苏科版八年级数学上册轴对称图形.docx
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苏科版八年级数学上册轴对称图形
§2.1轴对称与轴对称图形
【知识点总结】
一、轴对称的概念
把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
例1：
如图，观察下面的图形，它们有什么共同特点？
二、轴对称图形
把一个图形沿着有一条直线折叠，如果直线两旁部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
例2：
下列表情图中，属于轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
三、轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：
轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的对称性.
联系：
（1）在这两个概念中，都有一条直线，都是沿着这条直线折叠后能够重合；
（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么两部分图形就成轴对称.
如图就是一个轴对称图形，也可以看成是直线AB两侧的图形关于直线AB成轴对称.
例3：
如图，在长方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，适用折叠的方法判断.
（1）图中哪几对三角形成轴对称？
画出它们的对称轴.
（2）图中哪几对三角形是轴对称图形？
画出它们的对称轴.
【典例展示厅】
题型一识别轴对称图形
例1:
下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
题型二确定对称轴的条数
例2：
如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）
A.1条B.2条C.4条D.8条
题型三生活中的对称
例3:
小亮在镜子中看到身后墙上的时钟如图所示，你认为实际时间最接近8：
00的是（）
A．
B．
C．
D．
题型四实践操作题
例4：
把一张正方形纸片如图①、②对折两次后，再如图伞挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是（）
例4图
A．
B．
C．
D．
题型五探索规律题
例5：
如图，认真观察下列图形，从轴对称的角度去分析这些图形所蕴含的内在规律，并在空白处设计一个恰当的图形
题型六开放型问题
例6：
如图①是由三个小正方形组成的体验.请你在图中②～⑤上分别补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.
①②③④⑤
题型七探究性问题
例7：
数的运算中有一些又去的对称式，如12×231=132×21，请你仿照这个等式填空：
×462=×
【误区警示】
误点1不能正确识别轴对称图形，导致错误
例1：
如图，下列四个汽车标志图案中，是轴对称图案的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
误点2不能正确找出轴对称图形的对称轴，导致出现错误
例2：
下列美丽的图案中，对称轴最多的是（）
§2.2轴对称的性质
【知识点梳理】
一、线段垂直平分线的概念
垂直并平分一条线段的直线，叫作这条直线的垂直平分线.
例1：
如图，直线MN垂直平分线段AB，垂足是O.如果AB=6cm，那么AO长为多少？
∠MON的度数为多少？
二、轴对称的性质
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
例2:
如图，两片树叶成轴对称，请你画出它们的对称轴.
三、利用轴对称的性质作轴对称图形
画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条直线的对称轴.往往按照下面的步骤.
1.
画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.
2.画已知线段关于某条直线的对称线段，或画已知三角形（四边形）关于某条直线对称的三角形（四边形），关键在于画出已知线段的各端点或已知三角形（四边形）的各顶点关于这条直线的对称点.
例3：
如图①是四边形ABCD和直线l，画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A′B′C′D′
【典例展示厅】
题型一求轴对称图形中的角度
例1：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上的点E上，若∠A=22°，则∠BDC的度数为（）
A.44°B.60°C.67°D.77°
题型二根据轴对称的性质解题
例2：
如图，正方形纸片ABCD的边长为a8，将其沿EF折叠，则图中①、②、③、④四个三角形的周长之和为
题型三画出轴对称图形的对称轴
例3：
如图是两个轴对称图形，画出它们的对称轴。
题型四补全轴对称图形
例4：
如图，画出以直线MN为对称轴的轴对称图形
题型五游戏中的操作题
例5：
如图是一个跳棋棋盘示意图，其中格点上的黑色点位棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：
把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）
A．2步B．3步C．4步D．5步
题型六生活中的应用问题
例6：
如图，四边形CDEF是一个长方形台球桌面的示意图，白、黑两球分别位于点A、B处，试问怎样撞击白球A，可以使白球A先碰到桌边DE，再反弹击中黑球B？
题型七最优化问题
例8：
如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，P为AD上任意一点，试探索AB-AC-CP的大小关系
【误区警示】
误点1不能灵活运用轴对称的性质，导致出现错误
例1：
如图a是一张长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠（如图b），再沿BF折叠（如图c）则图中∠CFE的度数是
误点2画图漏解，导致出现错误
例2：
如图①，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂色，再将图中其余的任意一个小正方形涂色，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种．
§2.3线段、角的轴对称性
【知识点梳理】
一、线段垂直平分线的性质
1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴
2、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3、到线段两端距离相等的点在这条线段AB的垂直平分线上
例1：
（1）如图①，点P在线段AB的垂直平分线
上，若PA=4cm，则PB的长为多少？
A
（2）如图②，线段AB的两侧分别有C、D两点，且满足AC=BC，AD=BD，则直线CD是线段AB的
二、角平分线的性质
1、角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴
2、角平分线上的点到角两边距离相等
3、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
例2：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为
三、线段的垂直平分线的画法
1、用尺规画此线段的垂直平分线的方法：
（1）分别以点A、B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；
（2）过点C、D；两点作直线.直线CD就是线段AB的垂直平分线.如图2.4.1所示.
2、利用网格线画线段的垂直平分线：
现在网格上找出两点，使它们到线段两端的距离相等，再过这两点作直线
3、折叠法画线段的垂直平分线：
先对折，再沿折痕画直线，即可得到其对称轴，也就是垂直平分线.
例3：
已知，如图△ABC：
求作△ABC的中线CD
【典例展示】
题型一利用线段垂直平分线、角平分线的性质求值
例1：
如图，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线
与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm
例2：
如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=
题型二作图题
例3：
如图，两条直线AB、CD相交于点O，∠AOD的内部有点M和N，先要找一点P，使点P到AB、CD的距离相等，且PM=PN，用尺规作出这个点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）
题型三生活中的应用问题
例4：
如图，直线
表示三条相互交叉的公路，现要建加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.1个B.2个C.3个D.4个
题型四推力说明题
例5：
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.求证：
AD是△ABC的角平分线.
题型五探究性问题
例6:
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5,BC=12.O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点，求点O到AB的距离.
题型六拓展开放型问题
例7：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于点G，试判断AD与EF的位置关系，并说明理由.
【误区警示】
误点1不能正确掌握线段垂直平分线的性质，导致出现错误
例1：
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平方线，△BCF的周长为14，BC=6，则AB的长为
误点2不能正确掌握角平方线的性质，导致出现错误
例2：
如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B.下列结论中，不一定成立的是
（）
A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP
§2.5等腰三角形的轴对称性
【知识点梳理】
一、等腰三角形的对称性
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线都是它的对称轴.
例1：
下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）
A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.直角三角形
二、等腰三角形的性质
1、等要三角形的两底角相等（等边对等角）
2、等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（三线合一）
例2：
（1）如图①，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=5.则CD的长为
（2）如图②，ACBD相交于嗲你O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB=35°，则∠AOD的度数为
三、等腰三角形的判定方法
1、有两条边相等的三角形是等腰三角形
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
例3：
在△ABC中，∠BAC=36°，∠ABC=72°，BD平分∠ABC。
试说明图中哪些是等腰三角形，并加以证明。
四、等边三角形的概念和性质
1、三边相等的三角形是等边三角形或正三角形
2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
3、等边三角形的各内角等于60°
例4：
如图，一张等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形，则∠α+∠β的度数是（）
A.180°B.220°C.240°D.300°
五、等边三角形的判定
1、三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形
2、三个角都相等的三角形是等边三角形
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例5：
如图，P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，点P关于OA、OB的对称点分别为点M、N，则△MON一定是什么三角形？
并证明你的结论。
六、直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例6：
在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB上的中点，如果CD=3cm，那么AB长为多少？
【典例展示】
题型一等腰（边）三角形性质的应用
例1：
如图，△ABC是等边三角形，D是边AB上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE，求证：
AE∥BC
例2：
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，E是AC上一点，且AD=AE，DE的延长线叫BC于点F，求证：
DF⊥BC
题型二等腰三角形判定的应用
例3：
如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O，是判断△OEF的形状，并说明理由
题型三等腰（等边）三角形性质和判定的应用
例4：
如图，D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA
（1）求证：
DE平分∠BDC
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求:
ME=BD
题型四计算求值题
例5：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（点E在BC上，点F在AC上）折叠，点C于点O恰好重合，则∠OEC的度数是多少？
例6：
如图，在△ABC中，，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，求△CDE的周长.
题型五生活中的数学
例7：
如图，在三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D处挂一个重锤自然下垂，调整架身，，使点A恰好在锤线上：
（1）求证：
AD⊥BC；
（2）这时BC处于水平位置，为什么？
题型六阅读理解题
例8：
在面是数学课上的一个学习片段，阅读后，请回答下面的问题
在学习了等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：
“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：
“其余两角是30°和120°”；王华同学说：
“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？
（用一句话表示）
题型七操作说明题
例9：
（1）操作发现：
（1）如图①，D是等边三角形ABC上一动点（点D不与B重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现点短AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你的结论.
（2）类比猜想：
如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与
（1）相同，猜想AF与BD在
（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？
并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？
若不成立，是否有新的结论？
并证明你得出的结论．
题型八开放性问题
例10：
如图，再一次数学课上，王老师在黑板上画出图形，并写出下列四个等式：
①AB=DC；②BE=CE；，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
【误区警示】
误点1不能正确识别图中的等腰三角形，导致错误
例1：
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形一共有（）
A.5个B.4个C.3个D.2个
误点2不能正确把握等腰三角形的性质，导致出现错误
例2：
如图，AB=AC，BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD的度数为（）
A.20°B.30°C.35°D.40°
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