平行四边形 复习讲义.docx

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平行四边形复习讲义

中心对称图形复习

一、平行四边形的性质与判定

【知识梳理】

知识点1：

平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

定义的作用：

（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；

（2）给出了平行四边形的一个重要性质:

两组对边分别平行。

知识点2：

平行四边形的性质

（1）定义性质：

平行四边形的两组对边分别平行。

（2）性质:

A、平行四边形的对角相等。

B、平行四边形的对边相等。

C、平行四边形的对角线互相平分。

（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

注意：

边：

对边平行，对边相等；角：

对角相等，邻角互补；对角线：

对角线互相平分。

知识点3：

平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【例题精讲】

例1：

如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E，求证：

BO=OE．

例2：

已知：

如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

例3：

□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：

EF和GH互相平分．

【课堂练习】

1：

如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

2：

例1：

如图，在□ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：

四边形MFNE是平行四边形．

二、矩形的性质与判定

【知识梳理】

名称

定义

性质

判定

面积

矩形

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

除具有平行四边形的性质外，还有

1四个角都是直角

②对角线相等

③既是中心对称图形又是轴对称图形

①有三个角是直角的四边形是矩形；

②角线相等的平行四边形是矩形；

③定义。

①S＝ab（a是一边的长，b是这边上的高）

【例题精讲】

例1：

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．

例2：

如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交D，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．

【课堂练习】

1：

已知：

如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．

（1）求证：

四边形ABCD为矩形；

（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：

BE＝CF．

2：

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论

三、菱形的性质与判定

【知识梳理】

名称

定义

性质

判定

面积

菱形

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

除具有平行四边形的性质外，还有

①四条边都相等

②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角

③既是中心对称图形又是轴对称图形。

①四条边相等的四边形是菱形；

②对角线垂直的平行四边形是菱形；

③定义

①S＝ah（a是一边的长，h是这边上的高）

【例题精讲】

例1：

如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是（）．

（A）4（B）8

（C）12（D）16

例2：

如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．

求：

（1）∠ABC的度数；

（2）菱形ABCD的面积．

【课堂练习】

1：

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：

四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

2：

如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）证明：

当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?

如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

四、矩形的性质和判定

【知识梳理】

名称

定义

性质

判定

正方形

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形形。

除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还有

①四个角都是直角，四条边都相等

②对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

③是中心对称图形又是轴对称图形。

①有一组邻边相等的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形；

③定义

【例题精讲】

例1：

例1：

如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC．求证：

FN=EC

例2：

在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果

，那么EF＋EG的长为______．

例3：

已知：

如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，

∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

【课堂练习】

1：

如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．

2：

已知点P是正方形ABCD的对角线BD上任一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连PA、EF．猜想并证明线段PA与EF存在着什么关系．

五、三角形的中位线

【知识梳理】

中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半。

【例题精讲】

例1:

如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点.

求证：

四边形EFGH是菱形.

例2:

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与CD不平行，H、G分别是两条对角线BD、AC的中点，求证：

GH∥AD，且GH＝（BC－AD）．

六、四边形的性质与判定的综合

【课堂练习】

1：

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：

四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

2：

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．

（1）若OF=4，求FG的长；

（2）求证：

BF=OG+CF．