数学建模获奖文献.docx
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数学建模获奖文献
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
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）
日期：
2013年9月16日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
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阅
人
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分
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注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘要
本文研究的是由于发生交通事故，车道被占对事故发生所处横断面实际通行能力的影响。
对于问题1，通过采集数据，列表、作图、求实际通行能力的模型对问题进行分析。
运用城市道路设计规范中有关道路通行能力的计算公式
得出各个时间段最大车流量,通过最小二乘法、线性回归等方法求得回归方程
，可以初步得出结论：
通行能力
基本上是一个常数，随着时间的推移，会有微小的波动。
对于问题2，研究方法与问题1相同，同样，我们得到了通行能力与实践的线性回归方程
。
此时结论有，当事故所处不同车道时，事故横断面处的实际通行能力有明显的变化。
对于问题3，我们先进行相关量的采集和拟合，，最终得到排队长度与车辆排队长度、实际通行能力、事故持续时间的模型
，并根据
的不同算法，得到两个实际通行能力的值，并加以比较。
然后我们用视频1中所采集的数据加以验证，更进一步说明了模型的正确性。
对于问题4，将具体数据代入上述模型实际应用，但是由于
的不同算法，所得到排队长度
的两个结果
和
。
关键词：
通行能力交通量堵车长度事故持续时间标准车当量
一、问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
所以，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
题中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。
就此，我们将研究以下问题：
1、描述视频1中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2、结合问题1所得结论，通过视频2，分析说明同一横断面交通事故
所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3、构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4、假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。
估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
二、问题分析
问题1要求描述事故过程道路横断面通行能力的变化趋势，所以采用观察视频进行数据的采集，列表作图，用最小二乘法以及线性回归的方法，用R软件进行回归方程的求解进行比较。
对于问题2，为了分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，我们对数据进行采集，列表、作图，用最小二乘法以及线性回归的方法，用R软件进行回归方程，从而进行比较。
对于问题3，通过车辆排队长度与事故持续时间、实际通行能力、以及上游车流量的相关关系建立数学模型，，并用视频1进行检验，做出最优化处理。
对于问题4，可以通过问题3中建立的模型直接带入求解。
三、模型假设
1、大型卡车和装载货车均符合大型客车的统一标准，面包车符合小型车标准；
2、车辆排队时，电瓶车可以插缝，所以计算堵车长度时忽略不计；
3、以一分钟为周期采样，不考虑上游交通信号灯转换所带来的影响；路段下游方向需求不变；
4、堵车时的车间距不变。
四、符号说明
：
小型车车辆；
：
大型车车辆；
：
电瓶车车辆；
：
标准车当量，单位是pcu/h；
：
事故发生时间；
：
一条直行车道的通行能力单位是辆/h；
：
直行车或右转车辆通过停车线的平均时间（平均车头时距）；
：
信号周期内的绿灯时间；
：
表示的是绿灯亮后，第一辆车启动，通过停车线的时间一般可用2.3s；
：
表示的是信号灯周期；
：
是折减系数，可以用0.9；
：
排队长度，单位为米；
：
标准小型车车长和堵车时的车间距之和；
：
单位时间内通过某点的车辆数；
：
某点单位长度通过的车辆数
：
车辆通过某点的车流速度
：
车辆通过路面的最大车速
：
最大车辆密度
五、模型的建立与求解
问题1
针对问题1，利用一分钟采样一次的方法，从事故发生时间16:
42:
32到碰撞车辆撤离时间17:
00:
51，对事故横断面通过的大型、小型以及电瓶车进行数量统计。
为了使不同车辆组成的交通流能够在同样的尺度下进行分析，需要把不同车型的交通量换算成标准车当量，见表1.
表1.不同车型的标准车当量折算系数
车型
小型车
大型车
电动车
折算系数
1.0
2.0
0.5
这里，我们把小型面包车以及乘客数小于9的车辆算作小型车辆，将极少数的装载货车和乘客数大于21的客车算作大型车。
为方便起见，将事故发生开始时记为零时刻，每隔一分钟采集一次数据，见表2，所以
。
表2.各时间段标准车当量
序号
计时时刻
小型车辆a
大型车辆b
电瓶车辆c
标准车当量D（pcu/min）
标准车当量（pcu/h）
0
16:
42:
32
0
0
0
0
0
1
16:
43:
32
15
3
5
23.5
1410
2
16:
44:
32
17
2
5
23.5
1410
3
16:
45:
32
16
0
3
17.5
1050
4
16:
46:
32
16
1
4
20
1200
5
16:
47:
32
15
0
9
19.5
1170
6
16:
48:
32
18
1
4
22
1320
7
16:
49:
32
19
0
2
20
1200
8
16:
50:
32
10
1
4
14
840
9
16:
51:
32
18
1
2
21
1260
10
16:
52:
32
17
1
3
20.5
1230
11
16:
53:
32
16
2
1
20.5
1230
12
16:
54:
32
15
1
2
18
1080
13
16:
55:
32
14
1
0
16
960
14
16:
56:
32
10
0
2
11
660
15
16:
57:
32
5
1
2
8
480
16
16:
58:
32
7
1
1
9.5
570
17
16:
59:
32
7
0
4
9
540
为了更直观的观察车流量的变化情况，根据表2绘制出车流量的变化曲线图，见图1。
（图1）
根据城市道路设计规范可知一条直行通道通行能力可计算公式如下：
平均车头时距
与车辆组成、车辆性能、驾驶员条件有关，计算时可参考以下数值来运用：
小型车组成的车队
=2.5s；大型车组成的车队
=3.5s；混合车辆组成的车队可用表3进行计算。
表3.混合车组成的车队
大车/小车
2:
8
3:
7
4:
6
5:
5
6:
4
7:
3
8:
2
2.65
2.96
3.12
3.26
3.30
3.34
3.42
由表3可得大型车与小型车的比例与平均车头时距的函数关系如图2。
（图2）.大型车与小型车的比例与平均车头时距的函数关系
视频1中大小车通过比例及混合车队具体的
以及
，如下表4。
表4.混合车队的
序号
大车
小车
总车辆
比例
Ti（s）
Cs（辆/h）
0
0
0
0
0
0
0
1
3
15
18
1:
5
2.73
483.23
2
2
17
19
2:
17
2.59
506.43
3
0
16
16
0:
16
2.50
522.72
4
1
16
17
1:
16
2.43
536.22
5
0
15
15
0:
15
2.50
522.72
6
1
18
19
1:
18
2.40
542.25
7
0
19
19
0:
19
2.50
522.72
8
1
10
11
1:
10
2.55
513.53
9
1
18
19
1:
18
2.40
542.25
10
1
17
18
1:
17
2.59
506.43
11
2
16
18
1：
8
2.61
503.00
12
1
15
16
1:
15
2.44
534.25
13
1
14
15
1:
14
2.46
530.34
14
0
10
10
0:
10
2.50
522.72
15
1
5
6
1:
5
2.73
483.23
16
1
7
8
1:
7
2.64
497.85
17
0
7
7
0:
7
2.50
522.72
由上表，可绘制得到该路段通行能力的变化曲线，见图3。
通行能力指的是道路通行能力，是指道路上某一地点、某一车道或某断面处，单位时间内可能通过的最大的交通实体（车辆或行人）数，亦称道路容量、交通容量或简称容量，一般以
、
表示。
去掉没堵车时的散点，得到事故所处横截面的实际通行能力的变化曲线。
（图3）通行能力的变化曲线
分析相关数据，利用线性回归、最小二乘法，找出通行能力的回归函数方程，
，单位为辆/h。
（R软件求解回归方程的具体过程见附录1）
由此函数可知：
（1）在堵车的时间段内，事故所处横断面的实际通行能力变化不大，相对稳定，但也随着时间的推移而在微弱的增大，分析可得，事故发生的时间为下班时间，处于车辆运行的高峰期，因而道路路面车流密度增大，通行能力增大。
（2）通行能力与大型车辆和小型车辆的比例所影响的平均车头时距成负相关，横断面所通过的大型车辆在同时间内所占通过总车辆比例大时通行能力小，反之，小型车辆所占比例大时，通行能力相对较大。
在整个事故持续的过程中通行能力基本维持在500辆/h，出现的最大通行能力是542辆/h。
问题2
对于问题2，题设中与问题1所不同的是交通事故发生在同一横断面的不同车道，依旧运用每分钟计数一次的方法，进行数据的采集。
如下表5
为各时间段标准车当量。
表5各时间段标准车当量
序号
计时时刻
小型车辆a
大型车辆b
电瓶车辆c
标准车当量D（pcu/min）
标准车当量
（pcu/h）
0
0
0
0
0
0
0
1
17:
34:
17
18
2
3
23.5
1410
2
17:
35:
17
20
2
5
26.5
1590
3
17:
36:
17
19
1
6
24
1440
4
17:
37:
17
20
3
4
28
1680
5
17:
38:
17
21
1
7
26.5
1590
6
17:
39:
17
15
3
4
23
1380
7
17:
40:
17
18
2
9
26.5
1590
8
17:
41:
17
20
1
1
22.5
1350
9
17:
42:
17
24
2
11
33.5
2010
10
17:
43:
17
15
2
5
21.5
1290
11
17:
44:
17
16
1
3
19.5
1170
12
17:
45:
17
20
0
9
24.5
1470
13
17:
46:
17
13
2
5
19.5
1170
14
17:
47:
17
14
4
9
26.5
1590
15
17:
48:
17
18
1
6
23
1380
16
17:
49:
17
21
1
6
26
1560
17
17:
50:
17
24
0
4
26
1650
18
17:
51:
17
18
0
7
21.5
1500
19
17:
52:
17
18
1
12
26
1560
20
17:
53:
17
18
2
7
27.5
1650
21
17:
54:
17
20
1
6
25
1500
22
17:
55:
17
15
3
12
27
1620
23
17:
56:
17
16
3
11
27.5
1650
24
17:
57:
17
16
2
2
21
1260
25
17:
58:
17
11
3
5
24.5
1470
26
17:
59:
17
17
2
3
22.5
1350
27
18:
00:
17
17
2
7
24.5
1470
28
18:
01:
17
17
2
1
21.5
1590
29
18:
02:
17
20
2
2
25
1500
由表5，可以相应得到视频2中事故持续时的车流量变化曲线，如图4。
（图4）
要计算比较事故过程通行能力的变化，对于采集的数据进行整理，如表6，可以体现事故持续过程同一横断面的不同车道混合车队的
。
表6同一横断面的不同车道混合车队的
序号
大车
小车
比例
总车辆
Ti（s）
Cs（辆/h）
0
0
0
0
0
0
0
1
2
18
1:
9
20
2.58
508.19
2
2
20
1:
10
22
2.55
513.53
3
1
19
1:
19
20
2.38
546.35
4
3
20
3:
20
23
2.66
494.53
5
1
21
1:
21
22
2.36
550.53
6
3
15
1:
5
18
2.73
483.23
7
2
18
1:
9
20
2.58
508.19
8
1
20
1:
20
21
2.37
548.43
9
2
24
1:
12
26
2.50
522.72
10
2
15
2:
15
17
2.62
501.25
11
1
16
1:
16
17
3.15
426.00
12
0
20
0:
20
20
2.50
522.72
13
2
13
2:
13
15
2.66
494.53
14
4
14
2:
7
18
2.82
469.53
15
1
18
1:
18
19
2.40
542.25
16
1
21
1:
21
22
2.36
550.53
17
0
24
0:
24
24
2.50
522.72
18
0
18
0:
18
18
2.50
522.72
19
1
18
1:
18
19
2.40
542.25
20
2
18
1:
9
20
2.58
508.19
21
1
20
1:
20
21
2.37
548.43
22
3
15
1:
5
18
2.73
483.23
23
3
16
3:
16
19
2.71
486.40
24
2
16
1:
8
18
2.61
502.97
25
3
11
3:
11
14
2.81
471.01
26
2
17
2:
17
19
2.59
506.43
27
2
17
2:
17
19
2.59
506.43
28
2
17
2:
17
19
2.59
506.43
29
2
20
1:
10
22
2.55
513.53
30
0
3
0
3
2.50
522.72
为了使结果直观明确，可以利用堵车时对应的散点数据，可得到此过程的通行能力变化曲线，见图5.
（图5.）同一横断面的不同车道混合车队通行能力变化曲线
利用以上数据，运用最小二乘法等得到通行能力的线性回归方程，
单位为辆/h。
（R软件的计算过程见附录2）
通过对视频1和视频2的数据、图像和回归方程的比较，我们得出差异视频二中事故横断面上的通行能力相比视频一较大。
原因是此道路三条车道左右转流量比例不同，一车道右转流量比例为21%，三车道左转流量比例为35%，视频2中事故占用一、二车道相比视频1中占用二、三车道时的实际通行能力的数值比较大。
问题3
对于问题3，要研究路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
为此，同样以事故发生时为零时刻，采集了以下数据。
根据以下公式
，
表7.视频2中堵车时刻的上有车辆密度
时间t
大型车辆
小型车辆
标准车当量
密度
速度u
上游车流量（辆/h）
0.766667
3
13
19
0.079166667
7.297297
2079.72973
3.316667
1
9
11
0.045833333
10.54054
1739.189189
3.666667
1
11
13
0.054166667
9.72973
1897.297297
4.333333
0
6
6
0.025
12.56757
1131.081081
5.366667
0
14
14
0.058333333
9.324324
1958.108108
5.566667
0
12
12
0.05
10.13514
1824.324324
6.466667
0
11
11
0.045833333
10.54054
1739.189189
6.583333
0
14
14
0.058333333
9.324324
1958.108108
7.616667
0
16
16
0.066666667
8.513514
2043.243243
8.116667
0
23
23
0.095833333
5.675676
1958.108108
8.416667
0
14
14
0.058333333
9.324324
1958.108108
8.9
1
27
29
0.120833333
3.243243
1410.810811
9.083333
1
25
27
0.1125
4.054054
1641.891892
9.916667
2
28
32
0.133333333
2.027027
972.972973
10.55
2
27
31
0.129166667
2.432432
1131.081081
10.93333
3
27
33
0.1375
1.621622
802.7027027
11.26667
2
25
29
0.120833333
3.243243
1410.810811
11.66667
2
33
37
0.154166667
0
0
12.11667
1
24
26
0.108333333
4.459459
1739.189189
12.46667
1
21
23
0.095833333
5.675676
1958.108108
如图6为上游车流量随时间的变化曲线。
（图6）上游车流量随时间的变化曲线
为了准确计算该路段的通行能力，对于视频2中事故持续时间内通过的车型及其数量作如下统计。
表8车型车数的记录表
时间
大车车辆
小车车辆
电瓶车辆
标准车当量
1
1
13
3
16.5
2
0
12
7
15.5
3
1
15
3
18.5
4
0
11
3
12.5
5
1
20
6
25
6
0
18
3
19.5
7
2
21
2
26
8
2
19
2
24
9
0
15
4
17
10
0
9
8
13
11
3
17
8
27
12
2
20
2
25
如果将所收集的数据依次三个进行叠加（见表9），得到四个新的数据，绘制得到上游车流量随时间变化的曲线如图7。
表9
时间（min）
大型车
小型车
电动车
标准车通量
3
2
40
13
50.5
6
1
49
12
57
9
4
55
8
67
12
5
49
18
65
根据表9,所得的标准车当量数，进行上有车辆密度的拟合曲线
（图7）上游车辆密度与时间的关系曲线
根据模型二，可以有两种方法计算通行能力。
法1根据表2，计算通行能力：
法2计算过程及结果如下：
取视频中显示的120米路段内全部堵满车始开始计时到此画面中最后一辆车通过事故横断面的时间为止。
进行数据采集，记录如下。
表10
时间（s）
大型车辆
小型车辆
电瓶车辆
标准车当量
通行能力
92
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