高考总复习数学理第三章 导数及其应用.docx

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高考总复习数学理第三章导数及其应用

第三章　导数及其应用

第1讲　导数的概念与运算

考点梳理

1．函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

（1）定义：

设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x0处的导数，记作f′（x0）．可表示为“当Δx→0时，→A”．

（2）几何意义：

函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是过曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））的切线的斜率．

2．函数f（x）的导函数

若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数．该函数称为f（x）的导函数，记作f′（x）．

3．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝C

f′（x）＝__0__

f（x）＝xα（α为常数）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ax（a>0，a≠1）

f′（x）＝axln_a

f（x）＝ex

f′（x）＝__ex__

f（x）＝logax（a＞0，a≠1）

f′（x）＝

f（x）＝lnx

f′（x）＝　　

4.导数的运算法则

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）′＝（g（x）≠0）．

5．复合函数的导数

若y＝f（u），u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a.

【助学·微博】

　一个命题规律

本讲知识是高考中的常考内容，尤其是导数的几何意义及导数的四则运算，更是高考考查的重点．以填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问中．导数的运算及复合函数的导数一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算．

曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别与联系

（1）曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′（x0）的切线，是唯一的一条切线．

（2）曲线y＝f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

考点自测

1．（2012·济南模拟）曲线f（x）＝x2（x－2）＋1在点（1，f

（1））处的切线方程为________．

解析　f

（1）＝0，f′（x）＝3x2－4x，f′

（1）＝－1，所以切线方程为y＝－（x－1），即x＋y－1＝0.

答案　x＋y－1＝0

2．（2012·泰州市高三期末考试）设A为奇函数f（x）＝x3＋x＋a（a为常数）图象上一点，曲线f（x）在A处的切线平行于直线y＝4x，则A点的坐标为________．

解析　设A（x0，y0），则由f（0）＝0，得a＝0，所以f（x）＝x3＋x，f′（x）＝3x2＋1，于是由4＝f′（x0）＝3x＋1，得x＝1，所以x0＝±1，所以A（－1，－2）或A（1,2）．

答案　（－1，－2）或（1,2）

3．（2012·江苏泰州二模）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝________.

解析　设过点（1,0）的直线与y＝x3相切于点（x0，x），则切线方程为y－x＝3x（x－x0），由它过点（1,0），得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，由直线y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－；当x0＝时，由直线y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.

答案　－1或－

4．（2012·泰州学情调查）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．

解析　y′＝－＝－≥－1，所以tanα≥－1，即－1≤tanα＜0.又0≤α＜π，所以≤α＜π.

答案　

5．（2012·南京模拟）若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝________.

解析　由y＝2lnx，得y′＝.设y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切于点（x0，y0）（x0＞0），则有k＝，y0＝kx0－3＝－1，y0＝2lnx0，所以x0＝e－，k＝＝2.

答案　2

考向一　导数的运算

【例1】（2013·泉州月考）求下列函数的导数：

（1）y＝ex·lnx；

（2）y＝x；

（3）y＝x－sincos；

（4）y＝（＋1）；

（5）y＝.

解　

（1）y′＝（ex·lnx）′＝exlnx＋ex·＝ex.

（2）∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.

（3）先使用三角公式进行化简，得

y＝x－sincos＝x－sinx，

∴y′＝′＝x′－（sinx）′＝1－cosx.

（4）先化简，y＝·－＋－1＝－x＋x－，

∴y′＝－x－－x－＝－.

（5）∵y＝＝x－＋x3＋，

∴y′＝′＋（x3）′＋（x－2sinx）′

＝－x－＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.

[方法总结]

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒定变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

【训练1】求下列函数的导数．

（1）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）；

（2）y＝sin；

（3）y＝tanx；

（4）y＝xlnx；

（5）y＝.

解　

（1）因为y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）＝（x2＋3x＋2）（x＋3）＝x3＋6x2＋11x＋6，所以y′＝3x2＋12x＋11.

（2）因为y＝sin＝sincos＝sinx，所以y′＝′＝（sinx）′＝cosx.

（3）因为y＝tanx＝，

所以y′＝′＝＝.

（4）因为y＝xlnx，

所以y′＝（xlnx）′＝lnx＋x·＝lnx＋1.

（5）因为y＝＝－1，

所以y′＝′＝′＝－

考向二　求复合函数的导数

【例2】求下列复合函数的导数．

（1）y＝xe1－2x；

（2）y＝；

（3）y＝；

（4）y＝（1＋sinx）2；

（5）y＝x.

解　

（1）因为y＝xe1－2x，所以y′＝（xe1－2x）′

＝e1－2x－（1－2x）′xe1－2x

＝（1＋2x）e1－2x.

（2）因为y＝，

所以y′＝

＝－.

（3）设u＝1－3x，y＝u－4.

则y′＝yu′·ux′＝－4u－5·（－3）＝.

（4）设u＝1＋sinx，则y＝（1＋sinx）2，

由y＝u2与u＝1＋sinx复合而成．

∴y′＝yu′·ux′＝2u·cosx＝2（1＋sinx）·cosx.

（5）y′＝（x）′＝x′·＋x（）′＝＋＝.

[方法总结]由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．

【训练2】求下列函数的导数：

（1）y＝；

（2）y＝sin22x；

（3）y＝e－xsin2x；（4）y＝ln.

解　

（1）y′＝·2x＝.

（2）y′＝（2sin2x）（cos2x）×2＝2sin4x.

（3）y′＝（－e－x）sin2x＋e－x（cos2x）×2

＝e－x（2cos2x－sin2x）．

（4）y′＝··2x＝.

考向三　导数的几何意义及综合应用

【例3】

（1）设f（x）＝xlnx＋1，若f′（x0）＝2，则f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为________．

（2）（2012·淮安市第四次调研）已知曲线y＝（a－3）x3＋lnx存在垂直于y轴切线，函数f（x）＝x3－ax2－3x＋1在[1,2]上单调递增，则a的取值范围是________．

解析　

（1）∵f′（x）＝lnx＋1，又f′（x0）＝2，∴lnx0＋1＝2.

解得x0＝e，y0＝e＋1.故f（x）在点（e，e＋1）处的切线方程为y－（e＋1）＝2（x－e），即2x－y－e＋1＝0.

（2）由题意，可得y′＝3（a－3）x2＋（x>0），

即3（a－3）x3＋1＝0有正实根，所以a－3<0，a<3.

由f（x）＝x3－ax2－3x＋1在区间[1,2]上单调递增，得f′（x）＝3x2－2ax－3≥0在[1,2]上恒成立，即a≤在[1,2]上恒成立．因为y＝在[1,2]上递增，所以ymin＝0，所以a≤0.综上，得a的取值范围是（－∞，0]．

答案　

（1）2x－y－e＋1＝0　

（2）（－∞，0]

[方法总结]

（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：

①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．

②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．

（2）与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．

【训练3】

（1）（2012·南通市第一学期调研）曲线c：

y＝xlnx在点M（e，e）处的切线方程为________．

（2）（2012·镇江调研）设P是函数y＝（x＋1）图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．

解析　

（1）y′＝lnx＋1，k＝lne＋1＝2，

所以曲线在点M处的切线方程为y－e＝2（x－e），

即2x－y－e＝0.

（2）由y＝（x＋1），得y′＝x＋x－

＝≥×2＝，所以tanθ≥，所以≤θ<.

答案　

（1）2x－y－e＝0　

（2）

规范解答3　求在点P处的切线与过点P处的切线

求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

【示例】（2012·扬州阶段检测）已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；

（3）求斜率为1的曲线的切线方程．

　[审题路线图]求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．

　[解答示范]

（1）∵P（2,4）在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在点P（2,4）处的切线的斜率为k＝4.

∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），

即4x－y－4＝0.（4分）

（2）设曲线y＝x3＋与过点P（2,4）的切线相切于点

A，则切线的斜率为k＝x.

∴切线方程为y－＝x（x－x0），

即y＝x·x－x＋.（6分）

∵点P（2,4）在切线上，∴4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0，

∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.（8分）

（3）设切点为（x0，y0），则切线的斜率为：

x＝1，x0＝±1.

切点为（－1,1）或，

∴切线方程为y－1＝x＋1或y－＝x－1，

即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.（12分）

　[点评]曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．

高考经典题组训练

1．（2012·广东卷）曲线y＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程为________．

解析　y′＝3x2－1，k＝f′

（1）＝2，

所以曲线在点（1,3）处的切线方程为y－3＝2（x－1），即2x－y＋1＝0.

答案　2x－y＋1＝0

2．（2010·江西卷改编）等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x－a1）（x－a2）…（x－a8），则f′（0）＝________.

解析　函数f（x）展开式中含x项的系数为a1·a2·…·a8＝（a1·a8）4＝84＝212，所以f′（0）＝a1·a2……a8＝212.

答案　212

3．（2012·陕西）设函数f（x）＝D是由x轴和曲线y＝f（x）及该曲线在点（1,0）处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．

解析　由f（x）＝lnx，得f′（x）＝，k＝f′

（1）＝1，所以f（x）＝lnx（x>0）在点（1,0）处的切线方程为y＝x－1，画出可行域如图所示，则当直线x－2y＝z经过点A（0，－1）时，zmax＝0－2×（－1）＝2.

答案　2

4．（2012·安徽卷）设函数f（x）＝aex＋＋b（a>0）．

（1）求f（x）在[0，＋∞）内的最小值；

（2）设曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

解　

（1）f′（x）＝aex－，当f′（x）>0，即x>－lna时，f（x）在（－lna，＋∞）上递增，当f′（x）<0，即x<－lna时，f（x）在（－∞，－lna）上递减．

①若00，f（x）在（0，－lna）上递减，在（－lna，＋∞）上递增，从而f（x）在[0，＋∞）上的最小值为f（－lna）＝2＋b；

②若a≥1，则－lna≤0，f（x）在[0，＋∞）上递增，从而f（x）在[0，＋∞）上的最小值为f（0）＝a＋＋b.

（2）依题意，得f′

（2）＝ae2－＝，

解得ae2＝2或ae2＝－（不合题意，舍去）．

所以a＝，代入原函数，得2＋＋b＝3，即b＝.

故a＝，b＝.

分层训练A级　基础达标演练

（时间：

30分钟　满分：

60分）

一、填空题（每小题5分，共30分）

1．已知f（x）＝x2＋2xf′

（1），则f′（0）等于________．

解析　f′（x）＝2x＋2f′

（1），所以f′

（1）＝2＋2f′

（1），即f′

（1）＝－2，f′（x）＝2x－4，故f′（0）＝－4.

答案　－4

2．（2012·扬州检测）已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P（1,1）处的切线互相垂直，则为________．

解析　y′＝（x3）′＝3x2，k＝3，由题意，3×＝－1，所以＝－.　

答案　－

3．（2012·辽宁卷）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．

解析　由y＝，得y′＝x，k1＝f′（4）＝4，k2＝f′（－2）＝－2，所以P（4,8），Q（－2,2）．

点P处切线方程为y－8＝4（x－4），

即y＝4x－8.①

点Q处切线方程为y－2＝－2（x＋2），

即y＝－2x－2.②

①②联立，解得A（1，－4）．

答案　－4

4．（2013·菏泽模拟）若函数f（x）＝excosx，则此函数图象在点（1，f

（1））处的切线的倾斜角为________（填锐角、直角或钝角）．

解析　f′（x）＝excosx－exsinx，因为函数图象在点（1，f

（1））处的切线斜率k＝f′

（1）＝e（cos1－sin1）＜0，所以切线的倾斜角是钝角．

答案　钝角

5．（2012·南通、泰州、扬州三市调研

（二））已知各项均为正数的等比数列{an}；满足a1a7＝4，a6＝8，函数f（x）＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′（x），则f′＝________.

解析　设{an}公比为q，则由得q＝2，a1＝，所以an＝2n－3，f′＝a1＋2a2×＋3a3×2＋…＋10a10×9＝＋2×＋3×＋…＋10×＝（1＋2＋3＋…＋10）×＝.

答案　

6．（2013·青岛模拟）若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．

解析　设P（t，t2－lnt），由y′＝2x－，得k＝2t－＝1（t＞0），解得t＝1.所以过点P（1,1）的切线方程为y＝x，它与y＝x－2的距离d＝＝即为所求．

答案　

二、解答题（每小题15分，共30分）

7．（2010·陕西卷）已知函数f（x）＝，g（x）＝alnx，a∈R，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．

解　f′（x）＝，g′（x）＝（x＞0），

由已知得解得a＝，x＝e2.

因为两曲线交点坐标为（e2，e），切线的斜率为k＝f′（e2）＝，所以切线方程为y－e＝（x－e2），即x－2ey＋e2＝0.

8．已知函数y＝f（x）＝.

（1）求函数y＝f（x）的图象在x＝处的切线方程；

（2）求函数y＝f（x）的最大值．

解　

（1）因为f′（x）＝，

所以k＝f′＝2e2.又f＝－e，

所以y＝f（x）在x＝处的切线方程为

y＋e＝2e2，即2e2x－y－3e＝0.

（2）令f′（x）＝0，得x＝e.

因为当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，

当x∈（e，＋∞）时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，e）上为增函数，在（e，＋∞）上为减函数，

所以f（x）max＝f（e）＝.

分层训练B级　创新能力提升

1．（2012·苏北四市调研（三））若曲线y＝在x＝1处的切线与直线x＋by＋1＝0垂直，则实数b的值为________．

解析　因为y＝，所以y′＝－，k＝f′

（1）＝－3.又切线与x＋by＋1＝0垂直，所以－＝，解得b＝－3.

答案　－3

2．（2012·镇江市第一学期期末考试）已知函数y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝2x－1，则函数g（x）＝x2＋f（x）在点（2，g

（2））处的切线方程为________．

解析　由y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝2x－1，得f′

（2）＝2，f

（2）＝3，

于是由g（x）＝x2＋f（x），得g′（x）＝2x＋f′（x），

从而g

（2）＝22＋f

（2）＝7，g′

（2）＝2×2＋f′

（2）＝6，

所以y＝g（x）在点（2，g

（2））处的切线方程为y－7＝6（x－2），即6x－y－5＝0.

答案　6x－y－5＝0

3．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的导函数为f′（x），且f′（0）＞0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为________．

解析　f′（x）＝2ax＋b，f′（0）＝b＞0，

又所以ac≥，所以c＞0，

所以＝≥≥＝2.

答案　2

4．（2013·南京模拟）已知直线y＝mx（m∈R）与函数f（x）＝的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．

解析　如图，可求得直线y＝x与y＝x2＋1（x＞0）的图象相切时恰有两个不同的公共点，当m＞时，直线y＝mx与y＝f（x）的图象恰有三个不同的公共点．

答案　（，＋∞）

5．已知函数f（x）＝x3＋2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C，试问：

是否存在一条直线与曲线C同时切于两点？

若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

解　设存在过切点A（x1，y1）的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2）（x2≠x1），则切线方程为y－＝（x＋4x1＋3）（x－x1），

即为y＝（x＋4x1＋3）x－.

同理，过点B（x2，y2）的切线方程是

y＝（x＋4x2＋3）x－.

由于两切线是同一切线，所以有

即

又x1≠x2，所以

解得x1＝x2＝－2，这与x1≠x2矛盾，所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．

6．（2013·盐城检测）已知在函数f（x）＝mx3－x的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为.

（1）求m，n的值；

（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立？

如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

解　

（1）依题意，得f′

（1）＝tan，即3m－1＝1，m＝.

因为f

（1）＝n，所以n＝－.

（2）令f′（x）＝2x2－1＝0，得x＝±.

当－1＜x＜－时，f′（x）＝2x2－1＞0；

当－＜x＜时，f′（x）＝2x2－1＜0；

当＜x＜3时，f′（x）＝2x2－1＞0.

又f（－1）＝，f＝，f＝－，f（3）＝15，

因此，当x∈[－1,3]时，－≤f（x）≤15.

要使得不等式f（x）≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立，则k≥15＋2013＝2028.

所以，存在最小的正整数k＝2028，使得不等式f（x）≤k－2013对于x∈[－1,3]恒成立.

第2讲　用导数研究函数的单调性与极值

考点梳理

1．函数的单调性

函数f（x）在（a，b）内可导，f′（x）在（a，b）任意子区间内都不恒等于0.f′（x）≥0⇔f（x）为增函数；f′（x）≤0⇔f（x）为减函数．

2．函数的极值

（1）判断f（x0）是极值的方法

一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤

①求f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．

【助学·微博】

　一个考情解读

本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，求函数的极值．也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、三角函数等知识相结合的问题．综合题一般作为压轴题出现，难度较大．

考点自测

1．（2012·苏州调研）函数y＝＋2lnx的单调减区间为________．　

解析　由y＝＋2lnx，得y′＝－＋＝≤0（x>0），解得0

答案　

2．函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为________，单调减区间为________．

解析　y′＝6x－＝.∵定义域为（0，＋∞），

由y′＞0，得x＞1，∴增区间为（1，＋∞）；

由y′＜0，得0＜x＜1，∴减区间为（0,1）．

答案　（1，＋∞）　（0,1）

3．若函数f（x）＝ax3＋3x2－x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是________．

解析　由题意f′（x）＝3ax2＋6x－1＝0有两个不相等的实数根，故⇒a＞－3且a≠0.

答案　（－3,0）∪（0，＋∞）

4．已知a＞0，函数f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调递增函数，则a的取值范围是________．

解析　f′（x）＝3x2－a，由f（x）在[1，＋∞）上是单调递增函数，得f′（x）≥0在区间[1，＋∞）上恒成立，即3x2－a≥0，x∈[1，＋∞）恒成立，故实数a≤3x2在[1，＋∞）上的最小值，即a≤3.

答案　（－∞，3]

5．（2012·启东中学一模）若函数f（x）＝x3＋x2－ax－4在区间（－1,1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围是________．　

解析　由f（x）＝x3＋x2－ax－4，得f′（x）＝3x2＋2x－a.由题意，f′（x）＝0，即3x2＋2x－a＝0在（－1,1）内恰有一个实根，所以f′（－1）f′

（1）＝（3－2－a）