直线与平面平面与平面平行的判定附答案.docx

1、直线与平面平面与平面平行的判定附答案直线与平面、平面与平面平行的判定学习目标1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义 2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、 平面与平面平行的判定定理， 并知道其地位和作用。3能运用直线与平面平行的判定定理、 平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题厂知识梳理 自主学习知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述付号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平a？ b？ a / b卜？ a / 打行，则该直线与此平面平行J思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗? 答根据直线与平面平行的

2、判定定理可知该结论错误知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述付号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a？ ， b? a b= A F？ / a / b / 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行, 那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内h题型探究 重点発破题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1 如图，空间四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：（I)EH /平面BCD ；(2)BD /平面 EFGH .证明 I EH ABD的中位线， EH / BD. EH？平面 BCD ,

3、 BD?平面 BCD ， EH / 平面 BCD。（2） I BD / EH , BD?平面 EFGH ,EH?平面 EFGH , BD / 平面 EFGH 。跟踪训练1 在四面体 A BCD中,M， N分别是 ABD和厶BCD的重心，求证： MN /平面 ADC。证明 如图所示，连接 BM , BN并延长，分别交 AD， DC于P， Q两 点,连接PQ.因为 M , N分别是 ABD和厶BCD的重心，所以 BM ： MP= BN ： NQ = 2 : 1。所以 MN / PQ.又因为 MN？平面 ADC ， PQ？平面ADC , 所以MN /平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用 例2如图

4、所示，在三棱柱 ABC AiBiCi中，点D ， E分别是BC与BQi的中点求证:平面 AiEB /平面 ADCi。证明由棱柱性质知，BiCi / BC, BiCi = BC，又D , E分别为BC, BiCi的中点,所以CiE綊DB，则四边形 CiDBE为平行四边形，因此 EB/ CiD，又CiD？平面ADCi,EB？平面 ADCi，所以EB/平面ADCi。连接DE,同理，EBi綊BD ，所以四边形EDBBi为平行四边形,则 ED綊BiB。因为BiB/ AiA， BiB = AiA（棱柱的性质)， 所以ED綊AiA,则四边形EDAAi为平行四边形，所以 AiE/ AD ，又 AiE？平面 A

5、DCi, AD？平面 ADCi，所以AiE/平面ADCi。由 AiE /平面 ADCi， EB /平面 ADCi，AiE?平面 AiEB, EB?平面 AiEB,且AiE EB = E，所以平面 AiEB /平面ADCi.FC 2又 BC = 3 ，且 FCB = GBiH = 90 BiHGCBF ，a BiGH = CFB = FBG , A HG / FB.又由（i）知，AiG/ BE ，且 HG AiG= G , FB BE = B，A 平面 AiGH / 平面 BEDiF。题型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3 在正方体 ABCD AiBiCiDi中,O为底面ABCD的中心,

6、P是DDi的中点，设 Q是CCi上的点.问：当点Q在什么位置时，平面 DiBQ /平面PAO?请说明理由。解 当Q为CCi的中点时，平面 DiBQ /平面PAO。理由如下： 连接PQ. Q为CCi的中点，P为DDi的中点， PQ / DC / AB， PQ = DC = AB，四边形ABQP是平行四边形, QB / PA.又 TO 为 DB 的中点, DiB / PO.又 PO FA = P， DB QB= B，平面DiBQ /平面PAO。跟踪训练3如图,三棱柱 ABC AiBiCi的底面为正三角形，侧棱 AiA丄底面ABC， E， F 分别是棱 CCi, BBi上的点，EC= 2FB.M是线

7、段 AC上的动点，当点 M在何位置时，BM / 平面AEF ?请说明理由.PB.解 当M为AC中点时,BM /平面AEF.理由如下： 方法一 如图i ,取AE的中点0,连接OF， OM。 TO, M分别是AE， AC的中点，i0M / EC, OM = 2EC.又 T BF / CE, EC= 2FB， 0M / BF, OM = BF，四边形OMBF为平行四边形， BM / OF。又 T OF？面 AEF, BM?面 AEF ， BM / 平面 AEF。方法二如图2，取EC的中点P，连接PM ,T PM是厶ACE的中位线, PM / AE。 。 EC = 2FB = 2PE, CC/ BBi

8、, PE = BF, PE/ BF， 四边形BPEF是平行四边形， PB / EF。又 PM？平面 AEF ， PB?平面 AEF , PM / 平面 AEF , PB/ 平面 AEF.又 PM PB = P， 平面 PBM /平面 AEF。又 BM？面 PBM ， BM /平面 AEF.例4 已知在正方体 ABCD A B C D中，M , N分别是A D， A B 的中点,在 该正方体中是否存在过顶点且与平面 AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析 根据题意画出正方体，根据平面 AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线,然后作出判断

9、，并证明 。解 如图，与平面 AMN平行的平面有以下三种情况: 下面以图为例进行证明。如图,取B C的中点E,连接BD， BE, DE， ME , B D 可知四边形ABEM是平行四边形，所以 BE / AM .又因为 BE?平面BDE , AM？平面BDE,所以AM /平面BDE.因为MN是厶A B D 的中位线，所以 MN / B D。因为四边形BDD B 是平行四边形，所以 BD / B D 。所以 MN / BD。又因为 BD？平面BDE ， MN？平面BDE ,所以MN /平面BDE.又因为 AM?平面AMN ， MN?平面AMN ，且AM MN = M ,所以由平面与平面平行的判定

10、定理可得，平面 AMN /平面BDE.FP当堂检测自查自纠1。过直线I外两点，作与I平行的平面,则这样的平面 （ ）A.不可能作出B。只能作出一个C。能作出无数个D. 上述三种情况都存在2经过平面外两点，作与平行的平面,则这样的平面可以作 （ )A.1个或2个B。0个或1个C.1个D.0个3。若线段AB, BC， CD不共面， 平面MNP的位置关系是（ ）M， N, P分别为线段AB， BC, CD的中点，则直线 BD与A.平行B.直线在平面内C.相交D。以上均有可能4.在正方体EFGH EiFiGiHi中，下列四对截面彼此平行的一对是 （ )A。平面E1FG1与平面EGHIB。平面FHG 1

11、与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE 1D.平面E1HG1与平面 EH1G5梯形ABCD中,AB / CD ， AB？平面， CD？平面，则直线CD与平面的位置关系是歹课时精练一、选择题1.下列说法正确的是（ ）1若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；2若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行；3若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行；4若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行A. B. C. D。2.平面与平面平行的条件可以是（ ）A.内有无穷多条直线与 平行B.直线a / a，a / ，且直线a

12、不在与内C.直线 a？ a,直线 b? 且 b/ a, a / D.a内的任何直线都与 平行3六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有 （ ）4如果直线a平行于平面那么下列命题正确的是 （ ）A.平面内有且只有一条直线与 a平行 B.平面内有无数条直线与 a平行C.平面内不存在与a平行的直线 D.平面内的任意直线与直线 a都平行5.在空间四边形 ABCD中，E, F分别为AB， AD上的点,且 AE : EB = AF : FD = 1 : 4，又H ， G分别为BC, CD的中点，贝U （ )A.BD /平面EFG ，且四边形EFGH是平行四边形B.EF /平面BCD ，且四边形 EFGH是梯形

13、C.HG /平面ABD ,且四边形 EFGH是平行四边形D.EH /平面ADC ,且四边形 EFGH是梯形6. 平面内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与的位置关系为（ ）A。平行 B。相交 C.平行或相交 D。可能重合7.已知直线I， m，平面, 下列命题正确的是（ )A。 l / ， I？ O？ / B. I / ， m/ , I? , m? ? / C.l / m , I? , m? ? / D.l / m/ I? , m? , I m= M？ / 二、填空题8.三棱锥 SABC中，G ABC的重心，E在棱SA上，且 AE = 2ES ,贝U EG与平面 SBC的关系为 .9

14、.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,BM /平面 DE ：。“/平面 AF；平面 BDM /平面 AFN ；平面BDE /平面 NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是 。10. 右图是一几何体的平面展开图, 其中四边形ABCD为正方形，E ,F ， G , H分别为PA ， PD , PC ， PB的中点，在此几何体中，给出 下面五个结论：平面 EFGH /平面 ABCD ； PA/平面 BDG ；EF /平面 PBC； FH /平面 BDG ;5EF /平面BDG ;其中正确结论的序号是 。三、解答题11.如图,在已知四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， 点M ， N

15、， Q分别在PA,BD,PD 上，且 PM ： MA = BN : ND = PQ ： QD.求证：平面 MNQ /平面 PBC.12.如图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中， M是棱AB的中点,点N在侧面AAiDiD上运动， 点N满足什么条件时，MN /平面BBiDiD?Cl当堂检测答案1答案D解析设直线外两点为 A、B ，若直线AB / I ,则过A、B可作无数个平面与I平行；若直线AB与I异面，则只能作一个平面与I平行;若直线 AB与I相交，则过 A、B没有平面与平行2答案B解析当经过两点的直线与平面平行时，可作出一个平面使 / 当经过两点的直线与平面 相交时，由于作出的平面又

16、至少有个公共点，故经过两点的平面都与平面相交，不能作出与平面 平行的平面故满足条件的平面有 O个或1个3答案 A解析 连接NP,因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点,AB、BC、CD不共面，所以直线 BD不在平面 MNP上直线BD与平面MNP平行4答案 A解析如图， EG / EiGi，EG？平面 EFG,E1G1?平面 E1FGi, EG / 平面 E1FG1，又 G1F / H1E,同理可证H1E /平面E1FG1,又 H1E EG= E，平面 E1FG1/ 平面 EGH1。5答案 CD / 解析 因为AB / CD ， AB?平面， CD?平面，由线面平行的判定定理可得 CD

17、 / 课时精练答案一、选择题1答案 D解析 如图,长方体 ABCD - A1B1C1D1中，在平面 ABCD内，在AB上任取一点E ，过点E作EF / AD,交CD于点F ,则由线面平行的判 定定理，知EF ， BC都平行于平面 ADD 1A1 ,用同样的方法可以在平面 ABCD内作出无数条直线都与平面 ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADDiAi不平行，因此 都错；正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,所以这两个平面必无公共点 （要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；是平面与平面平行的判定定理，正确 2答案 D解析 对于A项，当与相交时，内也有无数条直

18、线都与交线平行， 故A错误；对于B项，当a平行于与的交线时，也能满足，但此时 与相交，故B错误；对于C项，当a和b都与与的交线平行时,也能满足，但此时与相交，故C错误；对于D项， 内的任何直线都与 平行,故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面， 故D正确.3答案 C解析 侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行4。答案 B解析 如图,直线 BiCi /平面 ABCD , BiCi/ BC， BQi/ AD ， BiCl/ EF(E， F 为中点）等，平面ABCD内平行于BC的所有直线均与 BiCi平行但AB与BiCi不平行5答案 B解析 易证EF /平面BCD i 由 AE :

19、EB = AF : FD ,知 EF / BD ,且 EF =BD5又因为H , G分别为BC, CD的中点，所以 HG / BD ，且 HG = 2bD.综上可知,EF / HG , EF HG ，所以四边形EFGH是梯形，且EF /平面BCD。6答案 C解析 若三点分布于平面 的同侧,则与平行，若三点分布于平面 的两侧，则与相交7答案 D解析 如图所示，在长方体 ABCDAIBiCiDi中，AB / CD , 则AB /平面 DCi， AB?平面AC，但是平面AC与平面DCi不平行，所以A错误；取BBi的中点E, CCi的中点F ,则可证EF /平面AC,BiCi /平面AC。EF？平面B

20、C, BQi？平面BCi，但是平面 AC与平面BCi不平行，所以 B 错误；可证AD / BiCi， AD？平面AC， BiCi？平面BCi ，又平面AC与平面BCi不平行，所 以C错误；很明显 D是面面平行的判定定理，所以 D正确.、填空题8答案平行解析 如图，延长 AG交BC于F ，连接SF,则由G ABC的重心知AG : GF = 2,又 AE : ES= 2, EG / SF，又 SF?平面 SBC， EG?平面SBC, EG / 平面 SBC。9答案解析 以ABCD为下底面还原正方体，如图:则易判定四个命题都是正确的 i。答案解析 把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定

21、定理判断即可三、解答题ii证明 因为 PM ： MA = BN : ND = PQ ： QD ，所以 MQ / AD, NQ / BP。因为BP？平面PBC， NQ?平面PBC,所以NQ/平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以 BC / AD ,所以 MQ / BC。因为BC?平面PBC, MQ?平面PBC，所以MQ /平面PBC.又因为MQ NQ = Q,所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面 MNQ /平面PBC.i2.解 如图，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，分别取棱AiBi， AiDi,AD 的中点 E, F， G，连接 ME ， EF， FG ， GM。因为M是

22、AB的中点，所以 ME / AAi / FG ,且 ME = AAi= FG。所以四边形MEFG是平行四边形.因为 ME / BB, BB？平面 BBiDiD, ME？平面 BBiDiD,所以ME /平面BBiDiD。在厶 AiBiDi 中，因为 EF / BiDi, BiDi?平面 BBiDiD , EF?平面 BBiDiD,所以 EF/ 平面 BBiDiD.又因为 ME EF = E,且 ME?平面 MEFG ， EF?平面 MEFG ,所以平面 MEFG/ 平面 BBiDiD。在FG上任取一点 N,连接 MN ，所以 MN？ 平面 MEFG 。所以 MN 与平面 BBiDiD 无公共点 .所以MN /平面BBiDiD。总之，当点 N 在平面 AAiDiD 内的直线 FG 上(任意位置 ）时，都有 MN/ BBiDiD，即当点N在矩形AAiDiD中过AiDi与AD的中点的直线上运动时， 都有MN /平面BBQiD.