考点梳理二次根式章节涉及的16个必考点全梳理.docx

1、考点梳理二次根式章节涉及的16个必考点全梳理考点梳理：二次根式章节涉及的14个必考点全梳理（精编Word）必考点一二次根式的概念掌握二次根式的定爻：一般地，我们把形如虫（aMO）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给 出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范囤.例题I 下列式子一泄是二次根式的是（【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如苗（徐0）的式子叫做二次根式可得答案.【解析】根据二次根式的定义可得7中中得被开方数无论*为何值都是非负数，选C.【小结】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数.变式1 在

2、式子J壬（才0），V2,7yTT（j= -2）, V（x0）, Vs,胰2 +出中,二次根式有（【分析】根据二次根式的泄义作答.【解析】JI（x0）, V2, 7中符合二次根式的怎义.77TT （y= -2）. 7 （x0）无意义，不是二次根式. 帖属于三次根式.【小结】本题考査了二次根式的定义.一般形如苗（存工0的代数式叫做二次根式.当时，站表示存 的算术平方根：当d小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）.变式2在式子V充3.14,晶2 + b2, Va + 5 J3y2, Vm? + 1. J|ab|中,是二次根式的有（【分析】根据二次根式的定义形如苗dMO的

3、式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得【解析】在所列式子中是二次根式的有心r - 3.14,血2 + b2, Ji两这4个，选B.【小结】本题主要考查二次根式的世义，解题的关键是掌握形如苗（心0）的式子叫做二次根式.根式，并能根据二次根式的泄义确；4被开方数中的字母取值范围必考点二二次根式有意义的条件（求取值范围）对于二次根式有意乂的条件求取值范国类题型，关谴是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零.例题2若式了烂在实数范即有意几则”，的取值范懾是（【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于刖的不等式，求出也的取值范帀即可.【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析

4、得出答案.【解析】要使E +急有意义，则2x20, 3-x0.解得：扣心选C.【小结】此题主要考査了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.变式5 若使式子#2策 dx - 1成立,则X的取值范帀是（【分析】直接利用二次根式的性质进而讣算得出答案.【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关；4义是解题关键变式6等式JPI = 铝成立的条件是（【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的范用 【解析】：等式修1 =疟成立，4：二即,却.选D【小结】本题考査的知识点为：分式有意义分母不为6二次根式的被开方数是非负数.必考点三次根式有意义

5、的条件（被开方数互为相反数）对于解决此类型题a关犍从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可.例題3 已知，X、y是有理数，且序衣-4,则2x+3y的立方根为 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x=2.进而可得y的值，然后il算出2x+3y的值，进而得立方根.【解析】由题意得：二；囂，解得=2,则L4,2x+3y=2X2+3X ( -4) =4 - 12= -8.所以需帀=-2【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.变式7 若G b为实数，且b = 3-烹七竺+4,则时b的值为（【分析】先根据二次根式的基本性质：7有意义

6、，则求岀存的值，进一步求出z的值，从而求解.jq29+ 、【解析】Yb = rri 4, -*.7 - 9=0 且 a+3H0,解得 22=14+l = 15【小结】本题考査分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.变式9 已知J3x + y- z-8 + Jx + y- z = J%+y- 2019 + J2019 x y,求(2-y？的值【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0方程左边也为0,据此求得小N 2的值：然后代入求值.【解析】由题中方程等号右边知J /t + y-20i9有意义,则旳-20190,即小92019, j2019-x-

7、y有意义，则 2019-x-v0.即xtyW2019,即； 0, yjx + y z 0. -*-3x+；) - z - 8=0, x+y - z=0.3x + y-z-3 = 0:.x + y-z = 0 才 + y = 2019(z-y) -= (2019 - 2015) 2=42 = 16.【小结】考査了二次根式的意义和性质.概念：式子品 30)叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.同时考査了非负数的性质，几个非负数的和为0,这几个非负数都 为0.必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母

8、的符号，利用二次根式的性质即可化简.例题 已知flHO且ab.化简二次根式乔T的正确结果是（【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定存的符号然后根据a0,.aX), .-00, er - 5 - c|+|d+c - b.然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项.【解析】T心0、C为二角形的二条边-*-7+hCT原式=0+0 c+a+c bab ca+c b2a,选 B【小结】考查二次根式性质与化简：灵活应用二次根式性质进行化简-也考査了三角形三边之间的关系.变式15已知实数G b. C在数轴上的对应点的位宜如图所示，化简Q + 0c|+J-C)2-|b|【分析】根据二次根式的

9、运算法则即可求出答案.【解析】由数轴可知J eaOOt b - cOt原式=|a|+|a - c+b - c- b - a+ (a c) + (b c) - b= - 2c【小结】本题考査二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型.必考点六最简二次根式的概念最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式：(2)被开方数中不含有可化为平 方数或平方式的因数或因式.例6 下列二次根式中，是最简二次根式的是(【分析】判断二次根式是否为最简二次根式需根据最简二次根式世义进行，或观察被开方数的每一个因数(或因式指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母，被开方数是多

10、项式时要先因式分解后再观察.【解析】.丄逅=2血，可化简：B.2xy =x/2y, 口J化简：=罗,可化陆 心疋+护不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式：选Z).【小结】本题主要考査了最简二次根式.在判断最简二次根式的过程中要注意：Zo：48.其中不能与皿合并的有（【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得.【解析】丫伍=2逅，718=372, J|=攀，-SyJS, /048 = 不能712合并的是后、一/1若这2个，选B【小结】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念.变式19若最简二次根式Vn有与最简二次根式屁是

11、同类二次根式，则X的值为（【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可.【解析】最简二次根式/与最简二次根式75是同类二次根式Ax+3=2as解得：x=3,选Q【小结】本题考査了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出 卅3=2才是解此题的 关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.变式20若最简二次根式也尬+ rt, 2/4m 一 2可以合并，则m - 的值为.【分析】由题意可知，75云而与2阿同类二次根式，即被开方数柑同，由此可列方程求解.【解析】根据题意3刖+幵=4协-2,即w+=-2,所以w-=2【小结】本题考

12、査同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式: 同类二次根式可以合并.变式21若最简二次根式sy2x + y - S和J策-3y+ll是同类二次根式.（1）求X, y的值：（2）求少2 +y2的值.根据同类二次根式的圧义：被开方数相同：均为二次根式；列方程解组求解:【解析】（1），解得：靂；:(2)当 x=4. y=3 时，厶2 + y2 =血2 + 32 =倔=5.【小结】此题主要考査了同类二次根式和算术平方根的崔义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方 数柑同的二次根式叫做同类二次根式.必考点八二次根式的加减运算二次根式相加减，先把冬个二次根式化成最简二次

13、根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方 法为系数相加减，根式不变解答.例题8 讣算:(1)3y/3 Vs + y/2 y/2,7 (2) lay/la -i-7tjy/2a【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可:（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可.【解析】(1)原33 - 2V2 + V2 - 33 = -2.(2)原式=7aVaV+7a/ = 7a/7+6aZ【小结】此题考査二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把个二次根式化成垠简二次根式, 再把被开方数柑同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答.变式22讣算:（1） 2V12-6JI+3V48 （

14、2） 5Jl+I【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案.（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案.【解析】（1）原式=-275+ 1273 = 1473.（2）原式=眉+応一2757=0【小结】本题考査二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.变式23讣算:3Cl) 2V3 + 3V12-V48 (2) (【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可:（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数柑同的二次根式合并即可.【解析】（1）原式=273 +6V3 -4y/3=4y/3i(2)原式=孑乂2仮一(15X讐一2x) =

15、3/7-3+2x=2x【小结】本题主要考査二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只 有被开方数柑同的二次根式才能合并，当被开方数不柑同时是不能合并的.变式24讣算(1)yjT7-yf-y/20 + yj75(2)2y/a 3yfab + 5V4a 2b(a 0b0)【分析】（1）宜接利用二次根式的性质分别化简讣算得出答案:（2）直接利用二次根式的性质分别化简i|算得出答案.【解析】(1)原式= 3v 3yf5 25 -i-5i/3 Sy/355；（2）原式=2苗一3cZK + 1 炳一2存0=12苗一5aVK【小结】此题主要考査了二次根式的加减运算，正确化简二次

16、根式是解题关键.必考点九二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变: 两个二次根式相除，把被开方数柏除，根指数不变.例题9 i|算：（眾）X（4隔.【分析】根据二次根式的乘法法则进行讣算即可.【解析】辰令（右离）X（4居尸（1电X4）碍匚31=（1XX4） JXX=10V2.【小结】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键.变式25让算:M吕塔馬【分析】依据二次根式的乘除法法则进行il算R卩可.【小结】本题主要考査了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键.【小结】变式27本题

17、考査二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型.汁算：二局(一+i P (ao)b z o a【分析】宜接利用二次根式的性质化简进而得出答案.【小结】此题主要考査了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键.必考点十二次根式的混合运算二次根式的混合运舞可以说是二次根式乘、除法.加.减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应 注意以下几点: 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运舞与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除, 最后加减，有括号先算括号内的;在运舞过程中，每个根式可以看作是一个“单项式多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”:例题 10 计算：V

18、3XZT2 + V64-V2 - V27： (2)化简：+【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算:（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.【解析】(1)原式=/3 X 12 + 一375=6+/1 -371=6 2屈y/2(2)原式=3屁+7+*石=3/+屁=5/【小结】本题考査了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可在 二次根式的混合运算中，如能结介题目待点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事 半功倍.变式28 (1)计算：VHx 零 + 侮子晶.(2) il算：(/5 +73)2- (75 +72

19、)(/5-V2).【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算:（2）利用完全平方公式和平方差公式il算.1 3 7【解答】(1)原式=4 X V12 X 3 + V24 6 = 2 + 2 = 2 (2)原式=5 + 2届+3-(5-2) = 8 + 2届一3 = 5 + 2皿.【小结】本题考査了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在 二次根式的混合运算中，如能结合题目待点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.变式29 il算J ( 1) (25 1) + (.y/3 +2) (y/32)； (2) J48 #27 X【分析】（1）利

20、用完全平方公式和平方差公式计算:（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可.【解析】（1）原式=12-4/1 + 1+34=12-4存：(2)原式=昇48 3 - ”27 X 6 +20=2 - 30 +275=2-近.【小结】本题考査了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运 算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的 解题途径，往往能事半功倍.变式30 汁算：（1） （VJV）（75+2） -（75-1）2+5： （2） （2睜一 届）十辱.【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式讣算，再去

21、括号，最后计算加减可得;（2）先化简二次根式，再讣算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得.【解析】(1)原式=(3 4) (3 2y/3 +1) +5= 1 3+23 1+5=25：(2)原式=(-佑一5) +弊=一12丄=-13.3 0 0 V6x【小结】本题主要考査二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.必考点十一二次根式的化简求值例题 11 若 X, y 是实数，且尸 p4x - 1 + /1 - 4x + J,求+ J4xy、- + y/25xy )的值.【分析】先根据二次根式有意义的条件求出X的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，

22、合并后代入 求出即可.【解析】b, y 是实数，且尸 - 1 + /1 - 4x + 4x - 1 0 且 14心 0.解得：x= /. = y(孑屁i + J4xy) - (Vx + -25x7)=2y仮+2石-x仮-5/=x-3/【小结】本题考査了二次根式有意义的条件二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出Ay的值, 题目比较好，琳度适中.变式31已知x= 总疗，y = 甘厅，求下列各式的值:乍 X y【分析】（1）先将工、y的值分母有理化，再计算出小4秽的值，继而代入卫（比,）2.30计E)2 - 2%.算可得.算可得;（2）将rty、罚的值代入殳+ -=尤+yX y 71+75 2

23、【解析】（1）= 二小=届 A3- i.贝Ij X - = (x+y) 2 - 3；(y=5_|. = L_ (x+y)-2xy _ 5-1 _。 O【小结】本题主要考査二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算 法则.例题12阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如青，島 盒一样的式子，其实我们还可以将其进一5 5X 齿 SVS2x3 _ 763x3-32X(V3-1) 2(V3-1)以上这种化简的步骤叫做分碌有理化.【分析】（1）分子分母分别乘VI即可:（2）分子分母分别VS-VsBPoI：（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可;=I (Vs-I+Vs-V3