届数学大题专项突破四高考中的立体几何文新人教A版.docx

1、届数学大题专项突破四高考中的立体几何文新人教A版高考大题专项练四高考中的立体几何1.(2017东北三省四市一模,文19)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1底面ABC.(1)证明:MN平面ABB1A1;(2)求三棱锥B1-ABC的高及体积.2.(2017湖北武汉五月调考,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB与PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.3.(2016吉林东北师大附中二模,文19)在三棱

2、柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1平面ABC,各棱长均为2,D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点.(1)求证:平面B1FG平面BDE;(2)求三棱锥B1-BDE的体积.4.(2017湖北武汉二月调考,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB平面BCC1B1,BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.5.(2017吉林三模,文19)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是直角梯形,其中ABAD,AB=BC=1,AD=2,AA1=.(1)求证:直线C1D平面

3、ACD1;(2)试求三棱锥A1-ACD1的体积.6.(2017山东,文18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.7.(2017黑龙江大庆三模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.8.(2017广

4、东、江西、福建十校联考,文19)如图,在空间几何体ADE-BCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD平面CDEF,ADDC, AB=AD=DE=2,EF=4,M是线段AE上的动点.(1)求证:AECD;(2)试确定点M的位置,使AC平面MDF,并说明理由;(3)在(2)的条件下,求空间几何体ADM-BCF的体积.导学号241909609.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角

5、的正弦值.导学号24190961高考大题专项练四高考中的立体几何1.(1)证明 取AC中点P,连接PN,PM(图略),在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,PNAB1,PMAA1,PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面PMN,AB1,AA1平面AB1A1,平面PMN平面AB1A1,MN平面PMN,MN平面ABB1A1.(2)解 设O为AB的中点,连接B1O(图略),由题意知B1BA是正三角形,B1OAB.又侧面ABB1A1底面ABC且交线为AB,B1O平面ABC,三棱锥B1-ABC的高B1O=AB=.SABC=22sin 60=,三棱锥B1-ABC的体积

6、V=SABCB1O=1.2.(1)证明 ABC=BAD=90,ADBC.BC=2AD,E是BC的中点,AD=CE.四边形ADCE是平行四边形,AECD,又AE平面PCD,CD平面PCD,AE平面PCD.(2)解 连接DE,BD(图略),设AEBD=O,则四边形ABED是正方形,O为BD的中点.PAB与PAD都是边长为2的等边三角形,BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,OPOB,OP=,OP2+OA2=PA2,即OPOA,又OA平面ABCD,BD平面ABCD,OABD=O,OP平面ABCD.VP-ABCD=S梯形ABCDOP=(2+4)2=2.3.(1)证明 连接DG,A1C.D,G分别是

7、AC,A1C1的中点,DG􀰿AA1􀰿BB1,四边形BB1GD是平行四边形,B1GBD.又B1G平面EBD,BD平面EBD,B1G平面EBD.D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点,GFA1C,A1CDE,GFED.又GF平面EBD,ED平面EBD,GF平面EBD.又B1GGF=G,B1G平面B1FG,GF平面B1FG,平面B1FG平面EBD.(2)解 过D作DHAB交AB于点H,AA1平面ABC,AA1平面A1ABB1,平面A1ABB1平面ABC.又平面A1ABB1平面ABC=AB,DHAB,DH平面ABC,DH平面A1ABB1.AB=B

8、C=AC=2,DA=1,BD=,DH=.DH=22.4.(1)证明 在平面四边形BCC1B1中,BC=CD=DC1=1,BCD=60,BD=1.B1D=,BB1=2,BDB1=90,B1DBD.AB平面BB1C1C,ABDB1,B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直,DB1平面ABD.(2)解 对于四面体A1-ADB1,A1到直线DB1的距离即A1到平面BB1C1C的距离,A1到B1D的距离为2,设A1到平面AB1D的距离为h,ADB1为直角三角形,ADDB1=,h=h,22=2,D到平面AA1B1的距离为,2,解得h=.点A1到平面ADB1的距离为.5.(1)证明 在梯形ABCD内

9、过点C作CEAD交AD于点E,由底面四边形ABCD是直角梯形,ABAD,又AB=BC=1,易知AE=ED=1,且AC=CD=,AC2+CD2=AD2,所以ACCD.又根据题意知CC1平面ABCD,从而CC1AC,而CC1CD=C,故ACC1D.CD=AC=AA1=CC1,及已知可得CDD1C1是正方形,CD1C1D.CD1C1D,ACC1D,且ACCD1=C,C1D平面ACD1.(2)解 ,而CEAD,且由AA1平面ABCD可得CEAA1,又ADAA1=A,CE平面ADD1A1,即CE为三棱锥C-AA1D1的高.故AA1A1D1CE=21=.6.证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A

10、1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.7.(1)证明 在ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.故

11、ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD平面PAD,又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD.(2)解 过P作POAD交AD于点O.因为平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高,又PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=4=2.在底面四边形ABCD中,ABDC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形,在RtADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S=24.故VP-ABCD=242=16.8.( 1)证明 四边形CDEF是矩形,CDED.ADDC,ADED=D,CD平

12、面AED,AE平面AED,AECD.(2)解 当M是线段AE的中点时,AC平面MDF,证明如下:连接CE交DF于点N,连接MN,M,N分别是AE,CE的中点,MNAC.又MN平面MDF,AC平面MDF,AC平面MDF.(3)解 将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-BCF,三棱柱ADE-BCF的体积V=SADECD=224=8,空间几何体ADM-BCF的体积VADM-BCF=VADE-BCF-VF-BBC-VF-DEM=8-2-1=.空间几何体ADM-BCF的体积为.9.(1)解 如图,由已知ADBC,故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC,所以ADPD.在RtP

13、DA中,由已知,得AP=,故cosDAP=.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明 因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC.又PDPB,所以PD平面PBC.(3)解 过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF=2,在RtDPF中,可得sinDFP=.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.