空间向量及其运算讲义及答案.docx

1、空间向量及其运算讲义及答案空间向量及其运算（讲义）知识点睛一、空间向量的定义及定理1.定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量2.空间向量的有关定理及推论（1）共线向量定理对空间任意两个向量 a，b（b0），ab 的充要条件是：存在实数，使 扩充：对空间三点 P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线： PA = PB ； 对空间任一点 O， OP = OA+ t AB ； 对空间任一点 O， OP = x OA+ y OB（ x + y = 1）（2）共面向量定理如果两个向量 a，b ，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是：存在 的有序实数对(x，y)，使 扩充

2、：对空间四点 P，M，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面： MP = x MA+ y MB ； 对空间任一点 O， OP = OM + x MA+ y MB ； 对空间任一点 O， OP = x OM + y OA+ z OB（ x + y + z = 1）； PM AB （或 PA MB 或 PB AM ）（3）空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 其中， 叫做空间的一个基底二、空间向量的线性运算类比平面向量1三、空间向量的坐标运算a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b 均为非零向量）：

3、 a+b= ，a-b= ， a= ；a b = ， a = ；cos= = ；ab ；ab 四、空间位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量（1）直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称 AB 为直线 l 的方向向量与 AB 平行的任意 也是直线的方向向量（2）平面的法向量定义：与平面 的向量，称作平面的法向量确定：设 a，b 是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向量的方程组为 2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2 的方向向量分别为m1=(x1，y1，z1)，m2=(x2，y2，z2)l1l2m1m2 l1l2m1m2 直线 l

4、的方向向量为m=(x1，y1，z1)， 平面的法向量为n=(x2，y2，z2)lmn lmn 平面，的法向量分别为n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2)n1n2 n1n2 2精讲精练1.如图，在空间四边形 ABCD 中，若 G 是 CD 的中点，则AB + (BD+ BC ) =（ ）2A BCB CGC.AGD.12BC 第 1 题图 第 2 题图2.如图，在四面体 OABC 中，设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，若 D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE = （用a，b，c 表示）3.已知向量 a，b，若 AB = a + 2b ，BC =

5、 -5a + 6b ，CD = 7a - 2b ，则一定共线的三点是（）AA，B，DCB，C，DBA，B，CDA，C，D4.下列条件： 1 1 1 OM = OA+ OB - OC ； OM =OA+OB +OC ； 5 3 2 MA+ MB+ MC = 0 ； OM + OA+ OB + OC = 0 能推出 M，A，B，C 四点共面的是 （填写序号）35.已知a，b，c是空间向量的一个单位正交基底，a+b，a-b，c是空间的另一个基底，若向量 p 在基底a+b，a-b，c下的坐标为( 3 ，- 1 ，3) ，则 p 在基底a，b，c下的坐标为2 2 6. 已知 a=(x，4，1)，b=(-

6、2，y，-1)，c=(3，-2，z)，且 ab， bc（1）x= ，y= ，z= ；（2）a+c 与 b+c 所成角的余弦值为 7.如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都为 1，若 E，F 分别是 AB，AD 的中点，则 EF DC =（ ）A.14B.- 14C. 4D.- 3 4 第 7 题图 第 8 题图8.如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都为 a，若 E， F 分别是 BC，AD 的中点，则 AE AF = （ ）A.a2B.1 a22C.1 a24D.3 a249.若 n 是平面的法向量，a 是直线 l 的方向向量，则下列结论正确的是（ ）A若 l，则 a

7、n B若 l，则 anC若 an，则 l D若 a n=0，则 l410. 已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n=(1，1，1)， 则以 n 为方向向量的直线 l 与平面 ABC 的关系是（ ） A垂直 B不垂直C平行 D以上都有可能11. 若直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则下列能使 l的是（ ） Aa=(1，0，0)，n=(-2，0，0) Ba=(1，3，5)，n=(1，0，1) Ca=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) Da=(1，-1，3)，n=(0，3，1)12. 已知平面，的法向量分别为 a=(1，1，2)，b=(x，-2，3)，

8、若，则 x 的值为（ ）A-2 B-4 C3 D413.已知 AB=(2，2，1)， AC=(4，5，3)，则平面 ABC 的单位法向量是 14.如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱 ABC - A1B1C1 的顶点 C 与原点 O 重合，顶点 A， C1 ，B 分别在 x 轴、y 轴、z 轴上， 若 AC = CC1 = 2BC ，则直线 BC1 与直线 AB1 的夹角的余弦值为 （ ）A. 5 5B. 3C.2 55D.35515.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，B1D1的中点，求证：EFA1D16.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1

9、D1 中，E，F，G 分别是 A1B1，B1C1，C1D1 的中点（1）求证：AG平面 BEF；（2）在棱 BB1 上找一点 M，使 DM平面 BEF，并证明你的结论6【参考答案】知识点睛一、空间向量的定义及定理2. （1）a=b（2）不共线，唯一，p=xa+yb（3）p=xa+yb+zc，a，b，c 三、空间向量的坐标运算(a1+b1，a2+b2，a3+b3)，(a1-b1，a2-b2，a3-b3)，(a1，a2，a3)a1b1+a2b2+a3b3， a2 + a2 + a2a b ， a1b1 + a2b2 + a3b3a b a2 + a2 + a2 b2 + b2 + b21 2 3

10、1 2 3b=a， b1= b2= b3= （ a ，a ，a 0 ） a1 a2 a31 2 3a b = 0 ，a1b1+a2b2+a3b3=0 四、空间位置关系1. （1）非零向量n b = 0（2）垂直， n a = 02. x2 = y2 = z2 （ x ，y ，z 0 ）， x x + y y + z z = 0x1 y1 z11 1 11 2 1 2 1 2x x + y y + z z= 0 ， x2 = y2 = z2 （ x ，y ，z 0 ）1 2 1 2 1 2x1 y1 z11 1 1x2 = y2 = z2 （ x ，y ，z 0 ）， x x + y y + z z = 0x1 y1 z1精讲精练1. C2. 1 a + 1 b + 1 c2 4 43. A4. 5. (1，2，3)1 1 11 2 1 2 1 26. （1）2， - 4 ，2；（2） - 2197.B8.C9.C710.A11.D12.B13. ( 1 ， - 2 ， 2 )或( - 1 ， 2 ， - 2 )3 3 314.A15.证明略3 3 316.（1）证明略；（2）M 为 BB1 的中点，证明略8