数理方程练习题.docx

1、数理方程练习题数理方程练习题一(2009研1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程20ux y= 的一般解。解 先把所给方程改写为(0ux y= 2分 两边对x 积分,得(0(u udx dx y y y x y=+= 4分 这里, (y 是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y(uu dy y dy f x f x g y y=+=+ 6分 这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设u f = 满足Laplace 方程 22220u u x y +=求函数u.解: ,.r x r y r x r x r = (,(.u x u y f r f r x r y

2、 r = 3分 因此有222223222223(u x y f r f r x r ru y x f r f r y r r =+=+ 3分 原方程化为:1(0f r f r r+= 2分 故有:1212(ln r u f r c c c c =+= 2分 例1 求Cauchy 问题22000(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x =-=R R的解.解 由定理3.1得22222(1u(x, tcos 221cos sin x atx atx at x at d a x a t x ata+-+-=+=+例2 求解Cauchy 问题200cos (,(0

3、,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x =-=R解 由公式错误!未找到引用源。得00(0(2cos (011(,(cos (022(01cos 22cos sin cos (1cos (sin(2x atx atx atx at x at x atx a t t x a t d x at u x t x at x at d d x at x at a d x at d d a x at x x at at x x at a at +-+-+-+-=+-+-+=+-+-+解 u(x, t 在不同区域上的表达式见下图。图3.8例3 解在半无界问题

4、20000(,(0,sin (00(0tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +=+=R解 易知定理3.5的条件满足,从而(1sin (22(,(1sin (22sin sin sin sin sin sin x atx atx atat x x at x at d x at a u x t x at at x d x at a x x atx at x x atx at x x at+-+-+-+=+-+解 由定义有 (ai x i xaaf x e dx e dx +-= i a i a -=例3 2(x f x e-=解 由定义与分部积分 2(i x

5、x i xF f f x e dx e e dx+-= 222222(x i x x i xxe xe e dxi dF xe F fd+-=+=-显然(F f满足如下的常微分方程的Cauchy问题 2(2(0xdF fF fdF f e dx+-=-=解之得 224(xF e F f-=例4|(a xf x e-=解设1(00axe xf xx-=0解 设 21(x p x e -=,则1(p x p =由性质6与例3有 21(Ax F e F p x F p -= 2241(x A F p x F e -= 特别地,取12A =得 2222(x F e e -= 。 例7 设 22(a F

6、 f e -=,求1(F F f x -解 设21(F f e -=,则1(F f F f =,应用性质7,5与例3有例1 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动.研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题。200,0(,0(,(,0(0(0,(,00t t x x t xx u a u x l t u x x u x x x lu t u l t t -= (0.0.1解 先以分离变数形式的试探解 (,(u x t X x T t =代入(0.0.1的方程和边界条件得200T a T t += (0.0.2及00(0(0X X x l S L X X l +=-

7、=解(S-L 得其特征值为20,1,2,n n n l = (0.0.3相应的特征函数为(cos0,1,2,n n x X x n l= (0.0.4将特征值为 (0.0.3代入(0.0.2解得000(0(cos sin 1,2,n n n T t A B tn n a n aT t A t B t n l l =+=+=(0.0.5 于是得到本征振动000(,0(,cos sin cos 1,2,nn n u x t A B tn n a n a n u x t A t B t x n l l l =+=+= 所有本征振动的叠加得到一般解u(x,t,即001(,cos sin cos n n

8、 n a n a n u x t A B t A t B t x l l l =+ (0.0.6适当选取(0.0.6中的系数是他满足初始条件,及令01(,0cos(n n u x A A x x l=+= 两边乘(cos0,1,2,n n x X x n l= 并从0到l 积分得00012(cos 1,2,lln n A d A d n l l l = (0.0.7由01(,0cos (t n an n u x B B x x l l =+= 两边乘(cos0,1,2,n n xX x n l= 并从0到l 积分得00012(cos 1,2,lln n B d A d n l an l = (

9、0.0.8 答案(0.0.6中的00A B t +描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的纵振动.从(0.0.7、(0.0.8知道A 0与B 0分别等于平均初始位移和平均初始速度。由于不受外力作用,杆以不变的速度B 0移动。解(0.0.6正是傅里叶余弦级数。这是在x=0和l=0处的第二类齐次边界条件决定的。例2 研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度,另一端温度为u 0,杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。解 杆上温度(,u x t 满足下面的初边值问题22000,0(,00(0,(,00t xx x u a u x l t a k x u

10、x u x l l u t u l t t -= (0.0.9先以分离变数形式的试探解 (,(u x t X x T t =代入初边值问题(0.0.9的方程及边界条件得200T a T t += (0.0.10及00(0(0X X x l S L X X l +=-=解(S-L 得其特征值为2(211,2,2n n n l -= (0.0.11相应的特征函数为(21(sin 1,2,2n n X x x n l-=(0.0.12将特征值为 (0.0.11代入(0.0.10解得 2(212(1,2,n a tl n n T t A en - = (0.0.13从而一般解u(x,t为2(2121(

11、21(,sin 2n a tl n n u x t A ex l - -= (0.0.14适当选取(0.0.14中的系数是他满足初始条件,及令1(21(,0sin (02n n u u x A x xx l l l -= 两边乘(21sin 2n x l -并从0到l 积分得 00202(21(12sin 1,2,2122lk n u n u l A d n l l l n -= - (0.0.15 代入(0.0.14得2(212021(12(21(,s i n 2122n a ktl u l n u x t e x l n - -=- (0.0.16 应当着重指出:如果考虑早先的时刻即考虑t

12、0,则2(212n a tl e- 随n 的增大而急剧增大,从而级数解(0.0.16发散1,成为无意义。这是可以理解的,因为杆上温度分布总是趋于某种平衡状态,而且只要边界条件相同,不管初始温度分布是怎样的,总是趋于同一平衡状态,所以从某个时刻的温度分布可以推算以后时刻的温度分布,却不能反推早先时刻的温度分布。这是输运过程不同于振动过程的地方。例3 散热片的横截面为矩形。它的一边y=b 处于较高温度V ,其他三边b=0,x=0,x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y即定解问题0;0(0,(,0(,0,(,(0x x y y u u x a y b u

13、y v u a y v y b u x v u x b V x x a +=(0.0.17解 这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题。由于不含初始条件,拉普拉斯方程的边界条件不可能全是齐次的,因为这种条件下的解只能是零。但是,尽可能把一些边界条件1这是扩散过程不可逆的表现。化为齐次,毕竟会带来一些方便.常用的办法是把u(x ,y分解为v(x ,y和w(x ,y的线性叠加,(,(,(,u x y v x y w x y =+ (0.0.18其中v(x ,y和w(x ,y 分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件,即0;0(0,(,0(,00,(,00xx yy v v x a y b v y

14、 v v a y v y bv x v x b x a +=(0.0.1900;0(0,0,(,00(,0,(,(0xx yy w w x a y b w y w a y y b w x v w x b V x x a +=(0.0.20很容易验证,把v 和w 的泛定方程叠加起来就是u 的泛定方程,把v 和w 的边界条件叠加起来就是u 的边界条件。于是,问题转化为求解v 和w ,而v 和w 各有两个齐次边界条件可以构成本征值问题,不难分别解出.其实,本例还有一个特殊的简便方法,就是令(,(,v x y u x y v =- (0.0.21则原边值问题化为0;0(0,0,(,00(,00,(,(

15、0xx yy v v x a y b v y v a y y bv x v x b V x v x a +=-(0.0.22以分离变数形式的试探解(,(v x y X x Y y = (0.0.23代入(0.0.22的泛定方程和齐次边界条件,可得0Y Y -= (0.0.24(00,(0X X S L X X a +=-=解(S-L 得得特征值为21,2,n n n a = (0.0.25相应的特征函数为(sin1,2,n n X x x n a= (0.0.26将特征值(0.0.25代入(0.0.24解得(1,2,n n y y aan n n Y y A eB en -=+= (0.0.2

16、7其中A n , B n 为任意常数。这样,分离变数形式的解已求出为(,sin 1,2,n n yy a an n n n v x y A e B e xn a -=+= (0.0.28称为本征解.(0.0.22的一般解v(x ,y应是这些本征解的叠加1(,s i n n n y y a a n n n n v x y A e B e x a -=+ (0.0.29A n ,B n 由(0.0.22的非齐次边界条件来确定,即(11(,0sin 0(,sin (n n n n n b b a a n nn n v x A B x a n v x b A e B e x V x v a =-=+=

17、+=- (0.0.30 把右边展开为傅里叶正弦级数。然后比较两边系数,即得000(sin (4(sin (n n a n n b b a an n aA B n V x x dx n a A e B en V x x dx vn a n -+= +=- 为偶数为奇数由此解出01(s i n (14(sin (an n b b a a n n an n b b a a n V x x dx n a e e A B n V x x dx v n a n e e- -=-=- -为偶数为奇数(0.0.31 例2 求解定解问题2000cos sin 0,00,0ttxx x x x x l t t t

18、 x u a u A t lu u u u =-=解 应用Duhamel 原理,先求解2000,00,cos sin tt xx x x x x l t t t t v a v v v x v v A l =-=参照边界条件,试把解v 展开为傅里叶余弦级数(,;(,cosn n n xv x t T t x l= 代入泛定方程得22220cos 0n n n a n x T T l l =+= 由此分离出(n T t 的常微分方程22220n n a T T l+= 这个常微分方程的解是000(;(;(cos (sin(0n n n T t A B t n a t n a t T t A B

19、n l l=+-=+这样,解v 的傅里叶余弦级数是001(,;(cos (sin cosn n n v x t A B t n a t n a t n x A B l l l =+-+ 至于系数(n A 和(n B 则由初始条件确定。为此,把上式代入初始条件得0101(cos0(cos cos sin n n n n n xA A l n a n x xB B A l l l =+=+= 右边的cos sin xA l也是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即n=1的项。比较两边系数,得1(0,(sin ,(0(1n n lA nB AB n a=到此,求出(,;sin sin cos l a t

20、x v x t Aa l l-= 按照(131,得出答案02222(,(,;cos sin sin 1sin sin cos t tl x a t u x t v x t d A d a l l Al at a x t a l l l a l -=- -对热传导问题,如泛定方程是非齐次的,完全可以仿照冲量定理加以处理。例3 求解定解问题200sin 0,00t xx x x x l t u a u A t u u u =-= 解 首先应用Duhamel 原理,0(,(,;tu x t v x t d =,其中(,;v x t 是如下定解问题的解2000,0sin t xx x x x x l

21、t v a v v v v A =-= 用分离变数法解之得222212(12sin 12(,;sin 12n at l n n A v x t ex ln + -=+ =+从而222212(0001212(,(,;sin sin 12n a t t t l n n x A u x t v x t d e d l n + -=+ =+ 2220221212112sin 112212sin cos n n a tl n x A l n n a l n a t t e l =-+ + =+ + -+ 例2 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ,则弦的初始位移和初始速度都是零,求弦

22、的振动。这个定解问题是200000,sin 0,0tt xx x x l t t t u a u u u A t u u =-= (0.0.32x =l 端为非齐次边界条件。如果按上述一般处理方法,应取(,sin v x t A t =,但是,相应的(,w x t 的定解问题中泛定方程为222(sin tt xx tt xx w a w v a v A x t -=-=,是非齐次方程,求解麻烦。能否有较为简便的方法呢?由于求解的是弦在x=l 端受迫作谐振动sin A t 情况下的振动,它一定有一个特解(,v x t ,满足(0.0.32的齐次方程、非齐次边界条件,且跟x=l 端同步振动,即其时间部分的函数亦为sin t ,就是说,特解具有分离变数的形式(,(sin v x t X x