平面直角坐标系找规律解析.docx

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平面直角坐标系找规律解析

平面直角坐标系找规律题型解析

1、如图，正方形ABCD的顶点分别为A（1,1）B（1，-1）C（-1，-1）D（-1，1），y轴上有一点P（0，2）。

作点P关于点A的对称点p1，作p1关于点B的对称点p2，作点p2关于点C的对称点p3，作p3关于点D的对称点p4，作点p4关于点A的对称点p5，作p5关于点B的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？

解法1：

对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

第2周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

第3周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

第n周期点的坐标为：

P1（2,0），P2（0,-2），P3（-2,0），P4（0,2）

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

解法2：

根据题意，P1（2，0）P2（0，－2）P3（－2，0）P4（0，2）。

根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出：

P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

总结：

此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。

此题是每四个点一循环，起始点是p点。

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．

（1）填写下列各点的坐标：

A4（，），A8（，），A10（，），A12（）；

（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；

（3）按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m（n是正整数）

（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．

（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。

解法：

（1）由图可知，A4，A12，A8都在x轴上，

∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，

∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：

A10（5，1）

（2）根据

（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n的坐标（2n，0）；

（3）∵只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，

∴点Am在x轴上，用含n的代数式表示为：

m=4n或m=4n-1；

（4）∵2011÷4=502…3，

∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．

（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。

（6）方法1：

点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（0,1），A2（1,1），A3（1,0），A4（2,0）

第2周期点的坐标为：

A1（2,1），A2（3,1），A3（3,0），A4（4,0）

第3周期点的坐标为：

A1（4,1），A2（5,1），A3（5,0），A4（6,0）

第n周期点的坐标为：

A1（2n-2,1），A2（2n-1,1），A3（2n-1,0），A4（2n,0）

106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,（2×27-1,1），即（53,1）方向朝下。

201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,（2×51-2,1），即（100,1）方向朝右。

方法2：

由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。

106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。

同理：

201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？

第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？

解法1：

到达（1，1）点需要2秒

到达（2，2）点需要2+4秒

到达（3，3）点需要2+4+6秒

到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n（n+1）秒

当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。

35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）

即第35秒在（5，0）处，方向向右。

42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左

49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）

即第49秒在（0，7）处，方向向右

解法2：

根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。

35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。

用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。

4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（　　）

解法1：

观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。

观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（-1,-1），A2（-1,1），A3（1,1），A4（1,-1）

第2周期点的坐标为：

A1（-2,-2），A2（-2,2），A3（2,2），A4（2,-2）

第3周期点的坐标为：

A1（-3,-3），A2（-3,3），A3（3,3），A4（3,-3）

第n周期点的坐标为：

A1（-n,-n），A2（-n,n），A3（n,n），A4（n,-n）

∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,（14,14），在同一象限

解法2：

∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，

根据题中图形中的规律可得：

3=4×1-1，A3的坐标为（1，1），7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），

11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）

5、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（　　）

解：

由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处

68、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）　45　．

解：

根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，

例如：

右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，

右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，

右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，

右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，

右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，

∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），

7、如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为　（）　．

解：

由图形可知：

点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。

坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。

∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。

∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）

10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为　（）　．

解法1：

观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（1,0），A2（1,1），A3（-1,1），A4（-1,-1）

第2周期点的坐标为：

A1（2,-1），A2（2,2），A3（-2,2），A4（-2,-2）

第3周期点的坐标为：

A1（3,-2），A2（3,3），A3（-3,3），A4（-3,-3）

第n周期点的坐标为：

A1（n,-（n-1）），A2（n,n），A3（-n,n），A4（-n,-n）

因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即（-502,502）

解法2：

由图形以可知各个点（除A1点和第四象限的点外）都位于象限的角平分线上，

位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1）A6（2，2）A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。

因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2，6，10，14，即4n﹣2（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

同理第二象限点的下标是4n﹣1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

因为2007÷4=501…3，所以A2007位于第二象限。

2007=4n﹣1则n=502，

故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（﹣502，502）．

8、如图，一个机器人从O点出发，向正向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6，A108点D的坐标各是多少。

解法1：

观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（3,0），A2（3,6），A3（-6,6），A4（-6,-6）

第2周期点的坐标为：

A1（9,-6），A2（9,12），A3（-12,12），A4（-12,-12）

第3周期点的坐标为：

A1（15,-12），A2（15,18），A3（-18,18），A4（-18,-18）

第n周期点的坐标为：

A1（6n-3,-（6n-6）），A2（6n-3,6n），A3（-6n,6n），A4（-6n,-6n）

因为6÷4=1…2，所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即（9,12）

因为108÷4=27，所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，（-6×27,-6×27）

解法2：

根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15,当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9，12）；

9、如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为　（）　．

解：

∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：

4+5+3=12，

∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，

∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．

10、如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，求点A3和A92的坐标分别是多少，．

解法1：

观察图象，点A1、A2、A3、每3个点，图形为一个循环周期。

根据计算A3的坐标是（0，﹣1）

设每个周期均由点A1，A2，A3，组成。

第1周期点的坐标为：

A1（-1,-1），A2（1,-1），A3（0,﹣1）

第2周期点的坐标为：

A1（-2,-2），A2（2,-2），A3（0,）

第3周期点的坐标为：

A1（-3,-3），A2（3,-3），A3（0,+1）

第n周期点的坐标为：

A1（-n,-n），A2（n,-n），A3（0,+n-2），

因为3÷3=1，所以A3的坐标与第1周期的点A3的坐标相同，即（0,﹣1）

因为92÷3=30…2，所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即（31,-31）

解法2：

∵△A1A2A3的边长为2，∴△A1A2A3的高线为2×=，

∵A1A2与x轴相距1个单位，∴A3O=﹣1，∴A3的坐标是（0，﹣1）；

∵92÷3=30…2，∴A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点，

第31个等边三角形边长为2×31=62，

∴点A92的横坐标为×62=31，∵边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，

∴点A92的纵坐标为﹣31，∴点A92的坐标为（31，﹣31）．

12、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），第五跳落到A5　___　．到达A2n后，要向____方向跳　____个单位落到A2n+1．

解：

∵蓝精灵从O点第一跳落到A1（1，0），第二跳落到A2（1，2），第三跳落到A3（4，2），第四跳落到A4（4，6），

∴蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1，即可得出：

第五跳落到A5（9，6），到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1．

12、将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、…，按此规律，点A2012在那条射线上．

解：

如图所示：

点名称射线名称

AB

A1

A3

A10

A12

A17

A19

A26

A28

…

CD

A2

A4

A9

A11

A18

A20

A25

A27

…

BC

A5

A7

A14

A16

A21

A23

A30

A32

…

DA

A6

A8

A13

A15

A22

A24

A29

A31

…

根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，

因为2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样．

因为点A2012所在的射线是射线AB，所以点A2012在射线AB上，故答案为：

AB．

13、如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是　_________　．

解法1：

观察图象，每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：

P1（1,1），P2（2,0），P3（3,2），P4（4,0）

第2周期点的坐标为：

P1（5,1），P2（6,0），P3（7,2），P4（8,0）

第3周期点的坐标为：

P1（9,1），P2（10,0），P3（11,2），P4（12,0）

第n周期点的坐标为：

P1（4n-3,1），P2（4n-2,0），P3（4n-1,2），P4（4n,0）

因为2011÷4=502…3，所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同（503×4-1,2），即（2011，2）

解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），

∴第4次运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），…，

∴横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，

∴经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：

2011÷4=502余3，故纵坐标为四个数中第三个，即为2，∴经过第2011次运动后，动点P的坐标是：

（2011，2）

14、将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是　_________　．

解：

第1排的第一个数为1，

第2排的第一个数为2，即2=1+1

第3排的第一个数为4，即4=1+1+2

第4排的第一个数为7，即7=1+1+2+3

第n排的第一个数为1+1+2+3+…+n-1=1+n（n-1）/2

将7带入上式得1+n（n-1）/2=1+7×3=22，所以第七排的第二个数是23，即（7，2）表示的实数是23.

15、如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是　（）。

点A第103次跳动至点A103的坐标是　（）

解法1：

观察图象，点A1、A2每2个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2组成。

第1周期点的坐标为：

A1（-1,1），A2（2,1）

第2周期点的坐标为：

A1（-2,2），A2（3,2）

第3周期点的坐标为：

A1（-3,3），A2（4,3）

第n周期点的坐标为：

A1（-n,n），A2（n+1,n），

因为103÷2=51…1，所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52，52）

解法2：

（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为

．第2次跳动至点的坐标是A2（2，1），

第4次跳动至点的坐标是A4（3，2），

第6次跳动至点的坐标是A6（4，3），

第8次跳动至点的坐标是A8（5，4），

第n次跳动至点的坐标是An

，∴第100次跳动至点的坐标是（51，50）．

（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐标的相反数，即第

次跳动至点A

的坐标为

第1次跳动至点的坐标是A1（-1，1），第3次跳动至点的坐标是A3（-2，2），

第5次跳动至点的坐标是A5（-3，3），第7次跳动至点的坐标是A7（-4，4），

…

第n次跳动至点的坐标是

，

∴第103次跳动至点的坐标是（-52，52）．

16、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2008的位置，则点P2008,P2007的横坐标分别为为（）（）

解法1：

观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1、P2、P3组成。

第1周期点的坐标为：

P1（1,0），P2（1,0）,P3（2.5,y）

第2周期点的坐标为：

P1（4,0），P2（4,0）,P3（5.5,y）

第3周期点的坐标为：

P1（7,0），P2（7,0）,P3（8.5,y）

第n周期点的坐标为：

P1（3n-2,0），P2（3n-2,0），P3（3n-1+0.5,y）

因为2008÷3=669…1，所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同，

（3×670-2，0），即（2008，0）所以横坐标为2008

因为2007÷3=669，所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同，

（3×669-1+0.5，y），即（2006.5，y）所以横坐标为2006.5

解法2：

观察图形结合翻转的方法可以得出

P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，

P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5

…依此类推下去，能被3整除的数的坐标是概数减去0.5即为该点的横坐标。

P2005、P2006的横坐标是2005，P2007的横坐标是2006.5，

P2008、P2009的横坐标就是2008．故答案为2008．

2007÷3=667，能被3整除，所以P2007的横坐标为2006.5

其实，关键是确定P2008对应的是P4这样的偶数点还是对应的P8这样的偶数点，可以先观察P3、P6、P9的可以发现3个一循环。

由2008÷3=669…1即在第669个循环后面，所以应该是类似P4这样的偶数点，它们的特点是点P4对应的横坐标是4，所以点P2008对应的横坐标是2008

17、如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006是多少？

P2012的横坐标又是多少

解法1：

观察图象，点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1、P2、P3、P4组成。

第1周期点的坐标为：

P1（1,1），P2（2,0）,P3（2,0）,P4（3,1）

第2周期点的坐标为：

P1（5,1），P2（6,0）,P3（6,0）,P4（7,1）

第3周期点的坐标为：

P1（9,1），P2（10,0）,P3（10,0）,P4（11,1）

第n周期点的坐标为：

P1（4n-3,0），P2（4n-2,0），P3（4n-2,0）,P4（4n-1,1）

因为2006÷4=501…2，所以P2006的坐标与第502周期的点P2的坐标相同，

（4×502-2，0），即（2006，0）所以横坐标为2006.

因为2012÷4=503，所以P2012的坐标与第503周期的点P4的坐标相同，

（4×503-1，1），即（2011，1）所以横坐标为2011

解法2：

从P到P4要翻转4次，横坐标刚好加4，

∵2006÷4=501…2，

∴501×4﹣1=2003，（之所以减1，是因为p点的起始点的横坐标为-1）

由上式可知，P2006的位置是正方形完成了501次翻转后，还要再翻两次，即完成类似从P到P2的过程，横坐标加3，即2003+3=2006

则P2006的横坐标x2006=20