随机过程平稳过程第六章.ppt

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第六章平稳随机过程,6.1平稳随机过程的概念,定义6.1设X（t），tT是随机过程，对任意常数和正整数n，t1,t2,tnT,t1+,t2+,tn+T，若（X（t1）,X（t2）,X（tn）与（X（t1+）,X（t2+）,X（tn+）有相同的联合分布，则称X（t），tT为严平稳过程，也称狭义平稳过程。

6.1平稳随机过程的概念,定义6.2设X（t），tT是随机过程，并满足：

（1）X（t），tT是二阶矩过程；

（2）对任意tT，mX（t）=EX（t）=常数；（3）对任意s,tT，RX（s,t）=EX（s）X（t）=RX（t-s），则称X（t），tT为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。

若T为离散集，称平稳过程Xn，nT为平稳序列。

宽平稳过程严平稳过程严平稳过程宽平稳过程严平稳过程宽平稳过程,正态过程,二阶矩存在,6.1平稳随机过程的概念,例6.1设X（t）=Ycos（t）+Zsin（t）,t0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程X（t）,t0的平稳性。

解,6.1平稳随机过程的概念,所以X（t），tT为宽平稳过程。

6.1平稳随机过程的概念,例6.2设Xn,n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的平稳性。

解因为EXn=0，所以Xn,n=0,1,2,是平稳随机序列。

以上随机序列称为白噪声。

6.1平稳随机过程的概念,例6.3设状态连续、时间离散的随机过程X（t）=sin（2t），其中是（0,1）上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,，试讨论随机过程X（t）的平稳性。

解,6.1平稳随机过程的概念,所以X（t）是平稳过程。

注意：

t只取整数值,10,平稳过程的概念与例,例6.4设随机过程N（t）,t0是具有参数的泊松过程,随机过程X（t）,t0定义为:

若随机点在0,t内出现偶数次（0也看作偶数）,则X（t）=1;若出现奇数次,则X（t）=-1,如图所示.

（1）讨论随机过程X（t）的平稳性;

（2）设随机变量V具有概率分布:

P（V=-1=PV=1）=1/2.,x（t）,t,o,1,-1,11,平稳过程的概念与例,且V与X（t）独立,令Y（t）=VX（t）,试讨论随机过程Y（t）的平稳性.解:

（1）由于随机点N（t）是具有参数的泊松过程,故在0,t内随机点出现k次的概率Pk（t）=e-t,k=0,1,2,故PX（t）=1=P0（t）+P2（t）+P4（t）+=e-t1+=e-tch（t）,PX（t）=-1=P1（t）+P3（t）+P5（t）+=e-tt+,12,=e-tsh（t）,于是mX（t）=EX（t）=1e-tch（t）-1e-tsh（t）=e-tch（t）-sh（t）=e-te-t=e-2t.为了求X（t）的相关函数,先求X（t1）,X（t2）的联合分布:

PX（t1）=x1,X（t2）=x2=PX（t2）=x2|X（t1）=x1PX（t1）=x1,其中xi=-1或1（i=1,2）.由上式知,需求PX（t1）=x1和PX（t2）=x2|X（t1）=x1.设t2t1,令=t2-t1,因为事件PX（t1）=1,X（t2）=1等价于事件X（t1）=1,且在（t1,t2内随机点出现偶数次.,13,由假设知,在X（t1）=1的条件下,在区间（t1,t2内随机点出现偶数次,与在区间（0,内随机点出现偶数次的概率相等,故PX（t2）=1|X（t1）=1=e-tch（t）.由于PX（t1）=1=ch（t1）,所以PX（t1）=1,X（t2）=1=ch（t1）ch（）.类似可得PX（t1）=-1,X（t2）=-1=sh（t1）ch（）,PX（t1）=-1,X（t2）=1=sh（t1）sh（）,PX（t1）=1,X（t2）=-1=ch（t1）sh（）.因此RX（t1,t2）=EX（t1）X（t2）,14,平稳过程的概念与例,=11ch（t1）ch（）+（-1）（-1）sh（t1）ch（）+（-1）1sh（t1）sh（）+1（-1）ch（t1）sh（）=ch（-t1）-sh（-t1）=.当t2t1时,同理可得RX（t1,t2）=.故对任意t1,t2有RX（t1,t2）=.,15,平稳过程的概念与例,由于mX（t）=e-2t与时间t有关,故X（t）不是平稳过程.值得注意的是,就相关函数而言,非平稳过程的相关函数也可以与时间的起点无关.

（2）由于EV=0,EV2=1,故由V与X（t）独立知EY（t）=EVEX（t）=0,RY（t,t-）=EV2EX（t）X（t-）=RY（）.所以Y（t）是平稳过程,其相关系数RY（）如图所示.,RY（）,o,16,6.2平稳过程及其相关函数的性质,一.相关函数的性质（实平稳过程）,17,18,注：

19,20,21,6.2联合平稳随机过程,定义6.4设X（t），tT和Y（t），tT是两个平稳过程，若它们的互相关函数EX（t）Y（t-）及EY（t）X（t-）仅与有关，而与t无关，即RXY（t,t-）=EX（t）Y（t-）=RXY（）RYX（t,t-）=EY（t）X（t-）=RYX（）则称X（t）和Y（t）是联合平稳随机过程。

6.2联合平稳随机过程,命题：

当X（t）和Y（t）是联合平稳随机过程时，W（t）=X（t）+Y（t）是平稳随机过程。

事实上，EW（t）=EX（t）+EY（t）=常数，,24,6.2联合平稳随机过程,例6.4设X（t）=Asin（t+），Y（t）=Bsin（t+-）为两个平稳过程，其中A,B,是常数，是（0,2）上的均匀分布随机变量，证明：

X（t）和Y（t）是联合平稳随机过程。

证明：

6.2联合平稳随机过程,6.2联合平稳随机过程,所以X（t）和Y（t）是联合平稳随机过程。

6.3随机分析简介（了解）,随机序列Xn实际上代表一族上式的序列。

29,30,31,32,6.3随机分析简介,定义6.6设有二阶矩过程X（t）,tT，若对每一个tT，有则称X（t）在t点均方连续，记作若对T中的一切点都均方连续，则称X（t）在T上均方连续。

34,6.4平稳过程的各态历经性,在实际工作中，确定随机过程的均值函数和自相关函数等数字特征很重要，然而要求这些数字特征需知一维、二维分布函数，而这些分布在实际问题中没给出，为此，只能用统计实验的方法对观察数据进行估计，如可把均值和自相关函数近似表示为：

35,36,37,6.4平稳过程的遍历性,定义6.9设X（t）,-t是均方连续的平稳过程，则时间均值时间相关函数,39,6.4平稳过程的遍历性,定义6.11如果均方连续的平稳过程X（t）,-t的均值和相关函数都具有遍历性，则称该平稳过程具有遍历性。

例6.9设随机相位过程X（t）=acos（t+），a,为常数，为服从（0,2）上均匀分布的随机变量，讨论X（t）的遍历性。

解,6.4平稳过程的遍历性,6.4平稳过程的遍历性,6.4平稳过程的遍历性,6.4平稳过程的遍历性,例6.7讨论随机过程X（t）=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。

6.4平稳过程的遍历性,46,47,48,49,50,51,52,53,