相似三角形典型模型及例题.docx

1、相似三角形典型模型及例题1:相似三角形模型:相似三角形判定的基本模型（三）母子型（四）一线三等角型:腰三角三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形 为背景，一个与形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:（五）一线三直角型:三直角相似可以看着是一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转

2、化。（六）双垂型:相似三角形判定的变化模型/B E C一线三直角的变形2:相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCDK AD/ BC对角线 AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于E.例 3 :已知：如图，等腰 ABC中, AB= AC ADL BC于 D, CG/ AB BG分别交 AD AC于 E、F. 求证：BE2 EF EG .1、如图，已知 AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证： FD2 FB FC .2、已知：AD是Rt ABC中/A的平分线，/ C=90 , EF是AD的垂直平分线交 AD于M, EF、BC的延长线 交于一点 M 求

3、证： AMEA NMD; (2)ND 2=NC- NB证：GBM 905已知：如图，在 Rt ABC中，/ C=90, B(=2, AC=4, P是斜边 AB上的一个动点，PD丄AB交边 AC于 点D (点D与点A C都不重合)，E是射线DC上一点，且/ EP=Z A.设A、P两点的距离为 x, BEP的 面积为y. (1)求证：AE=2PE(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;(3)当厶BEP-与ABC相似时，求 BEP的面积.(2)双垂型1如图，在 ABC中，/ A=60 , BD CE分别是AC AB上的高 求证：(ABBA ACE (2) AD0A ABC (3)BC=2ED

4、2、如图，已知锐角厶ABC AD CE分别是BC AB边上的高， ABC和厶BDE的面积分别是 27和3, DE=2 ,(3)共享型相似三角形、 ABC是等边三角形， DBCE在一条直线上，/ DAE=120 ,已知BD=1, CE=3求等边三角形的边长2、已知：如图，在 Rt ABC中, AB=AC / DAE45。求证：(1 ) AB0A ACD(2) BC2 2BE CD .（4） 一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDf=60（1） 求证： BD0A CFD（2） 当 BD=1, FC=3 时，求 BE例2:（ 1）在 ABC中，AB A

5、C 5，BC 8，点P、Q分别在射线（B 点B重合），且保持 APQ ABC .1若点P在线段CB上（如图），且BP 6，求线段CQ的长；2若BP x，CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;（2）正方形ABCD的边长为5 （如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重 合），且保持 APQ 90 .当CQ 1时，求出线段 BP的长.例 3:已知在梯形 ABCDK AD/ BC AD BC 且 AD= 5, AB= DC= 2.（1） 如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A.1求证； ABPo DPC2求AP的长.（2） 如果点P在AD边上移动（点

6、 P与点A D不重合），且满足/ BPE=Z A, PE交直线BC于点E,同时 交直线DC于点Q,那么1当点Q在 DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；2当CE= 1时，写出AP的长./ BC , AB CD BC 6 , AD 3 点M为边BC的中点，以例4:如图，在梯形 ABCD中，ADM为顶点作 EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF .(1)求证： MEF BEM ；(2)若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF CD，求BE的长.ADE C (1)如果BD x, AE y，求y与

7、x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域; 当点D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在厶 ABC中, AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE并作DEF B，射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEA ECF(2 )当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3)联结DF,如果 DEF与 DBE相似，求FC的长.BE C3、已知在梯形 ABCDK AD/ BC ADc BC 且 BC=6 , AE=DO4,点 E 是 AB的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证： BEPo CPD(2)如果点

8、P在BC边上移动(点 P与点B C不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF交直线CD于点F,同 时交直线AD于点M那么1当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x, DF= y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域；92当Sdmf 9Sbep时，求BP的长.4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC 上, CF 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG, FG交直线AC于点M , N ,(1)写出图中与 BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3) 设be x,MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;(4)若AE

9、 1，试求GMN的面积.(5) 线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中, CD=2 AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP ,交边AB于点E,设PD x,AE y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。例2、在 ABC中， C 90o,AC 4,BC 3,0是AB上的一点，且AC 2，点P是AC上的一个动点，PQ CP交线段BC于点Q （不与AB 5点B,C重合），设AP x, CQ y，试求y关于x的函数关系，并写出定 义域。31.在直角 ABC中， C 900 AB 5 ta nB ，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF DE 4交射

10、线AC于点F（1） 、求AC和 BC的长（2） 、当EF / BC时，求BE的长。（3）、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。33.如图，在 ABC中， C 90 , AC 6 , tan B - , D是BC边的中点，E为AB边上的一个动4点，作 DEF 90 , EF交射线BC于点F 设BE x , BED的面积为y 4 o4.如图，在梯形 ABCD 中，AB CD , AB 2, AD 4, ta nC , ADC DAB 90 ,P 是腰 BC上一个动点(不含点B、C),作PQ AP交CD于点Q.(图1)(1)求BC的长与梯形 ABCD的面积；(2)当PQ DQ时，求BP的长；(图2)(3)设BP x,CQ y ,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域.