随机过程平稳过程第六章.ppt

1、第六章 平稳随机过程,6.1 平稳随机过程的概念,定义6.1 设X(t)，t T 是随机过程，对任意常数和正整数n，t1,t2,tnT,t1+,t2+,tn+T，若(X(t1),X(t2),X(tn)与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t)，t T 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。,6.1 平稳随机过程的概念,定义6.2 设X(t)，t T 是随机过程，并满足：(1)X(t)，t T 是二阶矩过程；(2)对任意t T，mX(t)=EX(t)=常数；(3)对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(t-s)，则称X(t)，t T 为宽平稳过程，也

2、称广义平稳过程，简称平稳过程。若T为离散集，称平稳过程Xn，nT 为平稳序列。,宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程严平稳过程 宽平稳过程,正态过程,二阶矩存在,6.1 平稳随机过程的概念,例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程X(t),t0的平稳性。解,6.1 平稳随机过程的概念,所以X(t)，t T 为宽平稳过程。,6.1 平稳随机过程的概念,例6.2 设Xn,n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的平稳性。解 因为EXn=0，所以Xn,n=0,1,2

3、,是平稳随机序列。,以上随机序列称为白噪声。,6.1 平稳随机过程的概念,例6.3 设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2 t)，其中 是(0,1)上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,，试讨论随机过程X(t)的平稳性。解,6.1 平稳随机过程的概念,所以X(t)是平稳过程。,注意：t只取整数值,10,平稳过程的概念与例,例6.4 设随机过程N(t),t0是具有参数的泊松过程,随机过程X(t),t0定义为:若随机点在0,t内出现 偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则X(t)=-1,如图所示.(1)讨论随机过程X(t)的平稳性;(2)设随机变量V具有概率分布:

4、P(V=-1=PV=1)=1/2.,x(t),t,o,1,-1,11,平稳过程的概念与例,且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性.解:(1)由于随机点N(t)是具有参数的泊松过程,故在 0,t内随机点出现k次的概率 Pk(t)=e-t,k=0,1,2,故 PX(t)=1=P0(t)+P2(t)+P4(t)+=e-t1+=e-tch(t),PX(t)=-1=P1(t)+P3(t)+P5(t)+=e-tt+,12,=e-tsh(t),于是 mX(t)=EX(t)=1e-tch(t)-1e-tsh(t)=e-tch(t)-sh(t)=e-te-t=e-2t.为了

5、求X(t)的相关函数,先求X(t1),X(t2)的联合分布:PX(t1)=x1,X(t2)=x2=PX(t2)=x2|X(t1)=x1PX(t1)=x1,其中xi=-1或1(i=1,2).由上式知,需求PX(t1)=x1和PX(t2)=x2|X(t1)=x1.设t2t1,令=t2-t1,因为事件PX(t1)=1,X(t2)=1等 价于事件X(t1)=1,且在(t1,t2内随机点出现偶数次.,13,由假设知,在X(t1)=1的条件下,在区间(t1,t2内随机点 出现偶数次,与在区间(0,内随机点出现偶数次的概 率相等,故 PX(t2)=1|X(t1)=1=e-tch(t).由于 PX(t1)=1

6、=ch(t1),所以 PX(t1)=1,X(t2)=1=ch(t1)ch().类似可得 PX(t1)=-1,X(t2)=-1=sh(t1)ch(),PX(t1)=-1,X(t2)=1=sh(t1)sh(),PX(t1)=1,X(t2)=-1=ch(t1)sh().因此 RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2),14,平稳过程的概念与例,=11 ch(t1)ch()+(-1)(-1)sh(t1)ch()+(-1)1 sh(t1)sh()+1(-1)ch(t1)sh()=ch(-t1)-sh(-t1)=.当t2t1时,同理可得 RX(t1,t2)=.故对任意t1,t2有 RX(t1,t2)=.,

7、15,平稳过程的概念与例,由于mX(t)=e-2t与时间t有关,故X(t)不是平稳过程.值得注意的是,就相关函数而言,非平稳过程的相关函数 也可以与时间的起点无关.(2)由于EV=0,EV2=1,故由V与X(t)独立知 EY(t)=EVEX(t)=0,RY(t,t-)=EV2EX(t)X(t-)=RY().所以Y(t)是平稳过程,其相关系数RY()如图所示.,RY(),o,16,6.2平稳过程及其相关函数的性质,一.相关函数的性质(实平稳过程),17,18,注：,19,20,21,6.2 联合平稳随机过程,定义6.4 设X(t)，t T 和Y(t)，t T 是两个平稳过程，若它们的互相关函数E

8、X(t)Y(t-)及EY(t)X(t-)仅与有关，而与t无关，即 RXY(t,t-)=EX(t)Y(t-)=RXY()RYX(t,t-)=EY(t)X(t-)=RYX()则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。,6.2 联合平稳随机过程,命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程 时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，,24,6.2 联合平稳随机过程,例6.4 设X(t)=Asin(t+)，Y(t)=Bsin(t+-)为两个平稳过程，其中A,B,是常数，是(0,2)上的均匀分布随机变量，证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。

9、证明：,6.2 联合平稳随机过程,6.2 联合平稳随机过程,所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。,6.3 随机分析简介（了解）,随机序列Xn 实际上代表一族上式的序列。,29,30,31,32,6.3 随机分析简介,定义6.6 设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个tT，有 则称X(t)在t点均方连续，记作 若对T中的一切点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续。,34,6.4 平稳过程的各态历经性,在实际工作中，确定随机过程的均值函数和自相关函数等数字特征很重要，然而要求这些数字特征需知一维、二维分布函数，而这些分布在实际问题中没给出，为此，只能用统计实验的方法对观察数据进行估计，如

10、可把均值和自相关函数近似表示为：,35,36,37,6.4 平稳过程的遍历性,定义6.9 设 X(t),-t 是均方连续的平稳过程，则时间均值时间相关函数,39,6.4 平稳过程的遍历性,定义6.11 如果均方连续的平稳过程X(t),-t的均值和相关函数都具有遍历性，则称该平稳过程具有遍历性。例6.9 设随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为服从(0,2)上均匀分布的随机变量，讨论X(t)的遍历性。解,6.4 平稳过程的遍历性,6.4 平稳过程的遍历性,6.4 平稳过程的遍历性,6.4 平稳过程的遍历性,例6.7 讨论随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。,6.4 平稳过程的遍历性,46,47,48,49,50,51,52,53,