高中数学必修三第三章 概率导学案.docx
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高中数学必修三第三章概率导学案
3.1.1 随机事件的概率
【学习要求】
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
2．正确理解事件A出现的频率的意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系．
【学法指导】
通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高，并且体会数学知识与现实世界的联系．
【知识要点】
1．事件的概念及分类
2．频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率.
3．概率
（1）含义：
概率是度量随机事件发生的的量.
（2）与频率联系:
对于给定的随机事件A,事件A发生的随着试验次数的增加稳定于,因此可以用来估计.
【问题探究】
[问题情境] 日常生活中，有些问题是能够准确回答的．例如：
明天太阳一定从东方升起吗？
木柴燃烧一定能产生热量吗？
这些事情的发生都是必然的．同时也有许多问题是很难给予准确回答的．例如：
明天中午12：
10有多少人在学校食堂用餐？
一次射击能否击中目标？
明年房价是否下降？
你购买的本期福利彩票是否能中奖？
等等，这些问题的结果都具有偶然性和不确定性．研究这些问题有利于我们做出某些判断，防患于未然．
探究点一 必然事件、不可能事件和随机事件
问题1 考察下列事件：
（1）导体通电时发热；
（2）向上抛出的石头会下落；
（3）在标准大气压下水温升高到100℃会沸腾．这些事件就其发生与否有什么共同特点？
问题2 我们把上述事件叫做必然事件，你能说出必然事件的一般含义吗？
问题3 考察下列事件：
（1）在没有水分的真空中种子发芽；
（2）在常温常压下钢铁融化；
（3）服用一种药物使人永远年轻．这些事件就其发生与否有什么共同特点？
问题4 我们把上述事件叫做不可能事件，你能表达不可能事件的一般含义吗？
问题5 考察下列事件：
（1）某人射击一次命中目标；
（2）山东地区一年里7月15日这一天最热；
（3）抛掷一个骰子出现的点数为偶数．这些事件就其发生与否有什么共同特点？
问题6 我们把上述事件叫做随机事件，你能指出随机事件的一般含义吗？
小结 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件；在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件；确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
问题7 现在有10件相同的产品，其中8件是正品，2件是次品．我们要在其中任意抽出3件．那么，我们可能会抽到怎样的样本？
问题8 我们再仔细观察上题中抽到样本的可能情况，还能得到一些什么结论？
问题9 在问题7抽到样本的几种情况中及问题8的结论中，哪些是随机事件？
哪些是必然事件？
探究点二 事件A发生的频率与概率
导引 物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量．对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映，最直接的方法就是试验，下面我们进行抛掷一枚硬币的试验．
问题1 请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其它同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？
为什么会出现这样的情况？
问题2 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：
抛掷次数
正面向上的次数
正面向上的比例
2048
1061
0.5181
4040
2048
0.5069
12000
6019
0.5016
24000
12012
0.5005
30000
14984
0.4995
72088
36124
0.5011
在上述抛掷硬币的试验中，你会发现怎样的规律？
问题3 在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？
问题4 频率的取值范围是什么？
问题5 抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
问题6 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称做硬币正面朝上的概率,你能给随机事件A发生的概率下个定义吗?
问题7 在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的（如在一定条件下射击命中目标的概率），你如何得到事件A发生的概率？
问题8 在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn（A）是否一定相等？
事件A在先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等？
问题9 必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？
概率的取值范围是什么？
问题10 概率为1的事件是否一定发生？
概率为0的事件是否一定不发生？
为什么？
例 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩
人数
90分以上
43
80分～89分
182
70分～79分
260
60分～69分
90
50分～59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率（结果保留到小数点后三位）．
①90分以上；②60分～69分；③60分以上．
小结 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．
跟踪训练 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【当堂检测】
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0,1）内B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对
3．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表.
每批粒数
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的频率
（1）完成上面表格；
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
【课堂小结】
随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上（即事件A的概率）,这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
【课后作业】
3.1.2 概率的意义
【学习要求】
1．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题；
2．通过对概率的实际意义的理解，体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观，进而体会数学与现实世界的联系．
【学法指导】
通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法．
【知识要点】
1．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有
，认识了这种随机性中的，就能比较准确地预测随机事件发生的.
2．游戏的公平性
（1）裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员先猜,猜中并取得发球权的概率均为,所以这个规则是的.
（2）在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是的这一重要原则．
3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
【问题探究】
[问题情境] 据澳大利亚媒体报道，最近澳大利亚税务局盯上了一个神秘的赌博俱乐部“庞特俱乐部”．传说这个天才赌博团19名成员全部由数学家组成，他们在全球各个赌场奔走，用专业的数学方法计算概率，号称“十赌九赢”，仅仅3年就赚取了超过24亿澳元（约156亿元人民币）．今天我们就来学习概率．
探究点一 概率的正确理解
问题1 频率与概率有什么区别和联系？
问题2 有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？
问题3 若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？
买1000张的话是否一定会中奖？
问题4 试验：
全班同学各取一枚同样的硬币，连续抛掷两次，观察它落地后的朝向．将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率．你有什么发现？
问题5 围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？
说明你的理由．
小结 随机事件在一次实验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：
即随着实验次数的增加，该随机事件发生的频率会越来越接近于该事件发生的概率．
探究点二 概率思想的实际应用
问题1 在乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上．如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方先发球．你认为公平吗？
为什么？
问题2 某中学高一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法:
掷两枚骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?
哪个班被选中的概率最大?
（参考教材中两个骰子的点数和的表格）
问题3 如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地是均匀的，还是不均匀的？
如何解释这种现象？
小结
（1）如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法．
（2）如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大，那么判断正确的可能性也最大，这种判断问题的方法在统计学中被称为似然法．
问题4 天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的．某地气象局预报明天本地降水概率为70%，能否认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨？
为什么？
你认为应如何理解？
问题5 天气预报说昨天的降水概率为90%，结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预报不准确？
如何用概率的思想给出解释？
问题6 奥地利遗传学家孟德尔1856年开始用豌豆作试验，他把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是黄色的．第二年，他把第一年收获的黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有绿色的．同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年收获的豌豆都是圆形的．第二年，他把第一年收获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形豌豆，又有皱皮豌豆．类似地，他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎的豌豆．第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆．试验的具体数据如下：
性状
显性
隐性
显性∶隐性
子叶的颜色
黄色
6022
绿色
2001
3.01∶1
种子的性状
圆形
5474
皱皮
1850
2.96∶1
茎的高度
长茎
787
短茎
277
2.84∶1
你能从这些数据中发现什么规律吗？
问题7 纯黄色和纯绿色的豌豆均由两个特征因子组成，用符号YY代表纯黄色豌豆的两个特征，符号yy代表纯绿色豌豆的两个特征，其中Y为显性因子，y为隐性因子，那么如何解释显性与隐性之比接近3︰1?
例 设有外形完全相同的两个箱子,甲箱有99个白球1个黑球,乙箱有1个白球99个黑球.今随机地抽取一箱,再从取出的一箱中抽取一球,结果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的?
小结 统计中极大似然法思想的概率解释：
在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大．
跟踪训练 如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于
，这种理解正确吗？
【当堂检测】
1．“某彩票的中奖概率为
”意味着（ ）
A．买1000张彩票就一定能中奖B．买1000张彩票中一次奖
C．买1000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是
2．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板,落地时这100枚铜板全都正面向上,则这100枚铜板更可能是下面哪种情况（ ）
A．这100枚铜板两面是一样的B．这100枚铜板两面是不一样的
C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的
D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的
3．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：
掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？
【课堂小结】
1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．
2．孟德尔通过试验、观察、猜想、论证，从豌豆实验中发现遗传规律是一种统计规律，这是一种科学的研究方法，我们应认真体会和借鉴.
3．利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.
【课后作业】
3.1.3 概率的基本性质
【学习要求】
1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；
2．理解并熟记概率的几个基本性质；
3．正确理解并事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系．
【学法指导】
通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养类比与归纳的数学思想;通过数学活动,了解数学知识与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境.
【知识要点】
1．事件的关系与运算
定义
表示法
事
件
的
关
系
包含
关系
一般地,对于事件A与事件B,如果
事件A发生,则事件B,
这时称事件B包含事件A（或称事
件A包含于事件B）
（或）
互斥
事件
若A∩B为，
则称事件A与事件B互斥
若,
则A与B互斥
对立
事件
若A∩B为，
A∪B为，那么称
事件A与事件B互为对立事件
若A∩B＝∅,
且A∪B＝U,
则A与B对立
事件
的
运算
并事件
若某事件发生当且仅当
则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
或
交事件
若某事件发生当且仅当
则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
（或）
2．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围为.
（2）的概率为1,的概率为0.
（3）概率加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝.
特例：
若A与B为对立事件，则P（A）＝.
P（A∪B）＝，P（A∩B）＝.
【问题探究】
[问题情境] 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是0.4和0.3，则该省夺取该项冠军的概率是0.4＋0.3吗？
为什么？
为解决这个问题，我们来学习概率的基本性质．
探究点一 事件的关系与运算
导引 在抛掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：
C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，等等．
问题1 上述事件中哪些是必然事件？
哪些是随机事件？
哪些是不可能事件？
问题2 如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？
反之，成立吗？
在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
小结 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B⊇A（或A⊆B）．不可能事件记为∅，任何事件都包含不可能事件．如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立，（若B⊇A同时A⊆B），我们说这两个事件相等，即A＝B.如C1＝D1.
问题3 请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？
小结 如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件），记为A∪B或A＋B.
问题4 如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？
小结 如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件），记为A∩B或AB.
问题5 事件D3与事件F能同时发生吗？
小结 如果A∩B为不可能事件（A∩B＝∅）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.
问题6 事件G与事件H能同时发生吗？
它们两个事件有什么关系？
小结 如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．
例1 判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
（1）“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
（2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
（3）“至少有1名男生”和“全是男生”；
（4）“至少有1名男生”和“全是女生”．
小结 如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？
哪些是对立事件？
事件A：
命中环数大于7环；事件B：
命中环数为10环；
事件C：
命中环数小于6环；事件D：
命中环数为6、7、8、9、10环．
探究点二 概率的几个基本性质
问题1 概率的取值范围是什么？
为什么？
问题2 必然事件、不可能事件的概率分别是多少？
为什么？
问题3 如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系?
fn（A∪B）与fn（A）、fn（B）有什么关系?
进一步得到P（A∪B）与P（A）、P（B）有什么关系?
小结 如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
问题4 如果事件A与事件B互为对立事件，则P（A∪B）的值为多少？
为什么？
问题5 如果事件A与事件B互为对立事件，P（A∪B）与P（A）、P（B）有什么关系？
由此可得出什么结论？
例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是
取到方块（事件B）的概率是
问:
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
小结 事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P（D）＝1－P（C）．
跟踪训练2 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是
，得到黑球或黄球的概率是
，得到黄球或绿球的概率也是
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
【当堂检测】
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶
2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件B．互斥但不对立事件C．必然事件D．不可能事件
3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为_______
4．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是______
【课堂小结】
1．概率的基本性质是学习概率的基础．不可能事件一定不发生，因此其概率为0，必然事件一定发生，因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和，从而有公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，所以有P（A）＋P（B）＝1.
2．要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：
（1）事件A发生且事件B不发生；
（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：
①事件A发生事件B不发生；②事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
【课后作业】
3.2.1 古典概型
（一）
【学习要求】
1．了解基本事件的特点；
2．理解古典概型的概念及特点；
3．会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题．
【学法指导】
通过模拟试验理解古典概型的特征,观察类比各个试验,归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.
【知识要点】
1．基本事件：
在实验中所有可能的结果都是，我们把这类称为基本事件．基本事件有两个特点：
（1）任何两个基本事件是的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型：
将具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（1）试验中所有可能出现的基本事件个；
（2）每个基本事件出现的可能性.
3．古典概型概率计算公式P（A）＝
.m表示,n表示.
【问题探究】
[问题情境] 香港著名电影演员周润发在影片《赌神》中演技高超，他扮演的赌神在一次聚赌中，曾连续十次抛掷骰子都出现6点，那么如果是你随机地来抛掷骰子，连续3次、4次、…、10次都是6点的概率有多大？
本节我们就来探究这个问题．
探究点一 基本事件
问题1 抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
问题2 上述试验中的每一个结果都是随机事件，我们把这类事件称为基本事件．在一次试验中，任何两个基本事件是什么关系？
问题3 在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？
例1 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?
事件“取到字母a”是哪些基本事件的和?
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