【解析】由题意：
即初W0,
所以原式=|a|V—oh=—aj—ab、选D
【小结】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确泄出心b的符号，以确保二次根式的双重非负性.
变式10与根式-xjm的值相等的是（
A.
D.yj—x
—yjx
B.
【分析】将原式进行化简后即可确左正确的选项.
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范用，再根据二次根式的性质进行化简即可.
【解析】•.弓>0,「.aX）,.•・-0<0,-a£=-V^,选B.
【小结】此题主要考査了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键.
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可.
【解析】（a-1）」（I'a）=-（1-a）=-y/l-a.选A.【小结】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键.
必考点五二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）
例题5若1则|1一划一丁（策一4）2化简的结果为（
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解.
【解析】•'•原式=卩-xj-[x-4|=x-1-（4-X）=x・1-4+x=2;v・5,选
【小结】本题主要考査绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键.
变式13实数a、6在数轴上的位置如图所示，化简J（a+1）2+J（b-1）2一J（a—0）2的结果是（a,.Ib,
-3-2-10123
【分析】根据实数《和^＞在数轴上的位置，确定出其取值范围•再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可.
【解析】由数轴可知・2VdV-h1VX2,
Aez+KO,b-1>0,er-5<0,
+1）2+丿3-1）2-J（a-b）2=j^l|+|b--|4-列=・（a+1）+（0-1）+（a-ZO=-2,选月・
【小结】本题主要考査了实数•与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键.
变式14若心b、C为三角形的三条边，则y/（a+b-cy+\b-a-c\^（
【分析】先利用二次根式的性质得到原式=k+Z>-c|+|d+c-b\.然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义
去绝对值后合并同类项.
【解析】T心0、C为二角形的二条边’-*-£7+h>CT
原式=0+0•c]+\a+c•b\—a~^b■c^a+c•b—2a,选B・
【小结】考查二次根式性质与化简：
灵活应用二次根式性质进行化简-也考査了三角形三边之间的关系.
变式15已知实数Gb.C在数轴上的对应点的位宜如图所示，化简Q+0・c|+J@-C）2-|b|・
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【解析】由数轴可知JeOtb-c>Ot
原式=|a|+|a-c\+\b-c\-\b\—-a+（a・c）+（b・c）-b=-2c・
【小结】本题考査二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型.
必考点六最简二次根式的概念
最简二次根式的条件：
（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式：
（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.
例《6下列二次根式中，是最简二次根式的是（
【分析】判断二次根式是否为最简二次根式需根据最简二次根式世义进行，或观察被开方数的每一个因数
（或因式〉指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.
【解析】.丄逅=2血，可化简：
B.^2x~y=\x\^/2y,口J化简：
="罗,可化陆^心疋+护不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式：
选Z）.
【小结】本题主要考査了最简二次根式.在判断最简二次根式的过程中要注意：
<1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式：
（2）在二次根式的被开方数中的毎一个因式（或因数人如果幕的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.
Jab
变式16在根式7^、712^匚一、Jx-y、Jx2y中,最简二次根式有（
B.2个
A・1个
C・3个
D・4个
【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式-我们把满足上述两个条件的二次
根式，叫做最简二次根式.
jab4
【解析】根式yfl2^二一、Jx—y、、/x2y中,最简二次根式有工一.Jx-y、共3个，选C・本题主要考査了最简二次根式，最简二次根式的条件：
＜1）被开方数的因数是整数或字母，因式
【小结】
是整式:
（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.
变式17
若二次根式^Z5祚石是最简二次根式，则最小的正整数d为2•
【分析】判圧一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检査最简二次根式的两个条件是否同时
满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【解析】若二次根式^Z5祚石是最简二次根式，则最小的正整数4为2,
【小结】本题考査最简二次根式的;^义.根据最简二次根式的崔义，最简二次根式必须满足两个条件：
被
开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
变式18若71^和都是最简二次根式，则刖+”=・6
【分析】根据最简二次根式泄义，知加+3=1,2加-”+l=h解方程组求得刖和”的值，则刖+”的值可得.
【解析】由题意可得：
｛爲号穿1=「解得：
二…"汁”=・6
【小结】考查最简二次根式的义、解二元一次方程组和简单整式加法运算.属于基础知识的考査.
必考点七同类二次根式的槪念
同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次很式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同
类二次根式，同矣二次根式可以合并.
例题7下列二次根式：
耳V18.JI，-VT^.>Zo：
48.其中不能与皿合并的有（
【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得.
【解析】丫伍=2逅，718=372,J|=攀，-SyJS,>/048=不能^712合并的是后、一\/1若这2个，选B・
【小结】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念.
变式19若最简二次根式Vn有与最简二次根式屁是同类二次根式，则X的值为（
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可.
【解析】•••最简二次根式\/^与最简二次根式75^是同类二次根式Ax+3=2as解得：
x=3,选Q・
【小结】本题考査了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出卅3=2才是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式.
变式20若最简二次根式也尬+rt,2\/4m一2可以合并，则m-«的值为.
【分析】由题意可知，75云而与2阿同类二次根式，即被开方数柑同，由此可列方程求解.
【解析】根据题意3刖+幵=4协-2,即・w+"=-2,所以w-«=2・
【小结】本题考査同类二次根式的概念：
化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式:
同类二次根式可以合并.
变式21若最简二次根式sy2x+y-S和J策-3y+ll是同类二次根式.
（1）求X,y的值：
（2）求少2+y2的值.
根据同类二次根式的圧义：
①被开方数相同：
②均为二次根式；列方程解组求解:
【解析】
（1）
，解得：
靂；:
（2）当x=4.y=3时，厶2+y2=血2+32=倔=5.
【小结】此题主要考査了同类二次根式和算术平方根的崔义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数柑同的二次根式叫做同类二次根式.
必考点八二次根式的加减运算
二次根式相加减，先把冬个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答.
例题8讣算:
（1）3y/3—Vs+y/2—y/2,7
（2）lay/la-i-7tjy/2a
【分析】
（1）根据二次根式的加减计算即可:
（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可.
【解析】
（1）原3^3-2V2+V2-3^3=-^2.
（2）原式=7aV^—aV^+7a\/^=7a\/7^+6a\^Z・
【小结】此题考査二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把％个二次根式化成垠简二次根式,再把被开方数柑同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答.
变式22讣算:
（1）2V12-6JI+3V48
（2）5Jl+I
【分析】
（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案.
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案.
【解析】
（1）原式=-275+1273=1473.
（2）原式=眉+応一2757=0
【小结】本题考査二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型.
变式23讣算:
3
Cl）2V3+3V12-V48
（2）（
【分析】
（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可:
（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数柑同的二次根式合并即可.
【解析】
（1）原式=273+6V3-4y/3=4y/3i
（2）原式=孑乂2仮一（15X讐一2x）=3\/7-3^+2x=2x・
【小结】本题主要考査二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数柑同的二次根式才能合并，当被开方数不柑同时是不能合并的.
变式24讣算
（1）yjT7-yf^-y/20+yj75
（2）2y/a—3yfa^b+5V4a—2b（a>0b>0）
【分析】
（1）宜接利用二次根式的性质分别化简讣算得出答案:
（2）直接利用二次根式的性质分别化简i|算得出答案.
【解析】
（1）原式=3v^—3yf5—2^5-i-5i/3—Sy/3—5^5；
（2）原式=2苗一3cZK+1炳一2存0=12苗一5aVK・
【小结】此题主要考査了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键.
必考点九二次根式的乘除运算
掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变:
②两个二次根式相除，把被开方数柏除，根指数不变.
例题9i|•算：
（眾）X（4隔.
【分析】根据二次根式的乘法法则进行讣算即可.
【解析】辰令（右离）X（4居尸（1电X4）碍匚31=（1X^X4）J^X^X^=10V2.
【小结】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键.
变式25让算:
M吕塔"馬•
【分析】依据二次根式的乘除法法则进行il•算R卩可.
【小结】本题主要考査了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键.
【小结】
变式27
本题考査二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型.
汁算：
二局•（一+iP（a>o）
bzo\a
【分析】宜接利用二次根式的性质化简进而得出答案.
【小结】此题主要考査了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键.
必考点十二次根式的混合运算
二次根式的混合运舞可以说是二次根式乘、除法.加.减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点:
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运舞与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除,最后加减，有括号先算括号内的;
②在运舞过程中，每个根式可以看作是一个“单项式多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”:
例题10⑴计算：
V3X>ZT2+V64-V2-V27：
（2）化简：
+
【分析】
（1）根据二次根式的乘除法则运算:
（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可.
【解析】
（1）原式=\/3X12+一375=6+\/1-371=6・2屈
y/2
（2）原式=3屁+7^+*・石=3\/^+屁=5\/^・
【小结】本题考査了二次根式的混合运算：
先把二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可•在二次根式的混合运算中，如能结介题目待点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
变式28
（1）计算：
VHx零+侮子晶.
（2）il•算：
（>/5+73）2-（75+72）（>/5-V2）.
【分析】
（1）利用二次根式的乘除法则运算:
（2）利用完全平方公式和平方差公式il•算.
137
【解答】
（1）原式=4XV12X3+V246=2+2=2•
（2）原式=5+2届+3-（5-2）=8+2届一3=5+2皿.
【小结】本题考査了二次根式的混合运算：
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可•在二次根式的混合运算中，如能结合题目待点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事
半功倍.
变式29il•算J
（1）（2^5—1）"+（.y/3+2）（y/3—2）；
（2）J48—#27X
【分析】
（1）利用完全平方公式和平方差公式计算:
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可.
【解析】
（1）原式=12-4\/1+1+3・4=12-4\存：
（2）原式=昇48♦3-”27X6+20=2-30+275=2-近.
【小结】本题考査了二次根式的混合运算：
先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
变式30汁算：
（1）（VJV）（75+2）-（75-1）2+5：
（2）（2睜一届）十辱.
【分析】
（1）先利用平方差公式和完全平方公式讣算，再去括号，最后计算加减可得;
（2）先化简二次根式，再讣算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得.
【解析】
（1）原式=（3"4）•（3~2y/3+1）+5="1"3+2^3—1+5=2^5：
（2）原式=（-佑一5^^）+弊=一12^•丄=-13.
300V6x
【小结】本题主要考査二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.
必考点十一二次根式的化简求值
例题11若X,y是实数，且尸p4x-1+>/1-4x+J,求+J4xy、-+y/25xy）的值.
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出X的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可.
【解析】••b,y是实数，且尸-1+\/1-4x+4x-1>0且1・4心0.解得：
x=/.>'=y
（孑屁i+J4xy）-（Vx^+-^25x7）=2y仮+2^石-x仮-5/^=x^-3/^
【小结】本题考査了二次根式有意义的条件•二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出Ay的值,题目比较好，琳度适中.
变式31已知x=总疗，y=甘厅，求下列各式的值:
⑵乍Xy
【分析】
（1）先将工、y的值分母有理化，再计算出小4秽的值，继而代入卫（比,）2.30计
E）2-2%[.算可得.
算可得;
（2）将rty、罚的值代入殳+-=尤+y
Xy…―
71+752
【解析】
（1）=二小=届A3-i.
贝IjX"-=（x+y）2-3；（y=5_|.=L
_（x+y）^-2xy_5-1_。
—O
【小结】本题主要考査二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则.
例题12阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如青，島盒一样的式子，其实我们还可以将其进一
55X齿SVS
2x3_76
3x3-3"
2X（V3-1）2（V3-1）
以上这种化简的步骤叫做分碌有理化.
【分析】
（1）分子分母分别乘VI即可:
（2）分子分母分别^VS-VsBPoI：
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可;
=I（Vs-I+Vs-V3
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