苏科版八年级数学上册轴对称图形.docx

1、苏科版八年级数学上册轴对称图形2.1轴对称与轴对称图形【知识点总结】一、轴对称的概念 把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。例1：如图，观察下面的图形，它们有什么共同特点？二、轴对称图形 把一个图形沿着有一条直线折叠，如果直线两旁部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。例2：下列表情图中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D三、轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的对称性.联系：（1

2、）在这两个概念中，都有一条直线，都是沿着这条直线折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么两部分图形就成轴对称.如图就是一个轴对称图形，也可以看成是直线AB两侧的图形关于直线AB成轴对称.例3：如图，在长方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，适用折叠的方法判断.（1）图中哪几对三角形成轴对称？画出它们的对称轴.（2）图中哪几对三角形是轴对称图形？画出它们的对称轴.【典例展示厅】题型一 识别轴对称图形例1:下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D题型二 确定对称轴的条数例2：

3、如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ） A.1条 B.2条 C.4条 D.8条题型三 生活中的对称例3:小亮在镜子中看到身后墙上的时钟如图所示，你认为实际时间最接近8：00的是（ ） A B C D题型四 实践操作题例4：把一张正方形纸片如图、对折两次后，再如图伞挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是（ )例4图A B C D题型五 探索规律题例5：如图，认真观察下列图形，从轴对称的角度去分析这些图形所蕴含的内在规律，并在空白处设计一个恰当的图形题型六 开放型问题例6：如图是由三个小正方形组成的体验.请你在图中上分别补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形. 题型七 探究

4、性问题例7：数的运算中有一些又去的对称式，如12231=13221，请你仿照这个等式填空： 462= 【误区警示】误点1 不能正确识别轴对称图形，导致错误例1：如图，下列四个汽车标志图案中，是轴对称图案的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个误点2 不能正确找出轴对称图形的对称轴，导致出现错误例2：下列美丽的图案中，对称轴最多的是（ ） 2.2轴对称的性质【知识点梳理】一、线段垂直平分线的概念 垂直并平分一条线段的直线，叫作这条直线的垂直平分线.例1：如图，直线MN垂直平分线段AB，垂足是O.如果AB=6cm，那么AO长为多少？MON的度数为多少？二、轴对称的性质成轴对称的两个图形中，

5、对应点的连线被对称轴垂直平分.例2:如图，两片树叶成轴对称，请你画出它们的对称轴.三、利用轴对称的性质作轴对称图形画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条直线的对称轴.往往按照下面的步骤.1.画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.2.画已知线段关于某条直线的对称线段，或画已知三角形（四边形）关于某条直线对称的三角形（四边形），关键在于画出已知线段的各端点或已知三角形（四边形）的各顶点关于这条直线的对称点.例3：如图是四边形ABCD和直线l，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形ABCD【典例展示厅】题型一 求轴对称图形中的角度例1：如图，在ABC中，ACB=90，

6、沿CD折叠CBD，使点B恰好落在边AC上的点E上，若A=22，则BDC的度数为（ ） A.44 B.60 C.67 D.77题型二 根据轴对称的性质解题例2：如图，正方形纸片ABCD的边长为a8，将其沿EF折叠，则图中、四个三角形的周长之和为 题型三 画出轴对称图形的对称轴例3：如图是两个轴对称图形，画出它们的对称轴。题型四 补全轴对称图形例4：如图，画出以直线MN为对称轴的轴对称图形题型五 游戏中的操作题例5：如图是一个跳棋棋盘示意图，其中格点上的黑色点位棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，

7、欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（） A2步 B3步 C4步 D5步题型六 生活中的应用问题例6：如图，四边形CDEF是一个长方形台球桌面的示意图，白、黑两球分别位于点A、B处，试问怎样撞击白球A，可以使白球A先碰到桌边DE，再反弹击中黑球B？题型七 最优化问题例8：如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，P为AD上任意一点，试探索AB-AC-CP的大小关系【误区警示】误点1 不能灵活运用轴对称的性质，导致出现错误例1：如图a是一张长方形纸带，DEF=20，将纸带沿EF折叠（如图b），再沿BF折叠（如图c）则图中CFE的度数是 误点2 画图漏解，导致出现错误例2

8、：如图，在33的正方形网格中，已有两个小正方形被涂色，再将图中其余的任意一个小正方形涂色，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种2.3线段、角的轴对称性【知识点梳理】一、线段垂直平分线的性质1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴2、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等3、到线段两端距离相等的点在这条线段AB的垂直平分线上例1：（1）如图，点P在线段AB的垂直平分线上，若PA=4cm，则PB的长为多少？A（2）如图，线段AB的两侧分别有C、D两点，且满足AC=BC，AD=BD，则直线CD是线段AB的 二、角平分线的性质1、角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴2、角平分线

9、上的点到角两边距离相等3、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上例2：如图，在RtABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为 三、线段的垂直平分线的画法1、用尺规画此线段的垂直平分线的方法：（1）分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；（2）过点C、D；两点作直线.直线CD就是线段AB的垂直平分线.如图2.4.1所示.2、利用网格线画线段的垂直平分线：现在网格上找出两点，使它们到线段两端的距离相等，再过这两点作直线3、折叠法画线段的垂直平分线：先对折，再沿折痕画直线，即可得到其对称轴，也就是垂直平分线.例3：已知，如图AB

10、C：求作ABC的中线CD【典例展示】题型一 利用线段垂直平分线、角平分线的性质求值例1：如图，在ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线与AC相交于点D，则ABD的周长为 cm例2：如图，ABC的外角ACD的平分线CE与内角ABC的平分线BE交于点E，若BAC=70，则CAE= 题型二 作图题例3：如图，两条直线AB、CD相交于点O，AOD的内部有点M和N，先要找一点P，使点P到AB、CD的距离相等，且PM=PN，用尺规作出这个点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）题型三 生活中的应用问题例4：如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（

11、）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型四 推力说明题例5：如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，BE=CF.求证：AD是ABC的角平分线.题型五 探究性问题例6:如图，在ABC中，C=90，AB=13,AC=5,BC=12.O为ABC与CAB的平分线的交点，求点O到AB的距离.题型六 拓展开放型问题例7：如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，E、F为垂足，连接EF交AD于点G，试判断AD与EF的位置关系，并说明理由.【误区警示】误点1 不能正确掌握线段垂直平分线的性质，导致出现错误例1：如图，在ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直

12、平方线，BCF的周长为14，BC=6，则AB的长为 误点2 不能正确掌握角平方线的性质，导致出现错误例2：如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B.下列结论中，不一定成立的是（ ）APA=PB BPO平分APB COA=OB DAB垂直平分OP2.5等腰三角形的轴对称性【知识点梳理】一、等腰三角形的对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线都是它的对称轴.例1：下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形二、等腰三角形的性质1、等要三角形的两底角相等（等边对等角）2

13、、等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（三线合一）例2：（1）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为D，若BC=5.则CD的长为 （2）如图，ACBD相交于嗲你O，ABDC，AB=BC，D=40，ACB=35，则AOD的度数为 三、等腰三角形的判定方法1、有两条边相等的三角形是等腰三角形2、有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）例3：在ABC中，BAC=36，ABC=72，BD平分ABC。试说明图中哪些是等腰三角形，并加以证明。四、等边三角形的概念和性质1、三边相等的三角形是等边三角形或正三角形2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴3、等边三角形的各内角等于60例4

14、：如图，一张等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形，则+的度数是（ ） A.180 B.220 C.240 D.300 五、等边三角形的判定1、三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形2、三个角都相等的三角形是等边三角形3、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形例5：如图，P为AOB内一点，AOB=30，点P关于OA、OB的对称点分别为点M、N，则MON一定是什么三角形？并证明你的结论。六、直角三角形斜边上中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例6：在ABC中，ACB=90，D为边AB上的中点，如果CD=3cm，那么AB长为多少？【典例展示】题型一 等腰（边）三角形性质的应用例1：

15、如图，ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE，求证：AEBC例2：如图，在ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，E是AC上一点，且AD=AE，DE的延长线叫BC于点F，求证：DFBC题型二 等腰三角形判定的应用例3：如图，点E、F在BC上，BE=CF，A=D,B=C,AF与DE交于点O，是判断OEF的形状，并说明理由题型三 等腰（等边）三角形性质和判定的应用例4：如图，D为等腰直角三角形ABC内一点，CAD=CBD=15，E为AD延长线上的一点，且CE=CA（1）求证：DE平分BDC (2)若点M在DE上，且DC=DM，

16、求:ME=BD题型四 计算求值题例5：如图，在ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（点E在BC上，点F在AC上）折叠，点C于点O恰好重合，则OEC的度数是多少？例6：如图，在ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，求CDE的周长.题型五 生活中的数学例7：如图，在三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D处挂一个重锤自然下垂，调整架身，使点A恰好在锤线上：（1）求证：ADBC；（2）这时BC处于水平位置，为什么？题型六 阅读理解题例8：在面是数学课上的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题在学

17、习了等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30，请你求出其余两角”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30和120”；王华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）题型七 操作说明题例9：（1）操作发现：（1）如图，D是等边三角形ABC上一动点（点D不与B重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现点短AF与BD之间的数量关系吗?并证明你的结论.（2）类比猜想：如图，

18、当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：如图，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF，连接AF、BF，探究AF、BF与AB有何数量关系？并证明你探究的结论如图，当动点D在等边边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同，中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论题型八 开放性问题例10：如图，再一次数学课上，王老师在黑板上画出图形，并写出下列四个等式：AB=DC；BE=CE；，B=C，BAE=CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）【误区警示】误点1 不能正确识别图中的等腰三角形，导致错误例1：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形一共有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个误点2 不能正确把握等腰三角形的性质，导致出现错误例2：如图，AB=AC，BD=BC,若A=40，则ABD的度数为（ ）A.20 B.30 C.35 D.40