春人教版八年级数学下册同步测试微专题七 以正方形为背景的证明与计算.docx

1、春人教版八年级数学下册同步测试微专题七 以正方形为背景的证明与计算微专题七_以正方形为背景的证明与计算_学生用书A28 (教材P69复习题18第14题)如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AEEF(提示：取AB的中点G，连接EG)图1教材母题答图证明：如答图，取AB的中点G，连接EG.AEF90，CEFAEB90.四边形ABCD是正方形，GAEAEB90，GEFCEF.E是BC的中点，G是AB的中点，BGBE，AGEC，BGE45.CF是DCH的平分线，FCH45，AGEECF135.在AGE和ECF中，AGEECF(ASA

2、)，AEEF.【思想方法】 (1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，正方形有四条对称轴；(2)正方形的对角线与边的夹角为45，正方形的面积等于其对角线平方的一半；(3)证明一个四边形是正方形，往往先证明是矩形或菱形，再证明是正方形数学活动：擦出智慧的火花由特殊到一般的数学思想数学课上，李老师出示了问题：如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，过点E作EFAE，过点F作FGBC交BC的延长线于点G.图2(1)求证：BAEFEG；(2)同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF90，且EF交正方形外角DCG的平分线于点

3、F，求证：AEEF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AMEC，易证AMEECF，所以AEEF.请借助图完成小明的证明；在(2)的基础上，同学们作了进一步的研究：(3)小聪提出：如图，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AEEF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由解：(1)证明：AEF90，AEBFEG90，又RtABE中，BAEAEB90，BAEFEG；变形1答图(2)证明：如答图，取AB的中点M，连接ME.正方形ABCD中，ABBC，又AMMBAB

4、，BECEBC，MBBE，MBE是等腰直角三角形，BME45，AME135，又ECF180FCG18045135，AMEECF，在AME和ECF中，AMEECF，AEEF；变形1答图(3)观点正确，理由：如答图，在AB上取一点M，使AMEC，连接ME.BMBE，BME45，AME135，CF是外角平分线，DCF45，ECF135，AMEECF，AEBBAE90，AEBCEF90，BAECEF，在AME和ECF中，AMEECF(ASA)，AEEF.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如图3，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DFCE，求证：OEOG.图3证

5、明：四边形ABCD是正方形，ACBD，ODOC，DOGCOE90，OECOCE90，DFCE，OECODG90，OCEODG.DOGCOE，OEOG.如图4，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE.(1)求证：CECF；(2)若点G在AD上，且GCE45，则GEBEGD成立吗？请说明理由图4解：(1)证明：在正方形ABCD中，BCDC，BADC90，CDF90，BCDF.又BEDF，BECDFC(SAS)，CECF；(2)成立理由：BECDFC，BCEDCF.BCD90，GCE45，BCEDCG45，DCFDCG45，即GCF45，GCEGCF.又ECFC，GCG

6、C，EGCFGC(SAS)，EGFG.DFBE，FGDFGDBEGD，GEBEGD.如图5，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由图5变形4答图解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDDA，AEBFCGDH，AHBECFDG，在AEH，BFE，CGF和DHG中，AEHBFECGFDHG(SAS)，EHFEGFGH，AEHBFE，四边形EFGH是菱形，BEFBFE90，BEFAEH90，HEF90，四边形EFGH是正方形；(

7、2)直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC，BD的交点)理由如下：如答图，连接AC，EG，交点为O，四边形ABCD是正方形，ABCD，OAEOCG，在AOE和COG中，AOECOG(AAS)，OAOC，即O为AC的中点，正方形的对角线互相平分，O为对角线AC，BD的交点，即O为正方形的中心在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图6放置，连接DE，BH交于点M.求证：(1)BHDE；(2)BHDE.图6变形5答图证明：(1)四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，CBCD，CECH，BCDECH90，BCH90DCH，DCE90DCH，BCHDCE，BCHDCE(SAS)，BH

8、DE；(2)如答图，BH交CD于点N，BCHDCE，CBHCDE.CBHBNC90，BNCDNM，CDEDNM90，CDEDNMDMN180，DMN90，BHDE.如图7，在正方形ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形EFGH是正方形类比探究如图，在正三角形ABC的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)(1)ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系如图，设

9、BDa，ADb，ABc，请探索a，b，c满足的等量关系图7解：(1)ABDBCECAF.证明：ABC是正三角形，CABABCBCA60，ABBC.ABDABC2，BCEACB3，而23.ABDBCE，又12，ABDBCE；(2)DEF是正三角形证明：ABDBCECAF，ADBBECCFA.FDEDEFEFD，DEF是正三角形；变形6答图(3)如答图，作AGBD，交BD延长线于G.DEF是正三角形，ADG60，在RtADG中，DGb，AGb，在RtABG中，c2，c2a2abb2.2019宁波期末已知，正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线

10、)于点M，N，AHMN于点H.(1)如图8，当MAN绕点A旋转到BMDN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：_AHAB_；(2)如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图，已知MAN45，AHMN于点H，且MH2，NH3，求AH的长(可利用(2)得到的结论)图8解：(2)数量关系成立如答图，延长CB至E，使BEDN.四边形ABCD是正方形，ABAD，DABE90，在RtAEB和RtAND中，RtAEBRtAND，AEAN，EABNAD，DANBAM45，EABBAM45，EAM45，EAMNAM45.在AEM和ANM中，AEMANM.SAEMSANM，EMMN，AB，AH是AEM和ANM对应边上的高，ABAH；变形7答图(3)如答图分别沿AM，AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM2，DN3，BDBAD90.分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由(2)可知，AHABBCCDAD.设AHx，则MCx2，NCx3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2MC2NC2，52(x2)2(x3)2，解得x16，x21(不符合题意，舍去)AH6.