空间向量及其运算讲义及答案.docx

空间向量及其运算讲义及答案.docx

《空间向量及其运算讲义及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量及其运算讲义及答案.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

空间向量及其运算讲义及答案

空间向量及其运算（讲义）

Ø知识点睛

一、空间向量的定义及定理

1.定义：

在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．

2.空间向量的有关定理及推论

（1）共线向量定理

对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是：

存在实数λ，使．

扩充：

对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线：

−−→−−→

①PA=λPB；

−−→−−→−−→

②对空间任一点O，OP=OA+tAB；

−−→−−→−−→

③对空间任一点O，OP=xOA+yOB（x+y=1）．

（2）共面向量定理

如果两个向量a，b，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是：

存在的有序实数对（x，y），使

．

扩充：

对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面：

−−→−−→−−→

①MP=xMA+yMB；

−−→−−→−−→−−→

②对空间任一点O，OP=OM+xMA+yMB；

−−→−−→−−→−−→

③对空间任一点O，OP=xOM+yOA+zOB（x+y+z=1）；

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

−−→

④PM∥AB（或PA

∥MB或PB

∥AM）．

（3）空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得．其中，叫做空间的一个基底．

二、空间向量的线性运算类比平面向量

1

三、空间向量的坐标运算

a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）（a，b均为非零向量）：

a+b=，a-b=，λa=；

a⋅b=，a=；

cos==；

a∥b⇔⇔；

a⊥b⇔⇔．四、空间位置关系

1.直线的方向向量与平面的法向量

（1）直线的方向向量：

l是空间一直线，A，B是直线l上任

−−→

意两点，则称AB为直线l的方向向量．

−−→

与AB平行的任意也是直线的方向向量．

（2）平面的法向量

①定义：

与平面的向量，称作平面的法向量．

②确定：

设a，b是平面内两不共线向量，n为平面α的法向

量，则求法向量的方程组为．

2.空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示

直线l1，l2的方向向量分别为m1=（x1，y1，z1），

m2=（x2，y2，z2）

l1∥l2

m1∥m2⇔

l1⊥l2

m1⊥m2⇔

直线l的方向向量为

m=（x1，y1，z1），平面α的法向量为

n=（x2，y2，z2）

l∥α

m⊥n⇔

l⊥α

m∥n⇔

平面α，β的法向量分别为n1=（x1，y1，z1），

n2=（x2，y2，z2）

α∥β

n1∥n2⇔

α⊥β

n1⊥n2⇔

2

Ø精讲精练

1.如图，在空间四边形ABCD中，若G是CD的中点，则

−−→

AB+

−−→−−→

（BD+BC）=（）

2

−−→

A．BC

−−→

B．CG

−−→

C.AG

D.

1

2

−−→

BC

第1题图第2题图

−−→

−−→

−−→

2.如图，在四面体OABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，

−−→

若D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=．（用

a，b，c表示）

−−→

−−→

−−→

3.已知向量a，b，若AB=a+2b，BC=-5a+6b，CD=7a-2b，

则一定共线的三点是（

）

A．A，B，D

C．B，C，D

B．A，B，C

D．A，C，D

4.下列条件：

−−→−−→−−→−−→

−−→

1−−→

1−−→

1−−→

①OM=OA+OB-OC；②OM=

OA+

OB+

OC；

−−→−−→−−→

532

−−→−−→−−→−−→

③MA+MB+MC=0；④OM+OA+OB+OC=0．

能推出M，A，B，C四点共面的是．（填写序号）

3

5.已知{a，b，c}是空间向量的一个单位正交基底，{a+b，a-b，

c}是空间的另一个基底，若向量p在基底{a+b，a-b，c}下

的坐标为（3，-1，3），则p在基底{a，b，c}下的坐标为

22

．

6.已知a=（x，4，1），b=（-2，y，-1），c=（3，-2，z），且a∥b，b⊥c．

（1）x=，y=，z=；

（2）a+c与b+c所成角的余弦值为．

7.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为1，若E，

−−→

F分别是AB，AD的中点，则EF

−−→

⋅DC=（）

A.1

4

B.

-1

4

C.4

D.

-34

第7题图第8题图

8.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，若E，

−−→−−→

F分别是BC，AD的中点，则AE⋅AF=（）

A.a2

B.

1a2

2

C.

1a2

4

D.

3a2

4

9.若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，则下列结论正确的是（）

A．若l⊥α，则a⊥nB．若l∥α，则a∥n

C．若a∥n，则l⊥αD．若a⋅n=0，则l⊥α

4

10.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）三点，n=（1，1，1），则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是（）A．垂直B．不垂直

C．平行D．以上都有可能

11.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则下列能使l

∥α的是（）A．a=（1，0，0），n=（-2，0，0）B．a=（1，3，5），n=（1，0，1）C．a=（0，2，1），n=（-1，0，-1）D．a=（1，-1，3），n=（0，3，1）

12.已知平面α，β的法向量分别为a=（1，1，2），b=（x，-2，3），若α⊥β，则x的值为（）

A．-2B．-4C．3D．4

−−→

13.已知AB

−−→

=（2，2，1），AC

=（4，5，3），则平面ABC的单位法

向量是．

14.如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点C与原点O重合，顶点A，C1，B分别在x轴、y轴、z轴上，若AC=CC1=2BC，则直线BC1与直线AB1的夹角的余弦值为（）

A.

55

B.3

C.

25

5

D.

3

5

5

15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，B1D1

的中点，求证：

EF⊥A1D．

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，C1D1的中点．

（1）求证：

AG∥平面BEF；

（2）在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

6

【参考答案】

Ø知识点睛

一、空间向量的定义及定理

2.

（1）a=λb

（2）不共线，唯一，p=xa+yb

（3）p=xa+yb+zc，{a，b，c}三、空间向量的坐标运算

（a1+b1，a2+b2，a3+b3），（a1-b1，a2-b2，a3-b3），（λa1，λa2，λa3）

a1b1+a2b2+a3b3，a2+a2+a2

a⋅b，a1b1+a2b2+a3b3

aba2+a2+a2b2+b2+b2

123123

b=λa，b1

=b2

=b3

=λ（a，a，a

≠0）

a1a2a3

123

a⋅b=0，a1b1+a2b2+a3b3=0四、空间位置关系

1.

（1）非零向量

⎨n⋅b=0

（2）垂直，⎧n⋅a=0

⎩

2.x2=y2=z2（x，y，z

≠0），xx+yy+zz=0

x1y1z1

111

121212

xx+yy+zz

=0，x2=y2=z2（x，y，z

≠0）

121212

x1y1z1

111

x2=y2=z2（x，y，z

≠0），xx+yy+zz=0

x1y1z1

Ø精讲精练

1.C

2.1a+1b+1c

244

3.A

4.①③

5.（1，2，3）

111

121212

6.

（1）2，-4，2；

（2）-2

19

7.B

8.C

9.C

7

10.A

11.D

12.B

13.（1，-2，2）或（-1，2，-2）

333

14.A

15.证明略

333

16.

（1）证明略；

（2）M为BB1的中点，证明略

8