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#ffff66'>浅谈正交矩阵的求法
管茂年
1.引言kξ，k，k取遍数域P中不含零的全部数T′T
2212（3）再通过合同变换（）求得正交
矩阵是线性代数中的核心内容，而正对，再用特征向量值代入，得到T
111矩阵U.
交矩阵是一种常用的矩阵，它在正交变换4x-2x-2x01
112311
11111
11111-1-111
1它的基础解系是
-2x+4x-2x01
理论中起着十分重要的作用.正交矩阵不仅11231111
11111
1111
111-11-11
-2x-2x+4x0111
在线性代数中，而且在理工各学科领域的112311例2.设A，则f（x）
11A
1-1111
-1
数学方法中，如优化理论、计算方法、信息因此，属于5的一个线性无关的特征11
11
11
111111
分析中有着举足轻重的地位.本文将总结两向量就是ξε+ε+ε11
3123
3
种正交矩阵的求法：
第一种是用施密特正即方程（αE-A）X0的一个基础解系xE-A（x-2）（x+2），通过解相应的齐次
i
11
1111111-1111
交化求一个正交矩阵，说明了具体的解题1111011-1
1111
11111111
步骤，并举例说明；第二种是利用合同变换10111111110011
1111
是：
α，α，α1
（1）
1231111
111111线性方程组求得T11
11111111
求一个正交矩阵，对其中用的重要定理、引111111101011
1111
-1-11
11
11
11
理进行了证明，说明了这种方法的具体求1001-11
对
（1）施用施密特特征正交化得：
11
11
解过程，并举例说明.βα（1，0，-1）121
1111
11
定义1.1n阶实矩阵A，若满足A′AE，（α，β）11121
βα-21β（-，1，-）
（2）-111
221使得TAT此时，
（β，β）2211
则称A为正交矩阵.11121
11
11
（α，β）（α，β）11
2.用施密特正交化方法求正交矩阵βα-31β-32β（1，1，1）121
331211
（β，β）（β，β）
1122
关于化实对称矩阵A为对角形的讨11-101
121
11111
1111
论，大部分教科书中，都采用施密特正交化11112-101
1姨2111
11T′T，
11
的方法求出正交矩阵T，按常规是分三步1111
11-1-120
11
1111
把
（2）单位化得：
η，
110111
进行：
11100041
1111
11
（1）求λE-A的全部不同的特征根λ，11111
111
-121-101
11
1111
λ，…，λ它们都是A的特征根.1姨2111
21112-101
111111
11111111
（2）对每个特征根λ，解齐次线性方程-11
1111
1111100041
1姨611姨3111
组（αE-A）X0，求出它的一个基础解系：
111111
i1111T′T1-111
-11
1111于是（）11
α，α，…，α
（1），对
（1）施用施密特正交化121111T11
i1i2iki111111
η，η110011
211311
1姨611姨3111
得：
β，β，…，β
（2），再把
（2）单位化，得：
111111
i1i2iki1111101011
111111
η，η，…，η（3）11111111
i1i2iki11
11111001-11
-11
1111
（3）以η，η，…，η为列向量的矩阵T1姨611姨31
i1i2iki111111
120001
则所求的正交矩阵T为11
就是所求的正交矩阵.11
1311
11111-1
122111111001
111-11221
111111
例1.设矩阵A11，求一个1姨2姨6姨3111
212
11111131
11111-1
111001
1111
22111
11121122
1111
T0.11
11
正交矩阵T，使得T′AT成为对角矩阵.1姨6姨31100011
1111
1111
21111
解：
λE-A（λ+1）（λ-5）特征值是-1111111-1-1141
1111
--1221
11
（二重）和51姨2姨6姨3111
1111
1111
把特征值-1代入齐次方程组11-11
3.利用合同变换求正交矩阵11
1221
1（λ-1）x-2x-2x011
1123引理：
设A是n×r实矩阵，若秩Ar，则11
1101011
111
111
-2x+（λ-1）x-2x0
1123存在可逆矩阵P，使P′A′APE.11
111
11
11001-11
-2x-2x+（λ-1）x0
1123定理A是n阶实对称矩阵，如果T是
11
1-1120001
-2x-2x-2x011
1123实可逆矩阵，使TAT是对角形矩阵，则存11
1
1131
得到111
-2x-2x-2x0
1123在可逆矩阵R，使UTR是正交矩阵，而且10001
1121
111
-2x-2x-2x0
1123U′AU是对角形矩阵.141
10001
11
111101131
1111施密特正交化方法求U，计算较烦.以11
111111
101111100041
1111
它的基础解系是，上这种方法不必借助欧氏空间的某些概念11
111111
1111
11111111
1111
-1-1与性质.它的求解步骤为：
1-1
1-111
1231
因此，属于-1的两个线性无关的特征向
（1）求λE-A的全部不同的特征根λ，11
111
111
量就是：
ξε-ε，ξε-ε10111
113223λ，…，λ，它们都是A的特征根.11
21131
11
11
而属于-1的全部特征向量就是kξ+11
11
（2）通过求相应的齐次线性方程组得T.001-1
-21-
教研论坛2010-12
U，即U参考文献：
000
1
0100姨1111〔1〕杨子胥.高等代数〔M〕.北京：
高等教
姨
-
姨-
姨26232
0010姨姨姨姨
姨育出版社，1990.
姨
姨
0000姨1111
姨-
姨〔2〕同济大学数学教研室.线性代数（第
姨262姨32
姨姨姨
1111姨
-
-姨
2姨211二版）〔M〕.北京：
高等教育出版社，1991.
姨2姨62姨3姨0
姨
，姨2
姨姨62姨3
1，
111姨〔3〕丘维声.高等代数讲义〔M〕.北京：
北
-姨11
2姨-
姨2姨62姨3姨00
姨2
2姨3京大学出版社，1983.
211
0
62姨32姨2〔4〕江佑民.分块矩阵的初等变换和合
姨姨
姨
姨2
11姨
使得U′AU.
00-姨同变换〔J〕.曲阜师范.
2姨
2姨3姨2
姨
姨
姨作者单位：
江苏省建湖县职教中心
最后一个矩阵的后4行作成正交矩阵-2
关注学生发展，打造充满活力的语文课堂
刁品龙
《语文课程标准》指出：
“学生是语文学一说、画一画、演一演等多种形式的语文实中不停地激烈撞击，激发学生的想象力。
习的主人，是学习和发展的主体，语文课程践，提高能力。
一位特级教师在教学《庐山如一位教师在教学《草原的早晨》时：
应致力于学生语文素养的形成和发展。
”语的云雾》第二自然段中，先让学生默读，明师：
小朋友都读得很流利，老师也想来
文教学实质是对人的培养和塑造的教学，白这段采用先总后分的方法描写了庐山云读一读。
在老师读的时候，小朋友可以闭上
其目的就是要把学生培养成为具有鲜明个雾的“千姿百态”的特点。
然后，引导学生抓眼睛，一边听老师读课文，一边想象：
你好
性、完善品格的人。
为此，在课堂教学中要住“就像是戴在山顶上的白色绒帽”“又像像看到了草原上的什么？
（配上悠扬的音
充分体现学生的主体地位，亲近学生，主动是系在山腰间的一条条玉带”“茫茫的大乐，深情地朗读，生闭上眼睛欣赏。
）
密切地“关注”学生，以学生发展为本，去建海”“巨大的天幕”等语句，边读边想象，入生：
我好像看到草原上羊儿在跑。
构新型的课堂，给语文课堂注入新的活力，情入境，庐山云雾的“千姿百态”；在有所领生：
我好像看见牧羊人在唱歌。
努力打造充满活力的小学语文课堂。
悟的基础上，引导学生通过声情并茂的朗（老师一边以鼓励的眼光看着学生说，
一、注重个性发展，激发学生的学习读，深入体悟庐山云雾的形态美，体味课文一边点头微笑。
学生受到赞赏就说得更有
动力的评议美。
同时，引导学生在读中揣摩课文劲了。
）
《语文课程标准》指出：
“阅读是学生的是怎样具体形象写出云雾的特点的。
发动生：
我好像自己也来到了大草原……
个性化行为，不应以教师的分析来代替学学生用自己喜欢的方式朗读，然后小组互师：
小朋友们的想象真丰富。
那么真正
生的阅读实践。
应让学生在积极主动的思动交流，教师以“平等首席”的角色参与小的大草原是不是和我们想象的画面一样美
维和情感活动中，加深理解和体验，有所感组活动。
同学们的积极性可高了：
他们有的丽呢？
（多媒体呈现草原风光图片。
）（画面
悟和思考，受到情感熏陶，获得思想启迪，用逼真有趣的动作（笼罩、戴等）栩栩如生上风景优美，牛羊成群，牧羊人歌声缭绕，
享受审美乐趣。
”因此，我们必须正视课堂地表演云雾的姿态；有的用简单明了的简笔学生看了纷纷赞叹不已。
）
教学现实，从问题设计入手，关注学生的发画把“庐山云雾的姿势”勾画得惟妙惟肖；有师：
小朋友你觉得草原怎样啊？
展，激发学习动力、活力。
的用抑扬顿挫的语调把庐山云雾其他的姿生：
草原真大啊！
教学过程中，老师要不断用热情的语势表达得活灵活现……由于学生的形象思师：
你说得真准。
确实中，草原很大，老
言予以激励性评价，或用激情昂扬的评议维占优势，让他们通过画画、演演、读读来师要把这个“大”字写在黑板上。
（学生深受
引导学生自主读书，或用幽默生动的评议体会课文中的评议，进入课文所描述的情成功的乐趣，热情高涨，争着举手说。
）
引发学生浮想翩翩……学生始终主宰着课境，使人如临其境，如见其形，课堂上时而生；我想送给草原一个字，那就是“美”！
堂，学到了知识，发展了能力，张扬了个性。
书声琅琅，时而情意浓浓，里面静如止水。
师：
你说得真精彩，老师要用彩色粉笔
这种“教育生态环境”的营造，使学生表现三、体验成功快乐，激发学生的想象力把这个“美”字写出来……
自我，彰显个性，于无声处解决了学生学习一位哲学家曾经讲过这样一句话：
“想学生们开心地笔了，课堂上顿时激情燃
动力不足的难题。
象对于孩子，比拥有万贯家产更加重要。
”烧，活力四射。
本片段中，在充分感知的基
二、强化语文实践，提高学生的学习想象力比知识更重要。
没有大胆的想象，就础上，学生充分发挥主观能动性，用准确的
能力不会有伟大的发现，想象是创新的前奏，诱语言表达自己的感受。
教师慧眼独具，爱如
《语文课程标准》指出：
语文是实践性导学生大胆想象，培养学生的创新能力，有泉涌，及时赞扬学生的心得―――发言时准确
很强的课程，应着重培养学生的语文实践着极其深远的意义。
教学中，让学生充分展优美的语言，并把词语一一写在黑板上，书
能力，而培养这种能力的主要途径也应是示学习成果，放大内心的成就感，增强自信写时还配上了简洁而又富有激励性的话语。
语文实践。
心、自尊和自我欣赏力，产生征服欲，强化其他学生感同身受，备受鼓舞，参与、竞争
我认为，我们在教学过程中，应该把握前进的战斗力、牵引力，最大限度地开掘和和互动的热情陡增，进一步激发了课堂活力。
语文教育的特点，引导学生通过读一读、说发挥自身潜力，使学生的思维火花在课堂作者单位：
江苏省宝应县城南小学
-22-
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