
二.填空题(共6小题)
13.【解答】解:
由全等形的概念可知:
用一张相纸冲洗出来的2张5寸相片,各相片可以完全重合,故是全等形;由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片,大小不一样,所以不是全等图形.
故分别填是,不是
14.【解答】解:
∵△ABE≌△ACD,点B和C对应,
∴AB对应边AC,AD对应边AE,∠A对应角∠A,
则∠AEB=∠ADC,理由是:
全等三角形的对应角相等,
EB=DC,理由是:
全等三角形的对应边相等,
故答案为:
AC,AE,∠A,∠ADC,全等三角形的对应角相等,DC,全等三角形的对应边相等.
15.【解答】解:
∵△ACF≌△DBE,∠E=∠F,
∴CA=BD,
∴CA﹣BC=DB﹣BC,
即AB=CD,
∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4(cm),
∴AB=2(cm).
故答案为:
2.
16.【解答】解:
(1)若∠A=∠D,BC=EF,又因为∠C=∠F=90°,所以可根据AAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF;
(2)若∠A=∠D,AC=DF,又因为∠C=∠F=90°,所以可根据ASA判定Rt△ABC≌Rt△DEF;
(3)若∠A=∠D,AB=DE,又因为∠C=∠F=90°,所以可根据AAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF;
(4)因为∠C=∠F=90°,若AC=DF,AB=DE,所以可根据HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF;
(5)若AC=DF,CB=FE,又因为∠C=∠F=90°,所以可根据SAS判定Rt△ABC≌Rt△DEF.
故答案为AAS、ASA、AAS、HL、SAS.
17.【解答】解:
∵B为AD中点,
∴AB=BD,
在△ABM和△DBN中,
,
∴△ABM≌△DBN;
∵∠4=∠1+∠C,∠3=∠2+∠E,
∴∠C=∠E,
在△ABC和△DBE
,
∴△ABC≌△DBE,
故答案为△ABM≌△DBN,△ABC≌△DBE.
18.【解答】解:
根据题意,AB=DE,∠E=∠B,则∠A=∠D=35°,
∵△ABC≌△DEF(ASA)
故分别填35,ASA.
三.解答题(共8小题)
19.【解答】
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠DCA=90°,
∵PA平分∠BAC,PC平分∠ACD,
∴∠PAC=
∠BAC,∠PCA=
∠DCA,
∴∠PAC+∠PCA=
(∠BAC+∠DCA)=90°,
∴∠APC=90°,
∴PA⊥PC;
(2)解:
②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下:
作PQ∥AB,如图,
∵AB∥CD,
∴PQ∥CD,
由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4=180°,即∠APQ=180°﹣∠3﹣∠4,
由PQ∥CD得∠5=∠2,
∵∠APQ+∠5+∠1=90°,
∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1=90°,
∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2=90°.
20.【解答】解:
∵∠ACB=105°,∠B=25°,
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠B=180°﹣105°﹣25°=50°,
∵∠CAD=10°,
∴∠BAF=∠BAC+∠CAD=50°+10°=60°,
在△ABF中,∠DFB=∠B+∠BAF=25°+60°=85°;
∵∠D=25°,
∴在△DGF中,∠DGB=∠DFB﹣∠D=85°﹣25°=60°.
21.【解答】证明:
∵AC=2AB.O为AC的中点,
∴AB=AO=OC,
∵∠BAC=90°,OG⊥AC,
∴∠BAC=∠AOG=90°,
∴∠BAC+∠AOG=180°,
∴AB∥OG,
∴∠G=∠BAD,
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=∠BAC=90°,
∴∠ABC+∠BAD=90°,∠ABC+∠C=90°,
∴∠C=∠BAD,
∴∠C=∠G,
∵OB⊥OE,
∴∠BOE=90°,
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE,∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE,
∴∠BFA=∠OEC,
在△ABF和△COE中,
,
∴△ABF≌△COE(AAS),
∴BF=OE,
∵∠BFA=∠OEC,
∴∠BFD=∠OEH,
在△BDF与△OEH中,
,
∴△BDF≌△OHE,
∴DF=HE.
22.【解答】证明:
∵∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,
∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC,
∴∠DBA=∠EAC;
在△ABD与△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=BD+CE.
23.【解答】解:
角:
∠AFB=∠CED,∠AFD=∠CEB,边:
AF=CE,BF=DE,△ABF与△CDE全等.
理由:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠D,
在△ABF和△CDE中,
,
∴△ABF≌△CDE(ASA),
∴∠AFB=∠CED,AF=CE,BF=DE,
∴∠AFD=∠CEB.
24.【解答】证明:
延长FH交AC的延长线于点M,作CN∥AB,交FM于点N,
∵AG是∠BAC的角平分线,FH⊥AG,
∴∠FAH=∠MAH,∠AHF=∠AHM=90°,
在△AFH和△AFM中,
,
∴△AFH≌△AFM,
∴∠M=∠AFH,AF=AM,
∵CN∥AB,
∴∠CNM=∠AFH,∠B=∠ICN,
∴∠CNM=∠M,
∴CM=CN,
∵CM=AM﹣AC=AF﹣AC=AD+DF﹣AE﹣EC,DF=AE,
∴CM=AD﹣EC
∵BF=AB﹣AF=2AD﹣AD﹣DF=AD﹣DF,DF=CE,
∴BF=CN=CM,
在△BFI和△CIN中,
,
∴△BFI≌△CIN,
∴BI=CI.
25.【解答】
(1)证明:
在AC上找到H点使得BH=BC,连接AG,
∵AB=BG,∠ABD=60°,
∴△ABG为等边三角形,
∴∠BAG=60°,AG=AB,
在△ABD和△GAE中,
,
∴△ABD≌△GAE,(SAS)
∴∠AGE=∠BAD,EG=AD,∠AEG=∠ADB,
∵∠AEG+∠AFE+∠EAF=180°,∠ADB+∠ABD+∠EAF=180°,
∴∠AFE=∠ABD=60°,
∵EG∥BC,
∴∠C=60°,
∵BH=BC,
∴△BCH为等边三角形,
∴BH=BC,∠AHB=120°,
在△ABH和△GAF中,
,
∴△ABH≌△GAF,(AAS)
∴AF=BH,
∴AF=BC,
∵AD=AF+DF,
∴EG=BC+DF;
(2)证明:
①延长DA至H使得BH=BD,连接AG,
∵BH=BD,
∴∠H=∠D,AE=BH,
∵∠ABG=60°,BG=AB,
∴△ABG是等边三角形,
∴AB=AG,∠ABG=∠BAG=60°,
在△BDA和△AEG中,
,
∴△BDA≌△AEG(SAS),
∴EG=AD,∠E=∠D,
∴∠H=∠D,
∵BC∥EF,
∴∠BCA=∠EFC,
在△CBH和△FAE中,
,
∴△CBH≌△FAE(AAS),
∴BC=AF,
∵AD=AF+DF,
∴EG=BC+DF;
②连接AG,
∵∠ABG=60°,BG=AB,
∴△ABG是等边三角形,
∴AB=AG,∠ABG=∠BAG=60°,
∴∠DBA=∠EAG=120°,
在△DBA和△EAG中,
,
∴△DBA≌△EAG,(SAS)
∴AD=EG,∠DAB=∠AGE,
∵∠CBA=∠E,∠E+∠AGE=60°,
∴∠DCB=∠CBA+∠DAB=∠E+∠AGE=∠BAG=60°,
∴△DCB∽△DGA,
∴
=
,
∵∠EAF=∠DAB,∠DAB=∠AGE,
∴∠EAF=∠AGE,
∴△EAF∽△AGE,
∴
=
,
∵BD=AE,AD=EG,
∴
=
,
∴AF=BC,
∵DF=AF+AD,
∴DF=BC+EG;
(3)解:
根据∠BAC=30°画出图形,
∵∠AGE=∠BAC,∠BAC+∠D=60°,
∴∠CGF=90°,∠D=30°,
∵BC∥GF,∴∠CBD=60°,
∴∠ACB=30°,
∴BC=AC,CD=2BC=2AC,
∵AF=BC,
∴DF=AD+AF=AC+DC+AF=4AC=12.