C.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
解析:
∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.
答案:
C
5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
解析:
由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错.故选B.
答案:
B
6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A.
B.1
C.
D.2
解析:
设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1=
,
矩形ABB1A1中,tan∠FDB1=
,
tan∠A1AB1=
=
.
又∠FDB1=∠A1AB1,所以
=
.
故B1F=
×
=
.故选A.
答案:
A
二、填空题
7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
解析:
连接AC,BD交于O,因为底面各边相等,所以BD⊥AC;又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,
所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案:
DM⊥PC(或BM⊥PC)
8.(2017·上饶质检)已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,现有以下说法:
①若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m∥n;
②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β;
③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β;
④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;
⑤若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n.
其中正确说法的序号为________.
解析:
对于①,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此①不正确;对于②,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α,β平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n⊥β,因此②正确;对于③,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,③正确;对于④,分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此④不正确;对于⑤,m与n有可能平行,因此⑤不正确.综上所述,其中正确的说法有②③.
答案:
②③
9.(2017·泉州模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:
①三棱锥A-D1PC的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________.
解析:
连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.
又因为VP-AD1C=VA-D1PC,所以①正确.
因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.
由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.
答案:
①②④
三、解答题
10.如图,几何体EF-ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.
(1)求证:
AC⊥FB;
(2)求几何体EF-ABCD的体积.
解:
(1)证明:
由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,∴AD⊥平面CDEF,∴AD⊥FC.
∵四边形CDEF为正方形,∴DC⊥FC,
∵DC∩AD=D,∴FC⊥平面ABCD,
∴FC⊥AC.
又∵四边形ABCD为直角梯形,
AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,
∴AC=2
,BC=2
,则有AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,
又BC∩FC=C,∴AC⊥平面FCB,
∴AC⊥FB.
(2)连接EC,过B作CD的垂线,垂足为N,
易知BN⊥平面CDEF,且BN=2.
∵VEF-ABCD=VE-ABCD+VB-EFC=
S梯形ABCD·DE+
S△EFC·BN=
,
∴几何体EF-ABCD的体积为
.
11.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(1)证明:
平面AEC⊥平面BED;
(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为
,求该三棱锥的侧面积.
解:
(1)证明:
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.
又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=
x,GB=GD=
.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=
x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=
x.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积
V三棱锥E-ACD=
×
·AC·GD·BE
=
x3=
,故x=2.
从而可得AE=EC=ED=
.
所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为
.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2
.
1.(2017·兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;
④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.
解析:
由已知,在未折叠的原梯形中,AB∥DE,BE∥AD,
所以四边形ABED为平行四边形,
所以BE=AD,折叠后如图所示.
①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP.
因为M,N分别是AD,BE的中点,
所以点P为AE的中点,故NP∥EC.
又MP∩NP=P,DE∩CE=E,
所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确;
②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC.
所以AE⊥MP,AE⊥NP,
又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP.
又MN⊂平面MNP,
所以MN⊥AE,②正确;
③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误.
④当CE⊥ED时,CE⊥AD,这是因为由于CE⊥EA,EA∩ED=E,所以CE⊥平面AED,AD⊂平面AED,得出EC⊥AD,④正确.
答案:
①②④
2.如图,四边形ABCD为正方形,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=4,AE=2,EF=1.
(1)求证:
BC⊥AF;
(2)试判断直线AF与平面EBC是否垂直.若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
解:
(1)证明:
因为EF∥AB,所以EF与AB确定平面EABF,
因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥BC.
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A,
所以BC⊥平面EABF.
又AF⊂平面EABF,所以BC⊥AF.
(2)直线AF垂直于平面EBC.
证明如下:
由
(1)可知,AF⊥BC.
在四边形EABF中,AB=4,AE=2,EF=1,∠BAE=∠AEF=90°,所以tan∠EBA=tan∠FAE=
,则∠EBA=∠FAE.
设AF∩BE=P,因为∠PAE+∠PAB=90°,故∠PBA+∠PAB=90°.
则∠APB=90°,即EB⊥AF.
又EB∩BC=B,所以AF⊥平面EBC.
3.如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:
DF∥a;
(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?
若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:
在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE,∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,∴DF∥a.
(2)线段BE上存在点G,且BG=
BE,使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下:
取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G,连接GD,∵CF=EF,∴GF⊥CE.
在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.
又CF∩EF=F,
∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF.
⇒GF⊥平面CDE.
又GF⊂平面DFG,
∴平面DFG⊥平面CDE.
此时,如平面图所示,
∵O为CE的中点,EF=CF=2BC,
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE,
∴HB=BC=
EF.
由△HGB∽△FGE可知
=
,
即BG=
BE.