直线与平面平面与平面平行的判定附答案.docx
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直线与平面平面与平面平行的判定附答案
直线与平面、平面与平面平行的判定
［学习目标］1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义2会用图形语言、文
字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和
作用。
3•能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关
系的简单问题•
厂知识梳理自主学习
知识点一直线与平面平行的判定定理
语言叙述
付号表示
图形表示
平面外一条直线与此平面内的一条直线平
a？
αb？
αa//b
卜？
a/α
打
行，则该直线与此平面平行
∕ΣJ
思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗?
答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误
知识点二平面与平面平行的判定定理
语言叙述
付号表示
图形表示
一个平面内的两条相交直线与另一个平
面平行，则这两个平面平行
a？
α，b?
α
a∩b=AF？
α∕/β
—'
a/βb//ββ
思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面也平行吗？
答不一定•这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内
h题型探究重点発破
题型一直线与平面平行的判定定理的应用
例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、
DA的中点•
求证：
（I）EH//平面BCD；
（2）BD//平面EFGH.
证明⑴IEHABD的中位线，
∙∙∙EH//BD.
∙∙∙EH？
平面BCD,BD?
平面BCD，
∙∙∙EH//平面BCD。
（2）IBD//EH,BD?
平面EFGH,
EH?
平面EFGH,
∙BD//平面EFGH。
跟踪训练1在四面体A—BCD中,M，N分别是△ABD和厶BCD的重心，求证：
MN//平
面ADC。
证明如图所示，连接BM,BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点,连接PQ.
因为M,N分别是△ABD和厶BCD的重心，
所以BM：
MP=BN：
NQ=2:
1。
所以MN//PQ.
又因为MN？
平面ADC，PQ？
平面ADC,所以MN//平面ADC.
题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABC—AiBiCi中，点D，E分别是BC与BQi的中点•求证:
平
面AiEB//平面ADCi。
证明由棱柱性质知，
BiCi/BC,BiCi=BC，
又D,E分别为BC,BiCi的中点,
所以CiE綊DB，则四边形CiDBE为平行四边形，
因此EB//CiD，
又CiD？
平面ADCi,
EB？
平面ADCi，
所以EB//平面ADCi。
连接DE,同理，EBi綊BD，
所以四边形EDBBi为平行四边形,则ED綊BiB。
因为BiB//AiA，BiB=AiA（棱柱的性质），所以ED綊AiA,则四边形EDAAi为平行四边形，
所以AiE//AD，又AiE？
平面ADCi,AD？
平面ADCi，
所以AiE/平面ADCi。
由AiE//平面ADCi，EB//平面ADCi，
AiE?
平面AiEB,EB?
平面AiEB,
且AiE∩EB=E，所以平面AiEB//平面ADCi.
FC2
又BC=3，且∠FCB=∠GBiH=90°
•••△BiHGCBF，
a∠BiGH=∠CFB=∠FBG,AHG//FB.
又由（i）知，AiG/BE，且HG∩AiG=G,FB∩BE=B，
A平面AiGH//平面BEDiF。
题型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用
例3在正方体ABCD—AiBiCiDi中,O为底面ABCD的中心,P是DDi的中点，设Q是
CCi上的点.问：
当点Q在什么位置时，平面DiBQ/平面PAO?
请说明理由。
解当Q为CCi的中点时，平面DiBQ//平面PAO。
理由如下：
连接PQ.∙∙∙Q为CCi的中点，P为DDi的中点，∙∙∙PQ//DC//AB，PQ=DC=AB，
∙四边形ABQP是平行四边形,∙QB//PA.
又TO为DB的中点,∙∙∙DiB//PO.
又•••PO∩FA=P，DιB∩QB=B，
∙平面DiBQ//平面PAO。
跟踪训练3如图,三棱柱ABC—AiBiCi的底面为正三角形，侧棱AiA丄底面ABC，E，F分别是棱CCi,BBi上的点，EC=2FB.M是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM//平面AEF?
请说明理由.
PB.
解当M为AC中点时,BM//平面AEF.理由如下：
方法一如图i,取AE的中点0,连接OF，OM。
TO,M分别是AE，AC的中点，
i
∙∙∙0M//EC,OM=2EC.
又TBF//CE,EC=2FB，∙0M//BF,OM=BF，
∙四边形OMBF为平行四边形，∙BM//OF。
又TOF？
面AEF,BM?
面AEF，
∙BM//平面AEF。
方法二如图2，取EC的中点P，连接PM,
TPM是厶ACE的中位线,
∙PM//AE。
∙。
∙EC=2FB=2PE,CC//BBi,∕∙PE=BF,PE//BF，•••四边形BPEF是平行四边形，∙∙∙PB//EF。
又∙∙∙PM？
平面AEF，PB?
平面AEF,
•PM//平面AEF,PB//平面AEF.
又∙∙∙PM∩PB=P，•平面PBM//平面AEF。
又∙∙∙BM？
面PBM，∙BM//平面AEF.
例4已知在正方体ABCD—A'B’C'D’中，M,N分别是A'D’，A’B'的中点,在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？
若存在，试作出该平面，并证明你
的结论；若不存在，请说明理由.
分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平
面的直线,然后作出判断，并证明。
解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况:
①②③
下面以图①为例进行证明。
如图①,取B'C’的中点E,连接BD，BE,DE，ME,B’D’可知四边形ABEM是平行四边形，
所以BE//AM.
又因为BE?
平面BDE,AM？
平面BDE,
所以AM//平面BDE.
因为MN是厶A'B’D'的中位线，
所以MN//B'D'。
因为四边形BDD’B'是平行四边形，
所以BD//B’D’。
所以MN//BD。
又因为BD？
平面BDE，MN？
平面BDE,
所以MN//平面BDE.
又因为AM?
平面AMN，MN?
平面AMN，且AM∩MN=M,
所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN//平面BDE.
FP当堂检测
自查自纠
1。
过直线I外两点，作与I平行的平面,则这样的平面（）
A.不可能作出
B。
只能作出一个
C。
能作出无数个
D.上述三种情况都存在
2•经过平面α外两点，作与α平行的平面,则这样的平面可以作（）
A.1个或2个
B。
0个或1个
C.1个
D.0个
3。
若线段AB,BC，CD不共面，平面MNP的位置关系是（）
M，N,P分别为线段AB，BC,CD的中点，则直线BD与
A.平行
B.直线在平面内
C.相交
D。
以上均有可能
4.在正方体EFGH—EiFiGiHi中，下列四对截面彼此平行的一对是（）
A。
平面E1FG1与平面EGHI
B。
平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
5•梯形ABCD中,AB//CD，AB？
平面α，CD？
平面α，则直线CD与平面α的位置关系是
歹课时精练
一、选择题
1.下列说法正确的是（）
1若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；
2若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行；
3若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行；
4若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
A.①③B.②④C.②③④D。
③④
2.平面α与平面β平行的条件可以是（）
A.α内有无穷多条直线与β平行
B.直线a/a，a//β，且直线a不在α与β内
C.直线a？
a,直线b?
β且b∕/a,a//β
D.a内的任何直线都与β平行
3•六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有（）
4•如果直线a平行于平面α那么下列命题正确的是（）
A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行
5.在空间四边形ABCD中，E,F分别为AB，AD上的点,且AE:
EB=AF:
FD=1:
4，又
H，G分别为BC,CD的中点，贝U（）
A.BD//平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
B.EF//平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG//平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH//平面ADC,且四边形EFGH是梯形
6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（）
A。
平行B。
相交C.平行或相交D。
可能重合
7.已知直线I，m，平面α,β下列命题正确的是（）
A。
l//β，I？
O？
α∕/βB.I//β，m//β,I?
α,m?
α?
α∕/β
C.l//m,I?
α,m?
β?
α∕/βD.l//βm/βI?
α,m?
α,I∩m=M？
α∕/β
二、填空题
8.三棱锥SABC中，GABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES,贝UEG与平面SBC的
关系为.
9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,
①BM//平面DE：
②。
“//平面AF；③平面BDM//平面AFN；④平面
BDE//平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是。
10.右图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形，E,
F，G,H分别为PA，PD,PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH//平面ABCD；②PA//平面BDG；
③EF//平面PBC；④FH//平面BDG;
5EF//平面BDG;
其中正确结论的序号是。
三、解答题
11.如图,在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA,
BD,PD上，且PM：
MA=BN:
ND=PQ：
QD.求证：
平面MNQ//平面PBC.
12.如图，在正四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，M是棱AB的中点,点N在侧面AAiDiD上运动，点N满足什么条件时，MN//平面BBiDiD?
Cl
当堂检测答案
1•答案
D
解析
设直线外两点为A、B，若直线AB//I,则过A、B可作无数个平面与
I平行；若直线
AB与
I异面，则只能作一个平面与
I平行;若直线AB与I相交，则过A、
B没有平面与
平行•
2•答案
B
解析
①当经过两点的直线与平面
α平行时，可作出一个平面
β使β∕/α
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有
个公共点，
故经过两点的
平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面•故满足条件的平面有O个或1个•
3•答案A
解析连接NP,因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点,AB、BC、CD不共
面，所以直线BD不在平面MNP上••••直线BD与平面MNP平行•
4•答案A
解析如图，∙∙∙EG//EiGi，
EG？
平面EιFGι,
E1G1?
平面E1FGi,
•EG//平面E1FG1，
又G1F//H1E,
同理可证H1E//平面E1FG1,
又H1E∩EG=E，
•平面E1FG1//平面EGH1。
5•答案CD//α
解析因为AB//CD，AB?
平面α，CD?
平面α，由线面平行的判定定理可得CD//α
课时精练答案
一、选择题
1•答案D
解析如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB
上任取一点E，过点E作EF//AD,交CD于点F,则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1,用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平
面ADDiAi不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行
于另一个平面,所以这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的
区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确•
2•答案D
解析对于A项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A错误；对于B
项，当a平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B错误；对于C项，
当a和b都与α与β的交线平行时,也能满足，但此时α与β相交，故C错误；对于D项，α内的任何直线都与β平行,故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D正确.
3•答案C
解析侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行
4。
答案B
解析如图,直线BiCi//平面ABCD,BiCi//BC，BQi//AD，BiCl//EF（E，F为中点）等，
平面ABCD内平行于BC的所有直线均与BiCi平行•但AB与BiCi不平行•
5•答案B
解析易证EF//平面BCD•
i由AE:
EB=AF:
FD,知EF//BD,且EF=—BD
5
又因为H,G分别为BC,CD的中点，
所以HG//BD，且HG=2bD.
综上可知,EF//HG,EF≠HG，
所以四边形EFGH是梯形，且EF//平面BCD。
6•答案C
解析若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β
相交•
7•答案D
解析如图所示，在长方体ABCDAIBiCiDi中，AB//CD,则AB//平面DCi，AB?
平面AC，
但是平面AC与平面DCi不平行，
所以A错误；取BBi的中点E,CCi的中点F,则可证EF//平面AC,
BiCi//平面AC。
EF？
平面BCι,BQi？
平面BCi，但是平面AC与平面BCi不平行，所以B错误；可证AD//BiCi，AD？
平面AC，BiCi？
平面BCi，又平面AC与平面BCi不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.
、填空题
8•答案平行
解析如图，延长AG交BC于F，连接SF,则由GABC的重心知
AG:
GF=2,又AE:
ES=2,∕∙EG//SF，又SF?
平面SBC，EG?
平面
SBC,
∙∙∙EG//平面SBC。
9•答案①②③④
解析以ABCD为下底面还原正方体，如图:
则易判定四个命题都是正确的•
iθ。
答案①②③④
解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可
三、解答题
ii∙证明因为PM：
MA=BN:
ND=PQ：
QD，
所以MQ//AD,NQ//BP。
因为BP？
平面PBC，NQ?
平面PBC,
所以NQ//平面PBC.
又因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC//AD,所以MQ//BC。
因为BC?
平面PBC,MQ?
平面PBC，
所以MQ//平面PBC.
又因为MQ∩NQ=Q,
所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ//平面PBC.
i2.解如图，在正四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，分别取棱AiBi，AiDi,
AD的中点E,F，G，连接ME，EF，FG，GM。
因为M是AB的中点，
所以ME//AAi/FG,且ME=AAi=FG。
所以四边形MEFG是平行四边形.
因为ME//BBι,BBι？
平面BBiDiD,ME？
平面BBiDiD,
所以ME//平面BBiDiD。
在厶AiBiDi中，因为EF//BiDi,BiDi?
平面BBiDiD,EF?
平面BBiDiD,
所以EF/平面BBiDiD.
又因为ME∩EF=E,且ME?
平面MEFG，EF?
平面MEFG,
所以平面MEFG/平面BBiDiD。
在FG上任取一点N,连接MN，
所以MN？
平面MEFG。
所以MN与平面BBiDiD无公共点.
所以MN//平面BBiDiD。
总之，当点N在平面AAiDiD内的直线FG上（任意位置）时，都有MN/BBiDiD，
即当点N在矩形AAiDiD中过AiDi与AD的中点的直线上运动时，都有MN//平面BBQiD.
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