届数学大题专项突破四高考中的立体几何文新人教A版.docx
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届数学大题专项突破四高考中的立体几何文新人教A版
高考大题专项练四 高考中的立体几何
1.
（2017东北三省四市一模,文19）如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.
（1）证明:
MN∥平面ABB1A1;
（2）求三棱锥B1-ABC的高及体积.
2.
（2017湖北武汉五月调考,文18）如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.
（1）求证:
AE∥平面PCD;
（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
3.
（2016吉林东北师大附中二模,文19）在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,各棱长均为2,D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点.
（1）求证:
平面B1FG∥平面BDE;
（2）求三棱锥B1-BDE的体积.
4.
（2017湖北武汉二月调考,文18）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.
（1）求证:
DB1⊥平面ABD;
（2）求点A1到平面ADB1的距离.
5.
（2017吉林三模,文19）如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,AA1=.
（1）求证:
直线C1D⊥平面ACD1;
（2）试求三棱锥A1-ACD1的体积.
6.（2017山东,文18）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
（1）证明:
A1O∥平面B1CD1;
（2）设M是OD的中点,证明:
平面A1EM⊥平面B1CD1.
7.
（2017黑龙江大庆三模,文19）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.
（1）设M是PC上的一点,证明:
平面MBD⊥平面PAD;
（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
8.
（2017广东、江西、福建十校联考,文19）如图,在空间几何体ADE-BCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,AD⊥DC,AB=AD=DE=2,EF=4,M是线段AE上的动点.
（1）求证:
AE⊥CD;
（2）试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;
（3）在
（2）的条件下,求空间几何体ADM-BCF的体积.
〚导学号24190960〛
9.
（2017天津,文17）如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
（2）求证:
PD⊥平面PBC;
（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
〚导学号24190961〛
高考大题专项练四
高考中的立体几何
1.
（1）证明取AC中点P,连接PN,PM（图略）,
∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,
∴PN∥AB1,PM∥AA1,
∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,
∴平面PMN∥平面AB1A1,
∵MN⊂平面PMN,
∴MN∥平面ABB1A1.
（2）解设O为AB的中点,连接B1O（图略）,由题意知△B1BA是正三角形,
∴B1O⊥AB.
又侧面ABB1A1⊥底面ABC且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,
∴三棱锥B1-ABC的高B1O=AB=.
∵S△ABC=×2×2×sin60°=,
∴三棱锥B1-ABC的体积V=×S△ABC×B1O==1.
2.
（1）证明∵∠ABC=∠BAD=90°,
∴AD∥BC.
∵BC=2AD,E是BC的中点,
∴AD=CE.
∴四边形ADCE是平行四边形,
∴AE∥CD,
又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.
（2）解连接DE,BD（图略）,
设AE∩BD=O,
则四边形ABED是正方形,
∴O为BD的中点.
∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,
∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,
∴OP⊥OB,OP=,
∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA,
又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩BD=O,
∴OP⊥平面ABCD.
∴VP-ABCD=S梯形ABCD·OP
=（2+4）×2×=2.
3.
（1）证明连接DG,A1C.
∵D,G分别是AC,A1C1的中点,
∴DGAA1BB1,
∴四边形BB1GD是平行四边形,
∴B1G∥BD.
又B1G⊄平面EBD,BD⊂平面EBD,
∴B1G∥平面EBD.
∵D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点,
∴GF∥A1C,A1C∥DE,
∴GF∥ED.又GF⊄平面EBD,ED⊂平面EBD,
∴GF∥平面EBD.
又B1G∩GF=G,B1G⊂平面B1FG,GF⊂平面B1FG,
∴平面B1FG∥平面EBD.
（2）解过D作DH⊥AB交AB于点H,
∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面A1ABB1,
∴平面A1ABB1⊥平面ABC.
又平面A1ABB1∩平面ABC=AB,DH⊥AB,DH⊂平面ABC,
∴DH⊥平面A1ABB1.
∵AB=BC=AC=2,
∴DA=1,BD=,
∴DH=.
∴·DH=×2×2×.
4.
（1）证明在平面四边形BCC1B1中,
∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=60°,
∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,
∴∠BDB1=90°,
∴B1D⊥BD.
∵AB⊥平面BB1C1C,
∴AB⊥DB1,
∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直,
∴DB1⊥平面ABD.
（2）解对于四面体A1-ADB1,A1到直线DB1的距离即A1到平面BB1C1C的距离,A1到B1D的距离为2,设A1到平面AB1D的距离为h,△ADB1为直角三角形,×AD×DB1=,
∴×h=h,
∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,
∴×2×,
∵,
∴,解得h=.
∴点A1到平面ADB1的距离为.
5.
（1）证明在梯形ABCD内过点C作CE⊥AD交AD于点E,
∵由底面四边形ABCD是直角梯形,∴AB⊥AD,
又AB=BC=1,易知AE=ED=1,且AC=CD=,
∴AC2+CD2=AD2,
所以AC⊥CD.
又根据题意知CC1⊥平面ABCD,
从而CC1⊥AC,
而CC1∩CD=C,
故AC⊥C1D.
∵CD=AC=AA1=CC1,及已知可得CDD1C1是正方形,
∴CD1⊥C1D.
∵CD1⊥C1D,AC⊥C1D,且AC∩CD1=C,
∴C1D⊥平面ACD1.
（2）解∵,而CE⊥AD,且由AA1⊥平面ABCD可得CE⊥AA1,
又∵AD∩AA1=A,
∴CE⊥平面ADD1A1,即CE为三棱锥C-AA1D1的高.
故·AA1·A1D1·CE=×2×1=.
6.证明
（1）取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.
（2）因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,
又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM,
又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
7.
（1）证明在△ABD中,
因为AD=4,BD=8,AB=4,
所以AD2+BD2=AB2.
故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD,
又BD⊂平面MBD,
故平面MBD⊥平面PAD.
（2）解过P作PO⊥AD交AD于点O.
因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
因此PO为四棱锥P-ABCD的高,
又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
所以四边形ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,
此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为
S==24.
故VP-ABCD=×24×2=16.
8.
（1）证明∵四边形CDEF是矩形,
∴CD⊥ED.
∵AD⊥DC,AD∩ED=D,
∴CD⊥平面AED,
∵AE⊂平面AED,∴AE⊥CD.
（2）解当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF,
证明如下:
连接CE交DF于点N,连接MN,
∵M,N分别是AE,CE的中点,
∴MN∥AC.
又MN⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,
∴AC∥平面MDF.
（3）解将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF,
∴三棱柱ADE-B'CF的体积V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,
空间几何体ADM-BCF的体积VADM-BCF=VADE-B'CF-VF-BB'C-VF-DEM=8-×2-×1=.∴空间几何体ADM-BCF的体积为.
9.
（1）解如图,由已知AD∥BC,
故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,
所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得AP=,
故cos∠DAP=.
所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
（2）证明因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.
又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.
又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.
（3）解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,
由已知,得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,故BC⊥DC,
在Rt△DCF中,可得DF==2,在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=.
所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
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