中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案模型辨析+例题讲解+练习题.docx

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中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型教学案模型辨析+例题讲解+练习题

中考数学三角形之中位线和中线常见考题题型

在中位线的学习，很多同学掌握不到位，遇到题目中有直角三角形斜边上的中点，经常视而不见，从而想不到斜边中线处理线段之间数量关系时的妙用；而有时出现多个中点，想不到再找中点，从而也就看不见隐藏的中位线了，本讲就精选几道例题帮助同学们突破难点．

一、想不到的斜边中线

例1：

如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为________．

分析：

根据DE是中位线，可知DE长是第三边BC长的一半，点D是AB的中点．由∠AFB＝90°，则Rt△ABF中，可知DF作为斜边中线，长度等于斜边AB长的一半，将DE的长减去DF的长，即可得到EF的长．

解答：

例2：

如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：

四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：

∠DHF＝∠DEF．

分析：

（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE∥AC，EF∥AB，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）D，F分别作为Rt△ABH，Rt△ACH斜边AB，AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DH＝AD，FH＝AF，∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，即∠BAC＝∠DHF，由平行四边形对角相等可得∠DEF＝∠BAC，等量代换即可得证．

证明：

（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DE、EF是△ABC的中位线，

∴DE∥AC，EF∥AB，

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵AH是边BC上的高，D，F分别是AB，CA中点

∴Rt△ABH中，DH＝AD，Rt△ACH中，FH＝AF，

∴∠BAH＝∠AHD，∠CAH＝∠AHF，

∴∠DHF＝∠BAC，

∵四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DEF＝∠BAC，

∴∠DHF＝∠DEF．

本题也可连接DF，证明△DEF≌△FHD

小结：

许多题目中，会出现多个中点，有的中点与另一中点相连，作为中位线；而有的中点与直角顶点相连，就成了斜边中线，而这都涉及到线段长度之间的倍数关系，尤其是后者，不能忽视．

二、看不见的中位线

（1）补全三角形

例1：

在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于D，E是AB中点，AC＝15，BC＝27，求DE的长．

分析：

本题中，点E已经是AB的中点，由CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到可以构造等腰三角形，利用三线合一，使点D成为另一个中点，从而让ED变成“看得见”的中位线．

解答：

例2：

如图△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

（1）求证：

GH∥BC；

（2）若AB＝9，AC＝14，BC＝18，求GH．

（3）若将条件“∠B，∠C的平分线”改为“∠B的平分线及∠C的外角平分线”（如图2所示），或改为“∠B，∠C的外角平分线”（如图3所示），其余条件不变，求证：

结论GH∥BC仍成立．

分析：

与上例类似，有角平分线，有垂直，延长构造等腰三角形，利用三线合一．

解答：

（1）证明：

分别延长AG，AH交BC于M，N，

在△ABM中

∵BG平分∠ABM，BG⊥AM，

∴∠ABG＝∠MBG，∠BGA＝∠BGM＝90°

∴∠BAM＝∠BMA．

∴BA＝BM，G是AM的中点．

同理CA＝CN，H是AN的中点，

∴GH是△AMN的中位线，HG∥MN，HG∥BC．

（2）由

（1）知，△ABG≌△MBG，△ACH≌△NCH，

∴AB＝BM＝9，AC＝CN＝14．

∴MN＝BM＋CN－BC

 ＝AB＋AC－BC＝9＋14－18＝5

（3）无字证明如下，相信同学们都能看懂．

（2）找边的中点

例1：

分析：

根据要证明的结论，我们可以发现这与三角形三边关系有关，因此，要构造一个以CD长的一半，AB长的一半，EF长为三边的三角形，自然想到中位线，取BC边的中点即可．

解答：

变式：

已知在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、DC的中点．求证：

OM＝ON．