数理方程练习题.docx
《数理方程练习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数理方程练习题.docx(41页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
数理方程练习题
数理方程练习题一(2009研
1.设(,uuxy=,求二阶线性方程
20u
xy
∂=∂∂的一般解。
解先把所给方程改写为
(0u
xy
∂∂=∂∂2分两边对x积分,得
(0((uu
dxdxyyyxy
ϕϕ∂∂∂==+=∂∂∂⎰⎰4分这里,(yϕ是任意函数。
再两边对y积分,得方程的一般解为y
((((u
udyydyfxfxgyy
ϕ∂==+=+∂⎰
⎰6分这里,(,(fxgy是任意两个一次可微函数。
2.设
uf=满足Laplace方程
222
2
0uuxy∂∂∂∂+
=
求函数u.
解
:
.rxryrxrxr∂∂===∂∂''(,(.uxuyfrfrxryr
∂∂⇒==∂∂3分因此有
222'''
223222
'''
223
((((uxyfrfrxrr
uyxfrfryrr∂=+∂∂=+∂3分原方程化为:
'''1((0frfrr
+=2分故有
:
1212(lnrufrcccc==+=2分
例1求Cauchy问题
2
20
00(,(0,costtxxtttuauxtuxuxx==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩RR
的解.
解由定理3.1得
22222((1u(x,tcos221
cossinxat
xat
xatxatdaxatxat
a
ξξ+-++-=+=++⎰
例2求解Cauchy问题
200cos(,(0,cos010ttxxtttuautxxtxxuxux==⎧-=∈⨯∞⎪
≥⎧⎨
==⎨⎪<⎩⎩
R
解由公式错误!
未找到引用源。
得
[]00(
0(
2cos(011(,((cos(0
22(01
cos22cossincos(1cos(sin(2xat
xat
xat
xatxatxat
xattxatdxatuxtxatxatddxatxatadxatddaxatxxatatxxataatττξξξξξξτξξτ+-+-
+-+---⎧-≥⎪⎪⎪⎪
=++-++-≤≤+⎨⎪⎪
⎪+≤⎪⎩+⎧⎪
=+-+-++⎨⎰⎰⎰⎰⎰⎰①②
③⎪⎩
解u(x,t在不同区域上的表达式见下图。
图3.8
例3解在半无界问题
20000(,(0,sin(00
(0ttxxtttxuauxtuxuxxut+===⎧+=∈⨯∞⎪⎪
==≤≤∞⎨⎪
=≥⎪⎩R
解易知定理3.5的条件满足,从而
((1sin(22(,((1sin(
22sinsinsinsinsinsinxat
xat
xat
atxxatxatdxatauxtxatatxdxataxxat
xatxxat
xatxxat
ξξξξ+-+-⎧+--+<⎪⎪=⎨+--⎪+≥⎪⎩
+<⎧=⎨+≥⎩=+⎰⎰
例1求解二维Cauchy问题
2
2220
00(,,(0,0((,tttttuauxytuuxxyxy==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩RR
解由于
[]
22222232(,(cos(cos(sin(2(cos(cos(cossin2cos(cossincos(cossin
xrxryxxyxxyrxyrxrxrrψξηθθθθθθθθθθθθθ=++++=+++++++++++而
2022
20220
cos0
coscos(cossincos(cossin0ddddπ
π
π
π
θθθθπ
θθθθπ
θθθθ==+=+=⎰⎰⎰⎰
与
at
at=
2222
00333
112212
(((33
at
atatatat=+-=-=⎰
所以
几个函数的Fourier变换
例10(00
ax
ex
fxax-⎧≥=>⎨
<⎩
解由定义有
(0
(ix
iax
fxedxedxλλ+∞
+∞
--+===⎰⎰例21
||(0
||axa
xxa
≤⎧∏=⎨
>⎩
解由定义有
(a
ixix
a
a
fxedxedxλλ+∞
--=
=⎰
⎰
iaiaλλ-=
例32
(xfxe
-=
解由定义与分部积分
2
(((ixxix
Fffxedxeedx
λλ
λ
+∞+∞
---
==
⎰⎰
22
2
2
22
((
xixxix
x
exeedx
id
FxeFf
d
λλ
λ
λλλ
+∞
+∞
----
-∞
-∞
-
⎧⎫
=+⎬
⎭
⎡⎤
==-
⎣⎦
⎰
显然(
Ff满足如下的常微分方程的Cauchy问题
2
(
(
2
((0x
dFf
Ff
d
Ffedx
λ
λ
+∞
-
⎧
=-
⎪
⎪
⎨
⎪==
⎪⎩
⎰
解之得
2
2
4
((((
x
FeFf
λ
λλ-
-==
例4||
(ax
fxe-
=
解设
1
(
00
ax
ex
fx
x
-
⎧≥
=⎨
<
⎩
则
11
(((
fxfxfx
=+-,由性质1、6及例1得
112222
(((((
aiai
FfFfxFfx
aa
λλ
λλ
-+⎫
=+-=+=⎪
++⎭
例5
(
(
Aaxb
gx
≤≤
⎧
=⎨
⎩
解由于
2
(
2
bc
ab
gxAx
-
+
⎛⎫
=∏-
⎪
⎝⎭
由性质5及例2得
((
2
22
(
2
ab
i
bcbc
ab
FgxAFxAeFx
λ
+
-
--
⎡⎤⎛⎫
+
⎛⎫
=∏-=∏
⎪
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎣⎦⎝⎭
2
sin2abibaλ
λ
λ
+--=
例62
(Axpxe
-=(A>0
解设2
1(xpxe-=,
则1(pxp=由性质6与例3有
2
1(((((((AxFeFpxFpλλλ-==
2
241(((xAFpxFeλ
--===
特别地,取1
2A=得2
2
2
2(xFeeλλ--
⎛⎫=⎪⎪⎝
⎭
。
例7设22
((aFfeλλ-=,求1(((FFfx-
解设2
1((Ffeλλ-=,则1((((FfFfλλ=,应用性质7,5与例3有
例1磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动.研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题。
200,0(,0(,(,0(0(0,(,00ttxxtx
xuauxltuxxuxxxl
utulttϕψ⎧-=<<>⎪
==≤≤⎨⎪==≥⎩(0.0.1
解先以分离变数形式的试探解(,((uxtXxTt=代入(0.0.1的方程和边界条件得
20
0TaTtλ''+=>(0.0.2
及
00((0(0
XXxlSLXXlλ''+=<<⎧-⎨
''==⎩
解(S-L得其特征值为
2
0,1,2,nnnlπλ⎛⎫==⎪
⎝⎭
(0.0.3
相应的特征函数为
(cos
0,1,2,nnxXxnl
π==(0.0.4
将特征值为(0.0.3代入(0.0.2解得
000(0
(cossin1,2,nnnTtABt
nnana
TtAtBtnllππ=+==+=
(0.0.5于是得到本征振动
000(,0(,cossincos1,2,n
nnuxtABt
nnananuxtAtBtxnlllπππ=+=⎧⎪
⎨⎛
⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎩
所有本征振动的叠加得到一般解u(x,t,即
001(,cossincosnnnananuxtABtAtBtxlllπππ∞
⎛⎫=++
+⎪
⎝
⎭∑(0.0.6
适当选取(0.0.6中的系数是他满足初始条件,及令
01
(,0cos
(nnuxAAxxl
π
ϕ∞
=+=∑两边乘((cos
0,1,2,nnxXxnl
π==并从0到l积分得
00
01
2((cos1,2,l
l
nnAdAdnlllπϕξξ
ϕξξξ⎛⎫
===⎪⎝⎭
⎰⎰(0.0.7
由
01
(,0cos(tnannuxBBxxllπ
πψ∞⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
∑两边乘((cos
0,1,2,nnx
Xxnl
π==并从0到l积分得
00
01
2((cos1,2,l
l
nnBdAdnlanlπψξξ
ψξξξπ⎛⎫===⎪⎝⎭
⎰⎰(0.0.8答案(0.0.6中的00ABt+描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的纵振动.从(0.0.7、(0.0.8知道A0与B0分别等于平均初始位移和平均初始速度。
由于不受外力作用,
杆以不变的速度B0移动。
解(0.0.6正是傅里叶余弦级数。
这是在x=0和l=0处的第二类齐次边界条件决定的。
例2研究细杆导热问题。
初始时刻杆的一端温度为零度,另一端温度为u0,杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外界绝热。
试求细杆上温度的变化。
解杆上温度(,uxt满足下面的初边值问题
220
00,0((,00(0,(,00
txxxuauxltakxuxuxllutulttρ⎧-=<<>=⎪
⎪
=≤≤⎨⎪
==≥⎪⎩(0.0.9
先以分离变数形式的试探解(,((
uxtXxTt=代入初边值问题(0.0.9的方程及边界条件得
20
0TaTtλ''+=>(0.0.10
及
00((0(0
XXxlSLXXlλ''+=<<⎧-⎨
'==⎩
解(S-L得其特征值为
2
(211,2,2nnnlπλ-⎛⎫==⎪
⎝⎭
(0.0.11
相应的特征函数为
(21(sin1,2,2nnXxxnl
π
-⎛⎫==
⎪⎝⎭
(0.0.12
将特征值为(0.0.11代入(0.0.10解得2
(212(1,2,nat
lnnTtAe
nπ-⎛⎫
-⎪⎝⎭
==(0.0.13
从而一般解u(x,t为
2
(2121
(21(,sin2nat
lnnuxtAe
xlππ-⎛⎫∞
-⎪⎝⎭
-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
∑(0.0.14
适当选取(0.0.14中的系数是他满足初始条件,及令
1
(21(,0sin(02nnuuxAxx
xlllπ∞
-⎛⎫==<<⎪⎝⎭∑
两边乘(21sin2nxlπ-⎛⎫
⎪⎝⎭
并从0到l积分得002
02(21(12sin1,2,2122l
knunulAdnlllnπξξξπ--⎛⎫===⎪⎝⎭⎡⎤
⎛⎫-⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎰(0.0.15代入(0.0.14得
2
(2
1202
1
(12(
21(,
sin2122nak
t
lulnuxtexlnπππ-⎛⎫∞
-⎪⎝⎭
--⎛⎫=
⎪⎝⎭
⎡⎤
⎛⎫-⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦∑
(0.0.16应当着重指出:
如果考虑早先的时刻即考虑t<0,则2
(2
12nat
le
π-⎛⎫-⎪⎝⎭
随n的增大而急剧增大,
从而级数解(0.0.16发散1,成为无意义。
这是可以理解的,因为杆上温度分布总是趋于某种
平衡状态,而且只要边界条件相同,不管初始温度分布是怎样的,总是趋于同一平衡状态,所以从某个时刻的温度分布可以推算以后时刻的温度分布,却不能反推早先时刻的温度分布。
这是输运过程不同于振动过程的地方。
例3散热片的横截面为矩形。
它的一边y=b处于较高温度V,其他三边b=0,x=0,x=a则处于冷却介质中因而保持较低的温度v求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y即定解问题
0;0(0,,(,0(,0,(,(0xxyyuuxaybuyvuayvybuxvuxbVxxa+=<<<<⎧⎪
=
=<<⎨⎪==<<⎩
(0.0.17
解这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题。
由于不含初始条件,拉普拉斯方程的
边界条件不可能全是齐次的,因为这种条件下的解只能是零。
但是,尽可能把一些边界条件
1
这是扩散过程不可逆的表现。
化为齐次,毕竟会带来一些方便.常用的办法是把u(x,y分解为v(x,y和w(x,y的线性叠加,
(,(,(,uxyvxywxy=+(0.0.18
其中v(x,y和w(x,y分别满足拉普拉斯方程,并各有一组齐次边界条件,即
0;0(0,,(,0(,00,(,00xxyyvvxaybvyvvayvyb
vxvxbxa+=<<<<⎧⎪
==<<⎨⎪==<<⎩
(0.0.19
00;0(0,0,(,0
0(,0,(,(0xxyywwxaybwywayybwxvwxbVxxa+=<<<<⎧⎪
==<<⎨⎪==<<⎩
(0.0.20
很容易验证,把v和w的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程,把v和w的边界条件
叠加起来就是u的边界条件。
于是,问题转化为求解v和w,而v和w各有两个齐次边界条件可以构成本征值问题,不难分别解出.
其实,本例还有一个特殊的简便方法,就是令
(,(,vxyuxyv=-(0.0.21
则原边值问题化为
0;0(0,0,(,00(,00,(,(0xxyyvvxaybvyvayyb
vxvxbVxvxa+=<<<<⎧⎪
==<<⎨⎪==-<<⎩
(0.0.22
以分离变数形式的试探解
(,((vxyXxYy=(0.0.23
代入(0.0.22的泛定方程和齐次边界条件,可得
0YYλ''-=(0.0.24
((00,(0XXSLXXaλ''+=⎧-⎨
==⎩
解(S-L得得特征值为
2
1,2,nnnaπλ⎛⎫
==⎪
⎝⎭
(0.0.25
相应的特征函数为
(sin
1,2,nnXxxna
π==(0.0.26
将特征值(0.0.25代入(0.0.24解得
(1,2,nnyya
a
nnnYyAe
Be
nππ-
=+=(0.0.27
其中An,Bn为任意常数。
这样,分离变数形式的解已求出为
(,sin1,2,nny
yaa
nnnnvxyAeBex
naπππ-⎛⎫=+=⎪⎝⎭
(0.0.28
称为本征解.(0.0.22的一般解v(x,y应是这些本征解的叠加
1(,sinnnyyaannnnvxyAeBexaππ
π
∞
-=⎛⎫=+⎪⎝⎭
∑(0.0.29
An,
Bn由(0.0.22的非齐次边界条件来确定,即
(11(,0sin0(,sin(nnnnnbbaann
nnvxABxanvxbAeBexVxvaππππ∞
=∞-=⎧
=+=⎪⎪
⎨⎛⎫⎪=+=-⎪⎪⎝⎭⎩∑∑
(0.0.30把右边展开为傅里叶正弦级数。
然后比较两边系数,即得
000
(sin(4(sin(nnannbbaa
nna
ABnVxxdxnaAeBe
nVxxdxv
nanππ
πππ-+=⎧⎪
⎧⎛⎫
⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎨⎪⎛⎫
⎪⎪
-⎪⎪⎪⎝⎭
⎩⎩
⎰⎰为偶数为奇数
由此解出
01(sin(14(sin(a
nnbbaanna
nnbbaanVxxdxnaeeABnVxxdxvnanee
πππππππ--⎧⎛⎫
⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=-=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪-⎩⎰⎰为偶数为奇数(0.0.31例2求解定解问题
2
000cossin0,0
0,0tt
xxxxxxltttxuauAtl
uuuuπω====⎧-=⎪⎪⎪
==⎨⎪
'==⎪⎪⎩
解应用Duhamel原理,先求解
2000,00,cossinttxxxxxxlttttvavvvxvvAlτπωτ
====⎧
⎪-=⎪⎪
==⎨⎪
⎪'==⎪⎩
参照边界条件,试把解v展开为傅里叶余弦级数
(,;(,cos
nnnx
vxtTtxl
πτ∞
==∑代入泛定方程得
2222
0cos0nnnanxTTllππ∞
=⎡⎤''+=⎢⎥⎣⎦
∑由此分离出(nTt的常微分方程
222
2
0nnaTTl
π''+=这个常微分方程的解是
000(;(((
((
(;(cos(sin
(0
nnnTtABtnatnatTtABnll
ττττπτπττττ=+---=+≠
这样,解v的傅里叶余弦级数是
001(,;(((
(((cos(sincos
nnnvxtABtnatnatnxABlllττττπτπτπττ∞
==+---⎛
⎫++⎪⎝
⎭∑至于系数(nAτ和(nBτ则由初始条件确定。
为此,把上式代入初始条件得
01
01((cos
0((coscossinnnnnnx
AAlnanxx
BBAlllπττπππττωτ
∞
=∞
=+=+=∑∑右边的cossinx
Al
πωτ也是傅里叶余弦级数,它只有一个单项即n=1的项。
比较两边系数,
得
1(0,,
(sin,(0(1nnl
An
BA
Bna
ττωττπ=∀==≠
到此,求出
((,;sinsincoslatxvxtA
all
πτπτωτπ-=按照(131,得出答案
02222
(
(,(,;cossinsin1
sinsincostt
lxatuxtvxtdAdallAlataxtalllalππτττωττππππωωπωπ-==⎛⎫=
-⎪
-⎝⎭
⎰⎰
对热传导问题,如泛定方程是非齐次的,完全可以仿照冲量定理加以处理。
例3求解定解问题
200sin0,00
txxxxxltuauAtuuuω===⎧-=⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎩解首先应用Duhamel原理,0
(,(,;t
uxtvxtdττ=⎰
其中(,;vxtτ是如下定解问题的
解
2000,0sintxxxxxxltvavvvvAτωτ
===⎧-=⎪
==⎨⎪
=⎩用分离变数法解之得
2
222
12(
12sin1
2(,;sin12
na
tlnnAvxte
xl
nπτπωτ
τπ
⎛⎫+⎪⎝⎭∞
--=⎛⎫+⎪⎝⎭=
+∑
从而
2
222
12(000
1212(,(,;sinsin12
natttlnnxAuxtvxtdedlnπτπττωττπ⎛⎫+⎪⎝⎭∞--=⎛⎫+⎪⎝⎭==+∑⎰⎰2
22
022
1212112sin112212sincosnnat
lnxAlnnalnattelππππωπωωωω∞
=⎡⎤
⎛⎫-+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫+⎪⎝⎭=⋅⎡⎤
⎛⎫
+++⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎪
⋅-+⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
∑
例2弦的x=0端固定而x=l端受迫作谐振动sinAtω,则弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振动。
这个定解问题是
200000,sin0,0
ttxxxxltttuauuuAtuuω====⎧-=⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩(0.0.32
x=l端为非齐次边界条件。
如果按上述一般处理方法,应取(,sinvxtAtω=,但是,相应的(,wxt的定解问题中泛定方程为222((sinttxxttxxwawvavAxtωω-=--=,是非齐次方程,求解麻烦。
能否有较为简便的方法呢?
由于求解的是弦在x=l端受迫作谐振动sinAtω情况下的振动,它一定有一个特解
(,vxt,满足(0.0.32的齐次方程、非齐次边界条件,且跟x=l端同步振动,即其时间部分
的函数亦为sintω,就是说,特解具有分离变数的形式
(,(sinvxtXx