相似三角形典型模型及例题.docx
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相似三角形典型模型及例题
1:
相似三角形模型
:
相似三角形判定的基本模型
（三）母子型
（四）一线三等角型:
腰三角
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与
形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:
（五）一线三直角型:
三直角相似可以看着是"一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,
这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
（六）双垂型:
:
相似三角形判定的变化模型
/
BEC
一线三直角的变形
2:
相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1:
如图，梯形ABCDKAD//BC对角线ACBD交于点O,BE/CD交CA延长线于E.
例3:
已知：
如图，等腰△ABC中,AB=ACADLBC于D,CG/ABBG分别交ADAC于E、F.求证：
BE2EFEG.
1、如图，已知AD^^ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：
FD2FBFC.
2、已知：
AD是Rt△ABC中/A的平分线，/C=90,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点M求证：
⑴△AME^ANMD;
（2）ND2=NC-NB
证：
GBM90
5已知：
如图，在Rt△ABC中，/C=90°,B（=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PD丄AB交边AC于点D（点D与点AC都不重合），E是射线DC上一点，且/EP[=ZA.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
（1）求证：
AE=2PE
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;
（3）当厶BEP-与^ABC相似时，求△BEP的面积.
（2）双垂型
1如图，在△ABC中，/A=60,BDCE分别是ACAB上的高求证：
（ABBAACE
（2）△AD0AABC（3）BC=2ED
2、如图，已知锐角厶ABCADCE分别是BCAB边上的高，△ABC和厶BDE的面积分别是27和3,DE=^'2,
（3）共享型相似三角形
〔、△ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上，/DAE=120,已知BD=1,CE=3求等边三角形的边长
2、已知：
如图，在Rt△ABC中,AB=AC/DAE45。
求证：
（1）△AB0AACD
（2）BC22BECD.
（4）一线三等角型相似三角形
例1:
如图，等边△ABC中，边长为6,D是BC上动点，/EDf=60°
（1）求证：
△BD0ACFD
（2）当BD=1,FC=3时，求BE
例2:
（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线（
B点B重合），且保持APQABC.
1若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；
2
若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.
例3:
已知在梯形ABCDKAD//BCAD（1）如图8,P为AD上的一点，满足/BPC=ZA.
1求证；△ABPo^DPC
2求AP的长.
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点AD不重合），且满足/BPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
1当点Q在DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
2当CE=1时，写出AP的长.
//BC,ABCDBC6,AD3•点M为边BC的中点，以
例4:
如图，在梯形ABCD中，AD
M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF.
（1）求证：
△MEFBEM；
（2）若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；
（3）
若EFCD，求BE的长.
ADEC•
（1）
如果BDx,AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域;
⑶当点D是BC的中点时，试说明厶ADE是什么三角形，并说明理由.
2、如图，已知在厶ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点，BD=2,E是BC上一动点，联结DE并作
DEFB，射线EF交线段AC于F.
（1）求证：
△DBE^AECF
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF,如果△DEF与△DBE相似，求FC的长.
BEC
3、已知在梯形ABCDKAD//BCADcBC且BC=6,AE=DO4,点E是AB的中点.
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：
△BEPo^CPD
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点BC不重合），且满足/EPF=ZC,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M那么
1当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
9
2
当Sdmf9Sbep时，求BP的长.
4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上,CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF
为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N,
（1）写出图中与BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设bex,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
（4）若AE1，试求GMN的面积.
（5）—线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中,CD=2AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP,
交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例2、在ABC中，C90o,AC4,BC3,0是AB上的一点，且
AC2
，点P是AC上的一个动点，PQCP交线段BC于点Q（不与
AB5
点B,C重合），设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。
3
1.在直角ABC中，C900AB5tanB—，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE''4
交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当EF//BC时，求BE的长。
（3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。
3
3.如图，在ABC中，C90,AC6,tanB-,D是BC边的中点，E为AB边上的一个动
4
点，作DEF90,EF交射线BC于点F•设BEx,BED的面积为y•
4o
4.如图，在梯形ABCD中，ABCD,AB2,AD4,tanC,ADCDAB90,P是腰BC
上一个动点（不含点B、C）,作PQAP交CD于点Q.（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQDQ时，求BP的长；（图2）
（3）设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域.
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