1997考研数一真题及解析.docx
《1997考研数一真题及解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1997考研数一真题及解析.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
1997考研数一真题及解析
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、填空题（此题共5分，每题3分，总分值15分.把答案在题中横线上.）
3sinxx2cos
（1）
x
（1cosx）ln（1x）
（1）
二元函数f（x,y）=
xy
"y
「（x,y）-（0,0）,在点（0,0）处
⑵设幕级数vanxn的收敛半径为3,那么幕级数vnan（^1）n1的收敛区间为
n=0n=J
a—
⑶对数螺线J二e1在点（几R=（e2,）处的切线的直角坐标方程为.
2
12-2
⑷设A=4t3,B为三阶非零矩阵，且AB=0,那么t=
3-11一
（5）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球,30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回，那么第二个人取得黄球的概率是.
二、选择题（此题共5小题，每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（x,y）二（0,0）
（A）连续,偏导数存在
（C）不连续，偏导数存在
（B）
（D）
连续,偏导数不存在不连续，偏导数不存在
b
设在区间[a,b]上f（x）0,f（xh：
：
0,f（x）0,令S1=f（x）dx,S2二f（b）（b-a）,
a
1
—[f（a）f（b）]（b-a）,那么
2
S3
（A）
SS2S3
（B）
S2：
：
S：
：
：
S3
（C）
（D）
E：
：
：
S^:
:
:
S!
设F（x）二
x
（A）为正常数
xsint
e
sintdt,那么F（x）
恒为零
（D）
不为常数
为负常数
（C）
（B）
设=
axbyg=0,a2xpyq=0,
因跨考敎肓
护匸二JKUAKAOEDUCATION
a3xb3yc^0（其中q2•b：
=0,i=1,2,3）交于一点的充要条件是（）
（A）:
j,：
・2，：
3线性相关
（B）:
j,>2,>3线性无关
（C）秩r（：
1,：
2,：
3）=秩r（：
1,：
2）
（D）:
〞二，：
线性相关,',>2线性无关
（5）设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,那么随机变量3X-2Y的方差是
（）
（A）8（B）16（C）28（D）44
三、（此题共3小题,每题5分，总分值15分.）
（1）
计算Iiii（x2-y2）dv,其中门为平面曲线
-2
y=2z,
绕z轴旋转一周形成的曲面与
平面z=8所围成的区域
计算曲线积分
[c（z-y）dx（x-z）dy（x「y）dz,其中C是曲线
-22
xy=1,
x-yz=2,
轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的
.设该人群的总人数为
（3）在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的
N,在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为
x（t）（将x（t）视为连续可微变量）,其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k0,求x（t）.
四、（此题共2小题，第
（1）小题6分，第⑵小题7分，总分值13分.）
'x+v+b=022
（1）设直线L:
'在平面1」上,且平面1」与曲面z=x2，y2相切于点
-X+ay_z_3=0
（1,-2,5）求a,b之值.
m2z^2z
⑵设函数f（u）具有二阶连续导数，而z=f（exsiny）满足方程一三，re2xz,求
excy
f（u）.
五、（此题总分值6分）
因跨考敎肓
厂二JKUAKAOEPUCAT1ON
设f（x）连续,w（x）=[f（xt）dt,且lim上凶=A（A为常数）,求申'（x）并讨论护'（x）匕7x
在x=0处的连续性.
六、（此题总分值8分）
m11
设曰=2,a「i（an）,n=1,2,...,证明:
2an
（1）liman存在;
□a
⑵级数'、
n=1
七、（此题共2小题，第
（1）小题5分，第⑵小题6分，总分值11分.）
（1）设B是秩为2的54矩阵，:
、=（1,1,2,3）T,：
2=（-1,1,4,-1）13=（5,-1,-8,9）丁是
齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基.
「11「2-12]
⑵匕=1是矩阵A=5a3的一个特征向量.
]-1一.-1b-2一
（I）试确定参数a,b及特征向量■所对应的特征值；
（n）问A能否相似于对角阵？
说明理由.
八、（此题总分值5分）
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
（1）证明B可逆;
⑵求AB4.
九、（此题总分值7分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互
2
独立的，并且概率都是-.设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数
5
和数学期望.
十、（此题总分值5分）
设总体X的概率密度为
+1）x日
卫
0：
x：
1,
其它，
因跨考敎肓
厂二JKUAKAOEPUCAT1ON
其中二._1是未知参数.治，冷川|,人是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别
用矩估计法和最大似然估计法求-的估计量•
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
、填空题
（1）【答案】
【分析】
（此题共5分,每题3分,总分值15分.把答案在题中横线上.）
3
2
这是°型极限.注意两个特殊极限limsinx
x,得
3nx1
3xcos-
mx—
J、ln（1x）（1cosx）x
0
【解析】将原式的分子、分母同除以
213sinxxcos
lim—
x—0（1cosx）ln（1x）
ln（1x）,
1.
评注：
使用洛必达法那么的条件中有一项为哪一项
limf（x）应存在或为
x沟g（x）
:
:
而此题中,
21
（3sinxxcos—）limx
x0
1.（1cosx）ln（1x）1
11
3cosx2xcossin
=limxx
x01cosx
-sinxln（1x）
1+x
极限不存在，也不为：
：
不满足使用洛必达法那么的条件，故此题不能用洛必达法那么
1.有界量乘以无穷小量为无穷小量
【相关知识点】
⑵【答案】（-2,4）
【解析】考察这两个幕级数的关系.令t=X-1,那么
送nantnd1=t2送nantnJL=t2送（antn
n吕nTnm
由于逐项求导后的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径
oO
，一antn的收敛半径为3:
nd
qQqQ
却“的收敛半径为3.从而antn
n生
oO
二、nantn1的收敛半径为3,收敛区间即
n壬
（-3,3）,
QO
回到原幕级数7nan（x-1）n1,它的收敛区间为
一3：
：
x—1：
：
：
3,即（-2,4）.
评注:
n=1
幕级数的收敛区间指的是开区间，不考虑端点•
oO
对于7anxn
n为
9n^■:
它的收敛半径是
an
R=-.但是假设只知它的收敛半径
an1
二1,因为lim
Rn-j：
：
an1
an
可以不存在
（对于缺项幕级数就是这种情形）.
k=yx,而yx可由/_e1的参数方程
兀
⑶【答案】xy=e2
【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率
x=『cosv-ecosv,yf注
求得：
y〞y召Jsin日+Jcos日sinT+cos日y1
x=e^co^-^sinrcosv-sin二山三
所以切线的方程为y-e^=_（x-0）,即x•y=e^2.
评注：
此题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系
⑷【答案】
t二-3
【解析】
由AB=0,对B按列分块,设1^,■:
2,■:
3],那么
AB二A「：
「：
2,yArA2A：
3丨-0,0,01,
即］i,j「3是齐次方程组Ax=0的解.
又因B=O,故Ax=0有非零解，那么
1
2
-2
1
0
-2
A
=
4
t
3
=
4
t+3
3
=7（t+3）=0
3
-1
1
3
0
1
由此可得t=-3.
评注：
假设熟悉公式AB=0,那么r（A），r（B）辽n=3,可知r（A）：
：
：
3,亦可求出t=—3.
2
⑸【答案】一
5
【解析】方法1：
利用全概率公式•
求第二人取得黄球的概率，一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关•这就要用全概率公式•全概率公式首先需要一个完全事件组，这就涉及到设事件的问题•
设事件A=“第i个人取得黄球〞，i=1,2,那么完全事件组为A，入（分别表示第一个人
取得黄球和第一个人取得白球）.根据题设条件可知
30
50
｛｝黄球的个数202｛一｝白球的个数
PS’’球的总数=50=5；P'A'：
球的总数
P〔一|A1二型J=理（第一个人取得黄球的条件下，黄球个数变成20-1=19,球
50-149
19）
）；
49
黄球个数亦为20,球的总数变成
的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为卩轴宀20（第一个人取得白球的条件下
49
20
50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为）.
49
故应用全概率公式
p讥：
，P「AIPA|AlpIAIpCa?
|瓦1=219--?
^=-.
5495495
方法二：
利用“抽签原理〞.
只考虑第二个人取得的球，这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个
人抽奖，其中只有一张彩票有奖，那么这几个人先抽与后抽，抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性，此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为20_2
50一5.
【相关知识点】
1.全概率公式：
p「a2.；=卩1人沖加21a,｝卩1入8加2|入？
；
2.古典型概率公式:
有利于事件A的样本点数
样本空间的总数
二、选择题（此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）【答案】（C）
【解析】这是讨论f（x,y）在（0,0）点是否连续，是否存在偏导数的问题.按定义
迴£f（x,0），迴罟f（0,y）
xdxx=0:
ydy
由于
f（x,0）=0（-x）,f（O,y）=0（-y）,
偏导数且
excy
再看f（x,y）在（0,0）是否连续？
由于
lim
（x,y）j0,0）
y二x
x2
1
hf（0,°）
因此f（x,y）在（0,0）不连续.应选（C）.
评注：
①证明分段函数在某点连续，一般要用定义证，有难度•证明分段函数f（x,y）在某点
M°（x0,y°）不连续的方法之一是：
证明点（x,y）沿某曲线趋于M。
时，f（x,y）的极限不存在
或不为f（x°,y。
）.
②证明limf（x,y）不存在的重要方法是证明点（x,y）沿两条不同曲线趋于
M°（x0,y°）时，f（x,y）的极限不想等或沿某条曲线趋于M。
时，f（x,y）的极限不存在
对于该题中的f（x,y）,假设再考察
1
/l、im“f（x,y）=lim0=0l、im“f（x,y）,
x=0
（x,y）—<0,0）y_2（x,y）>（0,0）
y=x
因跨考隸肓
KUAKAOEDUCATION
（x,y）%f（x，y）不存在.
由本例可见，函数在一点处不连续，但偏导数却可以存在.容易找到这种例子，例如
f（x,y）=x+y,它在点（0,0）处连续，但f；（0,0）与f；（0,0）都不存在.可见二元函数的连
续性与偏导数的存在性可以毫无因果关系
⑵【答案】（B）
特定的f（x）来观察结果是什么.例如取f（x）二
【解析】方法1:
用几何意义•由f（x）.0,f（x）:
：
:
0,f（x）.0可知，曲线y二f（x）是
1
2，x[1,2],那么x
21115
S1-1~2dx■,S2,S3S2：
：
：
S]：
：
：
S3.
刃x248
【评注】此题也可用分析方法证明如下：
由积分中值定理，至少存在一个点',使f（x）dx二f（J（b-a）,a「：
：
：
b成立，再由
f（x）<0,所以f（x）是单调递减的，故f（）f（b）,从而
b
S^f（x）dx=f（）（b-a）f（b）（b-a）p.
a
1x
为证S3s令（x）二[f（x）f（a）]（x-a）-f（t）dt,那么「（a）=0,
2a
11&）=新（x）（x-a）寸（心）f（a））-f（x）
11
=2f（x）（x-a）-?
（f（x）-f（a））
1.1.
f（x）（x-a）f（）（x-a）（a：
：
：
：
：
：
x）（拉格朗日中值定理）
1
—（f（x）-f（））（x-a）,
由于「（x）・0,所以f（x）是单调递增的，故f（x）•「（），:
（x）0,即（x）在[a,b]上
同踵考豹肓
厂二JKU^KAOEDUCATION
-（a）=0,所以「（x）.0,x・［a,b］,从而
1b
：
（b）=2【f（b）f（a）］（b—a）—af（t）dto
即S•S「因此，$:
:
:
S|:
:
:
S3,应选（D）.
如果题目改为证明题，那么应该用评注所讲的方法去证，而不能用图证
【相关知识点】1.积分中值定理：
如果函数f（x）在积分区间［a,b］上连续，那么在（a,b）上至
b
少存在一个点',使下式成立：
f（x）dx二f（J（b-a）（a•；：
"•；：
•b）.这个公式叫做积分中值
a
公式.
2.拉格朗日中值定理：
如果函数f（x）满足在闭区间［a,b］上连续，在开区间a,b内可导,
那么在a,b内至少有一点（^:
：
:
b）,使等式f（b）-f（a）=f（J（b-a）成立.
⑶【答案】（A）
【解析】由于函数esintsint是以2二为周期的函数,所以,
F（x）=
xd2；Tesintsintdt=
2二sint
0esintdt，
F（x）的值与x无关.不选D,（周期函数在一个周期的积分与起点无关）.
2n-t
估计esintsintdt的值有多种方法.
J0
方法1:
划分esintsint取值正、负的区间.
F（x）二esintsintdt二"esintsintdt亠丨esintsintdt
00•二
=f71'esintsintdt+（_sinu）du
0-0
二o（esint—e』nt）sintdt
0,所以F（x）0.选（A）.
当0:
:
:
t：
：
：
二时，sint0,esint_e^t
方法2：
用分部积分法.
2"sint
F（x）esintdt
sint,
二一ecost
2二+
0
27
二esintdcost
0
2sint
costde
0
二—e0（1T）亠!
esintcost2dt二
esintcost2dt0.
故应选（A）.
那么常将积分区间划分成假设干个，使每
【评注】此题的方法1十分有代表性.
被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时
同跨査敎育
护匸二JKUAKAOEDUCATION
个区间内，被积函数保持确定的符号，然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可•
⑷【答案】（D）
【解析】方法1:
三条直线交于一点的充要条件是方程组
a/0yg=0a/dy--ga2xb2y=0=a2xb2y=_c2
I
a3xdyC3=0a3xbsy二-q
有唯一解.
f
a
b11
F1
将上述方程组写成矩阵形式：
A^X=b,其中A=
a2
b2
是其系数矩阵
b=—g
1
a3
b3一
那么AX=b有唯一解二r（A）=rLAbl-2（方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等
于未知量的个数）,即A的列向量组冷「2线性相关.所以应选（D）.
方法2：
用排除法.
（A）冷，＞2,＞3线性相关,当＞1二＞2二：
'3时，方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且
小于未知量的个数，那么①式有无穷多解，根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合
相交有无穷多点，（A）不成立.
（B）:
d〉2,〉3线性无关,：
'3不能由：
1「2线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩
不相等，方程组无解，根据解得个数与直线的位置关系，所以一个交点也没有,（B）不成立.
（C）秩「（：
、，＞2,＞3）=秩「（：
」，〉2）,当2,〉3）=2）=1时，三条直线重合不只交于一点，与题设条件矛盾，故（C）不成立.
由排除法知选（D）.
评注：
应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线
性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来
⑸【答案】（D）
【解析】因X与Y独立，故3X和2Y也相互独立.由方差的性质，有
D（3X_2Y）二D（3X）D（_2Y）=9D（X）4D（Y）=44.
【相关知识点】方差的性质：
X与Y相互独立时，
D（aXbYc）二a2D（X）b2D（Y）,其中a,b,c为常数.
三、（此题共3小题，每题5分,总分值15分.）
（1）【分析】三重积分的计算有三种方法：
直角坐标中的计算，柱面坐标中的计算，球面坐标
中的计算，其中柱面坐标中又可分先z后（r门），或先（rj）后z两种方法.此题的区域门为
绕z轴旋转的旋转体,用柱面坐标先（r,v）后z方便•
【解析】方法1:
采用柱面坐标,先（r,v）后z,为此,作平面z=z.
DzX（x,y,z）|x2y2乞2z,z=z?
2282
\=（xy）dvdziirrdrdv（将直角坐标化为柱面坐标）QD；
3,1024二
82：
叮、；迈3
=dzdrr3dr=
0003
方法2：
将门投影到xOy平面，得圆域D=7（x,y）|x2y2_16二用柱面坐标先z后（r,r）.
2
222兀r48343r1024^
\=（x2y2）dvddr,r3dz=2二r3（8）dr.
Q、0'0=023
评注：
做二次积分或三次积分时，如果里层积分的结果不含外层积分变量，那么里、外层积分
2兀
可以分别积分然后相乘即可•如本例方法2中dr可以单独先做•
（2）【解析】方法1：
写出C的参数方程，然后用曲线积分化为定积分的公式•
由平面上圆的参数方程易写出C的参数方程为：
x=x（t）=cost,y=y（t）=sint,z=z（t）=2-costsint,
由C的方向知，C在Oxy平面上的投影曲线相应地也是顺时针的，于是t从2二到0.
在把参数方程代入被积表达式之前，先用C的方程将被积表达式化简，有
\=：
c（z—y）dx（x-z）dy（x-y）dz
二（2-x）dx（x-z）dy（2-z）dz
c
000
二：
2-（2-x（t））dx（t）2-[cost-（2-costsint）]costdt2-（2-z（t））dz（t）
=0°_.[2cos2t-sintcost-2cost]dt0
2■■:
2二2
--2costdt一-2-•
方法2:
用斯托克斯公式来计算•记S为平面x-y•z=2上C所围有限局部，由L的定向，
按右手法那么S取下侧•
dydz
dzdx
dxdy
ex
cz
z_y
X—z
x—y
2
x2y
=2dxdy.
S
原积分=口
S
S在xy平面上的投影区域Dxy为
<1•将第二类曲面积分化为二重积分得
原积分=一2dxdy=-2二.
Dxy
这里因S取下侧，故公式取负号.
dx
（3）【解析】已掌握新技术人数x（t）的变化率，即竺，由题意可立即建立初值问题
dt
主二kx（N-x）,
*dt
x（0）
把方程别离变量得
dx
x（N-x）
=kdt,—（-1）dx二kdt.
NxN—x
1x
积分可得一In——=kt■g，
NN—x
kNt
cNe
x二
kNt
1ce
以x（0）=x0代入确定c=0
故所求函数为
N-xo
kNt
Nxoe
xkNt-
N-xoxoe
四、（此题共2小题，第
（1）小题6分，第⑵小题7分，总分值13分.）
（1）【分析】求出曲面S:
x2，y2-z=0在点M0（1,「2,5）（位于S上）处的切平面方程，再写出L的参数方程，L上的点的坐标应满足切平面方程，由此定出参数a与b.
【解析】曲面S在点M0的法向量
n二{2x，2y，-1}m0二{2,-4,T}.
切平面的方程是
2（x-1）-4（y2）-（z-5）=0,
即2x-4yiZ-5=0.
将直线L的方程改写成参数方程
y__x_b，
z二（1「a）x「ab「3.
将它代入平面二方程得
2x_4（_x-b）-（1-a）x'ab，3-5=0，即（5'a）x'4b'ab-2=0.
解得a=「5,b=「2•
⑵【分析】z=f（exsiny）是由一元函数z=f（u）与二元函数u二exsiny复合而成的二
元函数，它满足方程
:
x
2
2x
=ez.
（*）
为了求f（u）,我们将用复合函数求导法
导出—,—
excy
_=x
升级会员 