春人教版八年级数学下册同步测试微专题七 以正方形为背景的证明与计算.docx

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春人教版八年级数学下册同步测试微专题七以正方形为背景的证明与计算

微专题七__以正方形为背景的证明与计算__[学生用书A28]

（教材P69复习题18第14题）

如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：

AE＝EF（提示：

取AB的中点G，连接EG）．

图1

教材母题答图

证明：

如答图，取AB的中点G，连接EG.

∵∠AEF＝90°，∴∠CEF＋∠AEB＝90°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠GEF＝∠CEF.

∵E是BC的中点，G是AB的中点，

∴BG＝BE，AG＝EC，∴∠BGE＝45°.

∵CF是∠DCH的平分线，∴∠FCH＝45°，

∴∠AGE＝∠ECF＝135°.

在△AGE和△ECF中，

∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF.

【思想方法】

（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，正方形有四条对称轴；

（2）正方形的对角线与边的夹角为45°，正方形的面积等于其对角线平方的一半；（3）证明一个四边形是正方形，往往先证明是矩形或菱形，再证明是正方形．

　数学活动：

擦出智慧的火花——由特殊到一般的数学思想．

数学课上，李老师出示了问题：

如图2①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，过点E作EF⊥AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.

图2

（1）求证：

∠BAE＝∠FEG；

（2）同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：

如图②，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F，求证：

AE＝EF.

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF.请借助图②完成小明的证明；

在

（2）的基础上，同学们作了进一步的研究：

（3）小聪提出：

如图③，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

解：

（1）证明：

∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEG＝90°，

又∵Rt△ABE中，∠BAE＋∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEG；

变形1答图①

（2）证明：

如答图①，取AB的中点M，连接ME.

∵正方形ABCD中，AB＝BC，

又∵AM＝MB＝

AB，BE＝CE＝

BC，

∴MB＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，

又∵∠ECF＝180°－∠FCG＝180°－45°＝135°，

∴∠AME＝∠ECF，

∴在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF；

变形1答图②

（3）观点正确，理由：

如答图②，在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME.

∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，

∴∠AME＝135°，

∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，

∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋∠CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

∴在△AME和△ECF中，

∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF.

　已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如图3，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：

OE＝OG.

图3

证明：

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，

∴∠DOG＝∠COE＝90°，

∴∠OEC＋∠OCE＝90°，

∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠OCE＝∠ODG.

∴△DOG≌△COE，∴OE＝OG.

　如图4，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.

（1）求证：

CE＝CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？

请说明理由．

图4

解：

（1）证明：

在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠CDF＝90°，

∴∠B＝∠CDF.又∵BE＝DF，

∴△BEC≌△DFC（SAS），

∴CE＝CF；

（2）成立．理由：

∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE＝∠DCF.

∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠DCG＝45°，

∴∠DCF＋∠DCG＝45°，即∠GCF＝45°，∴∠GCE＝∠GCF.

又∵EC＝FC，GC＝GC，∴△EGC≌△FGC（SAS），

∴EG＝FG.∵DF＝BE，

∴FG＝DF＋GD＝BE＋GD，∴GE＝BE＋GD.

　如图5，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

（1）求证：

四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．

图5

变形4答图

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，

∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG，

在△AEH，△BFE，△CGF和△DHG中，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），

∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，

∴四边形EFGH是菱形，

∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，

∴四边形EFGH是正方形；

（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC，BD的交点）．理由如下：

如答图，连接AC，EG，交点为O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCG，

在△AOE和△COG中，

∴△AOE≌△COG（AAS），∴OA＝OC，即O为AC的中点，∵正方形的对角线互相平分，

∴O为对角线AC，BD的交点，即O为正方形的中心．

　在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图6放置，连接DE，BH交于点M.求证：

（1）BH＝DE；

（2）BH⊥DE.

图6

变形5答图

证明：

（1）∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，

∴CB＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，

∴∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH，

∴∠BCH＝∠DCE，

∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH＝DE；

（2）如答图，BH交CD于点N，

∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE.

∵∠CBH＋∠BNC＝90°，∠BNC＝∠DNM，

∴∠CDE＋∠DNM＝90°，

∵∠CDE＋∠DNM＋∠DMN＝180°，

∴∠DMN＝90°，∴BH⊥DE.

　如图7①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．

类比探究

如图②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？

如果是，请选择其中一对进行证明；

（2）△DEF是否为正三角形？

请说明理由；

（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系．如图③，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．

图7

解：

（1）△ABD≌△BCE≌△CAF.

证明：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.

∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3.

∴∠ABD＝∠BCE，

又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE；

（2）△DEF是正三角形．

证明：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA.

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；

　变形6答图

（3）如答图，作AG⊥BD，交BD延长线于G.

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG＝60°，

∴在Rt△ADG中，DG＝

b，AG＝

b，

在Rt△ABG中，c2＝

＋

，

∴c2＝a2＋ab＋b2.

　[2019·宁波期末]已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H.

（1）如图8①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

__AH＝AB__；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，

（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？

如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用

（2）得到的结论）

图8

解：

（2）数量关系成立．如答图①，延长CB至E，使BE＝DN.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，

在Rt△AEB和Rt△AND中，

∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，

∵∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠EAB＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，

∴∠EAM＝∠NAM＝45°.

在△AEM和△ANM中，

∴△AEM≌△ANM.∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，

∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，

∴AB＝AH；

变形7答图

（3）如答图②分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，

∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°.

分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，

由

（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD.

设AH＝x，则MC＝x－2，NC＝x－3，

在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，

∴52＝（x－2）2＋（x－3）2，解得x1＝6，x2＝－1（不符合题意，舍去）．∴AH＝6.