1997考研数一真题及解析.docx

1、1997考研数一真题及解析1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题(此题共5分，每题3分，总分值15分.把答案在题中横线上.)3sin x x2 cos(1)x(1 cosx) l n(1 x)(1)二元函数f (x, y)=xyy(x,y) -(0,0), 在点(0,0)处 设幕级数v anxn的收敛半径为3,那么幕级数v nan(1)n 1的收敛区间为n =0 n=Ja 对数螺线J二e1在点(几R=(e2,)处的切线的直角坐标方程为 .21 2 -2 设A= 4 t 3 , B为三阶非零矩阵，且AB=0,那么t =3 -1 1 一(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球,3

2、0个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一 球,取后不放回，那么第二个人取得黄球的概率是 .二、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )(x, y)二(0,0)(A)连续,偏导数存在(C)不连续，偏导数存在(B)(D)连续,偏导数不存在 不连续，偏导数不存在b设在区间a,b上 f(x) 0, f (xh：0, f (x) 0,令 S1 = f (x)dx,S2 二 f (b)(b - a),a1f(a) f(b)(b -a),那么2S3(A)S S2 S3(B)S2 ： S ： S3(C)(D)E ： S

3、: S!设 F(x)二x(A)为正常数x sintesintdt,那么 F(x)恒为零(D)不为常数为负常数(C)(B)设=ax by g = 0, a2x py q = 0,因跨考敎肓护匸二J KUAKAO EDUCATIONa3x b3y c0(其中q2 b： = 0,i =1,2,3 )交于一点的充要条件是 ()(A) : j,：2，：3线性相关(B): j, 2, 3线性无关(C)秩r(： 1, ： 2, ： 3)=秩r(： 1, ： 2)(D):二，：,线性相关,2线性无关(5)设两个相互独立的随机变量 X和Y的方差分别为4和2,那么随机变量3X-2Y的方差是()(A)8 (B) 1

4、6 (C) 28 (D) 44三、(此题共3小题,每题5分，总分值15分.)(1)计算I iii(x2 - y2)dv,其中门为平面曲线-2y =2 z,绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z = 8所围成的区域计算曲线积分c(z -y)dx (x-z)dy (xy)dz ,其中 C 是曲线-2 2x y=1,x- y z = 2,轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.设该人群的总人数为(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的N ,在t =0时刻已掌握新技术的人数为 x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握

5、新技术人数 之积成正比,比例常数k 0,求x(t).四、(此题共2小题，第(1)小题6分，第小题7分，总分值13分.)x + v+ b = 0 22(1)设直线L: 在平面1上,且平面1与曲面z = x2，y2相切于点-X + ay _z _3 = 0(1,-2, 5)求a,b之值.m2z 2z 设函数f (u)具有二阶连续导数 ，而z = f (exsin y)满足方程 一三，r e2xz ,求ex cyf (u).五、(此题总分值6分)因跨考敎肓厂二J KUAKAO EPUCAT1ON设f (x)连续,w(x) = f (xt)dt,且lim上凶=A ( A为常数),求申(x)并讨论护(x

6、) 匕 7 x在x =0处的连续性.六、(此题总分值8分)m 1 1设曰=2,ai (an ), n = 1,2,.,证明:2 an(1) lim an 存在;a级数、n=1七、(此题共2小题，第(1)小题5分，第小题6分，总分值11分.)(1)设 B 是秩为 2 的 5 4 矩阵，:、=(1,1,2,3)T,： 2 =(-1,1,4,-1)1 3 =(5,-1,-8,9)丁 是齐次线性方程组 Bx = 0的解向量，求Bx = 0的解空间的一个标准正交基 .1 1 2-12 匕=1是矩阵A = 5 a 3的一个特征向量.-1 一 .-1 b -2一(I )试确定参数a,b及特征向量所对应的特征

7、值；(n)问A能否相似于对角阵？说明理由 .八、(此题总分值5分)设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为 B .(1)证明B可逆;求AB 4.九、(此题总分值7分)从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互2独立的，并且概率都是 -.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数5和数学期望.十、(此题总分值5分)设总体X的概率密度为+1)x 日卫0： x ：1,其它，因跨考敎肓厂二J KUAKAO EPUCAT1ON其中二._1是未知参数.治，冷川|,人是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法

8、求-的估计量1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题(1)【答案】【分析】(此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案在题中横线上.)32这是型极限.注意两个特殊极限limsinxx,得3 nx 13 x cos-m x J 、 ln(1 x) (1 cosx) x0【解析】将原式的分子、分母同除以2 1 3sin x x coslim x0 (1 cosx)ln(1 x)ln (1 x),1.评注：使用洛必达法那么的条件中有一项为哪一项lim f (x)应存在或为x 沟 g (x):,而此题中,2 1(3sin x x cos) lim xx 01.(1 cosx)l n(

9、1 x) 11 13cosx 2xcos sin=lim x xx 0 1 cosx-si nxln(1 x)1 + x极限不存在，也不为：,不满足使用洛必达法那么的条件 ，故此题不能用洛必达法那么1.有界量乘以无穷小量为无穷小量【相关知识点】【答案】(-2,4)【解析】考察这两个幕级数的关系 .令t = X -1,那么送 nantnd1=t2送 nantnJL =t2送(antnn 吕 n T n m由于逐项求导后的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径oO，一 antn的收敛半径为3 :n dqQ qQ却“的收敛半径为 3.从而antnn生oO二、nantn1的收敛半径为 3,收敛区间即n壬(-

10、3,3),QO回到原幕级数7 nan (x -1)n 1,它的收敛区间为一3 ： x1 ：3,即(-2,4).评注:n =1幕级数的收敛区间指的是开区间 ，不考虑端点oO对于7 anxnn为9n :它的收敛半径是anR=-.但是假设只知它的收敛半径an 1二1,因为limR n-j：an 1an可以不存在(对于缺项幕级数就是这种情形 ).k = yx,而yx可由/ _ e1的参数方程兀【答案】x y =e2【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x =cosv - e cosv, yf注求得：y y召 Jsin日+Jcos日 sinT+cos日 y 1x= eco -s inr cosv-s i

11、n 二山三所以切线的方程为 y -e = _(x -0),即x y = e2 .评注：此题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系【答案】t 二-3【解析】由AB =0,对B按列分块,设1 , :2, :3 ,那么AB 二 A：2, y A rA2A：3 丨- 0,0,0 1,即i,j3是齐次方程组 Ax =0的解.又因B = O ,故Ax = 0有非零解，那么12-210-2A=4t3=4t +33=7(t +3 ) = 03-11301由此可得t = -3 .评注：假设熟悉公式 AB =0,那么r(A)，r(B)辽n=3,可知r(A)：3,亦可求出t=3.2【答案】一5【解析】

12、方法1：利用全概率公式求第二人取得黄球的概率 ，一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关 这就要用 全概率公式全概率公式首先需要一个完全事件组 ，这就涉及到设事件的问题设事件A= “第i个人取得黄球 ，i =1,2 ,那么完全事件组为 A，入(分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知3050 黄球的个数 20 2 一白球的个数PS 球的总数 =50=5； PA：球的总数P一 | A 1二型J =理(第一个人取得黄球的条件下 ，黄球个数变成20 -1 =19 ,球50 -1 4919)；49,黄球个数亦为 20,球的总数变成的总数变成50 -1 = 49 ,第二个人取得黄

13、球的概率就为 卩轴宀20 (第一个人取得白球的条件下492050-1=49,第二个人取得黄球的概率就为 ).49故应用全概率公式p 讥：，PA IP A | Al pIAIpCa? | 瓦1 =2 19 - -?=-.5 49 5 49 5方法二：利用“抽签原理.只考虑第二个人取得的球，这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到 .犹如几个人抽奖，其中只有一张彩票有奖，那么这几个人先抽与后抽，抽到有奖彩票的概率是一样的 , 这就是我们抽奖的公平性，此题中取到黄球的可能有 20个,所以第二个人取到黄球的概率为 20 _250 一 5.【相关知识点】1.全概率公式：pa2.；=卩1人沖加21a,

14、卩1入8加2|入？；2.古典型概率公式:有利于事件A的样本点数样本空间的总数二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 )(1)【答案】(C)【解析】这是讨论 f(x, y)在(0,0)点是否连续，是否存在偏导数的问题.按定义迴 f(x,0)，迴罟 f(0,y)x dx x=0 : y dy由于f(x,0) =0(-x), f(O,y) =0(-y),偏导数且ex cy再看f (x, y)在(0,0)是否连续？由于lim(x,y) j0,0)y 二xx21hf(0,)因此f (x,y)在(0,0)不连续.应选

15、(C).评注： 证明分段函数在某点连续，一般要用定义证，有难度证明分段函数f(x, y)在某点M(x0,y)不连续的方法之一是：证明点(x, y)沿某曲线趋于 M。时，f (x, y)的极限不存在或不为f(x,y。). 证明 lim f(x,y)不存在的重要方法是证明点 (x, y)沿两条不同曲线趋于M(x0,y)时，f(x, y)的极限不想等或沿某条曲线趋于 M。时，f(x, y)的极限不存在对于该题中的f (x, y),假设再考察1/ l、im“ f (x, y) = lim 0 = 0 l、im“ f (x, y),x=0(x,y)(0,0)y =x因跨考隸肓KUAKAO EDUCATI

16、ON(x,y)%f(x，y)不存在.由本例可见，函数在一点处不连续，但偏导数却可以存在.容易找到这种例子，例如f(x, y)=x + y ,它在点(0,0)处连续，但f；(0,0)与f；(0,0)都不存在.可见二元函数的连续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系【答案】(B)特定的f (x)来观察结果是什么.例如取f(x)二【解析】方法1:用几何意义由f (x) . 0, f (x) :：: 0, f (x) . 0可知，曲线y二f (x)是12，x 1,2,那么 x2 1 1 1 5S1 - 1 2 dx , S2 , S3 S2 ： S ： S3 .刃 x 2 4 8【评注】此题也可用分析方法

17、证明如下：由积分中值定理，至少存在一个点,使 f (x)dx二f ( J(b - a),a： b成立，再由f (x) 0,所以f (x)是单调递减的，故f( ) f (b),从而bS f (x)dx = f ( )(b -a) f (b)(b -a) p .a1x为证 S3 s 令(x)二f(x) f(a)(x-a)- f(t)dt,那么(a)=0,2a1 1 &)=新(x)(x-a)寸(心)f(a)-f(x)1 1=2 f (x)(x -a) -?(f(x) - f (a)1 . 1 .f (x)(x-a) f ( )(x-a) (a： ： x)(拉格朗日中值定理)1(f (x)-f ( )

18、(x-a),由于(x)0,所以f(x)是单调递增的，故f(x) ()，: (x) 0,即(x)在a,b上同踵考豹肓厂二J KUKAO EDUCATION- (a) =0,所以(x) .0,x a,b,从而1 b：(b) =2【f(b) f(a)(ba) a f(t)dt o即 S S因此，$ : S| : S3,应选(D).如果题目改为证明题，那么应该用评注所讲的方法去证 ，而不能用图证【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数 f(x)在积分区间a,b上连续，那么在(a,b)上至b少存在一个点,使下式成立： f (x)dx二f ( J(b -a)(a ；： ；： b).这个公式叫做积分中值a公

19、式.2.拉格朗日中值定理：如果函数 f (x)满足在闭区间a,b上连续，在开区间 a,b内可导,那么在a,b内至少有一点 ( :：: b),使等式f(b)-f(a) = f ( J(b-a)成立.【答案】(A)【解析】由于函数esint sint是以2二为周期的函数,所以,F(x) =xd2；Tesintsin tdt =2 二 sint0 e sin tdt，F(x)的值与x无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关 ).2 n - t估计 esint sintdt的值有多种方法.J0方法1:划分esint sin t取值正、负的区间.F(x)二 esintsintdt 二esint

20、 sintdt 亠丨 esintsintdt0 0 二=f71esint sintdt + (_sinu)du0 -0二 o (esint ent)sin tdt0,所以 F(x) 0.选(A).当 0 : t ：二时，sin t 0 , esint _ et方法2：用分部积分法.2 sintF (x) e si ntdtsint ,二一e cost2 二 +02 7二 esintd cost02 sintcostde0二e0(1T)亠! esintcost2dt 二esintcost2dt 0.故应选(A).,那么常将积分区间划分成假设干个 ，使每【评注】此题的方法 1十分有代表性.被积函数

21、在积分区间上可以取到正值与负值时同跨査敎育护匸二J KUAKAO EDUCATION个区间内，被积函数保持确定的符号，然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相 同,然后只要估计被积函数的正、负即可 【答案】(D)【解析】方法1 :三条直线交于一点的充要条件是方程组a/ 0y g =0 a/ dy - -g a2x b2y = 0= a2x b2y = _c2Ia3x dy C3 =0 a3x bsy 二-q有唯一解.fab11F 1将上述方程组写成矩阵形式： AX=b,其中A =a2b2是其系数矩阵,b= g1a3b3 一那么AX =b有唯一解二r(A) =r LAbl - 2 (方程

22、组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A的列向量组 冷2线性相关.所以应选(D).方法2：用排除法.(A)冷，2, 3线性相关,当1二2二：3时，方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数，那么式有无穷多解，根据解的个数与直线的位置关系 .所以三条直线重合相交有无穷多点，(A)不成立.(B):d2,3线性无关,：3不能由：12线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，方程组无解，根据解得个数与直线的位置关系 ，所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩(：、，2, 3)=秩(：，2),当2,3)=2) = 1 时，三条直线重合 不只交于一点，与题设条件矛盾，故

23、(C)不成立.由排除法知选(D).评注：应重视线性代数中的几何背景 .空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来【答案】(D)【解析】因X与Y独立，故3X和2Y也相互独立.由方差的性质，有D(3X _2Y)二 D(3X) D(_2Y) =9D(X) 4D(Y) =44.【相关知识点】方差的性质： X与Y相互独立时，D(aX bY c)二 a2D(X) b2D(Y),其中 a,b,c为常数.三、(此题共3小题，每题5 分,总分值15分.)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算 ，柱面坐标中的计算，球面坐标中的计算

24、，其中柱面坐标中又可分先 z后(r门)，或先(rj)后z两种方法.此题的区域 门为绕z轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(r,v)后z方便【解析】方法1:采用柱面坐标,先(r,v)后z ,为此,作平面z = z.Dz X(x, y, z) |x2 y2 乞 2z,z = z?,2 2 8 2 = (x y )dv dziir rdrd v (将直角坐标化为柱面坐标 ) Q D；3 , 1024二8 2：叮 、；迈3=dz dr r3dr =0 0 0 3方法2：将门投影到xOy平面，得圆域D =7(x, y) | x2 y2 _16二用柱面坐标先z后(r,r).22 2 2兀 r483 4 3 r

25、1024 = (x2 y2)dv d dr ,r3dz = 2二 r3(8 )dr .Q 、0 0 = 023评注：做二次积分或三次积分时，如果里层积分的结果不含外层积分变量 ，那么里、外层积分2兀可以分别积分然后相乘即可 如本例方法2中 dr可以单独先做(2)【解析】方法1：写出C的参数方程，然后用曲线积分化为定积分的公式 由平面上圆的参数方程易写出 C的参数方程为：x = x(t) = cost, y = y(t) =sin t, z = z(t) = 2 -cost si nt,由C的方向知，C在Oxy平面上的投影曲线相应地也是顺时针的 ，于是t从2二到0.在把参数方程代入被积表达式之前

26、，先用C的方程将被积表达式化简，有 = ：c(z y)dx (x -z)dy (x-y)dz二(2-x)dx (x-z)dy (2 -z)dzc0 0 0二：2-(2 -x(t)dx(t) 2-cost -(2 -cost sint)costdt 2- (2-z(t)dz(t)=0 _.2cos2t -sintcost -2costdt 02 : 2 二 2-2 cos tdt 一 -2- 方法2:用斯托克斯公式来计算记S为平面x - y z = 2上C所围有限局部，由L的定向，按右手法那么S取下侧dydzdzdxdxdyexczz _ yX zx y2x2 y=2dxdy.S原积分=口SS在

27、xy平面上的投影区域 Dxy为 1将第二类曲面积分化为二重积分得原积分=一 2dxdy = -2 二.Dxy这里因S取下侧，故公式取负号.dx(3)【解析】已掌握新技术人数 x(t)的变化率，即竺，由题意可立即建立初值问题dt主二 kx(N -x),* dtx(0)把方程别离变量得dxx(N -x)= kdt, (- 1 )dx 二 kdt.N x N x1 x积分可得 一 In =kt g，N N xkNtcNex 二kNt1 ce以x(0) = x0代入确定c = 0,故所求函数为N -xokNtNxoex kNt -N - xo xoe四、(此题共2小题，第(1)小题6分，第小题7分，总

28、分值13分.)(1)【分析】求出曲面S:x2，y2-z = 0在点M0(1,2,5)(位于S上)处的切平面方程，再写 出L的参数方程，L上的点的坐标应满足切平面方程 ，由此定出参数a与b .【解析】曲面S在点M0的法向量n 二2 x，2y，-1 m0 二2, -4, T.切平面的方程是2(x-1)-4(y 2) -(z-5) =0,即 2x-4yiZ-5=0.将直线L的方程改写成参数方程y _ _x _ b，z 二(1a)xab3.将它代入平面二方程得2x _ 4( _x - b) - (1 - a)x ab，3 - 5 = 0，即(5 a)x 4b ab - 2 = 0 .解得 a =5,b =2 【分析】z = f(exsi n y)是由一元函数 z = f(u)与二元函数u二exs in y复合而成的二元函数，它满足方程:x22x=e z.(*)为了求f (u),我们将用复合函数求导法,导出,ex cy_=x