高等代数行列式计算方法.docx

1、高等代数行列式计算方法第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。由定义 可 知 ， n 级 行 列 式 共 有 n! 项 ， 每 一 项 的 一 般 形 式 为 ( 1)r ( j1 j 2 L jn ) a1 j1 a2 j 2 L anjn , 若每一项 n 个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。若零元素较多，则值 为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。例 1计算 n 级行列式000L01000L20D MMMM M0n 10L00n00L002.2 利用行列式的性质例 2 计算 n 级行列式x1y1x1y2Lx1yn

2、x2y1x2y2Lx2ynDMMM .xny1xny2Lxnyn解 当 n 1 时， Dx1y1 ；当 n2 时， D (x1x2 )( y1y2 ) ；当 n3 时，把第一行的1倍分别加到第 i 行， i 2,3,L , n,行列式的值不变，得x1y1x1y2L x1ynx2x1x2x1Lx2x10DMMMxnx1xnx1Lxnx1综上可得x1 y1 (n 1)D( x1 x2 )( y1 y2 )( n 2) 0(n 3)2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质，采用 “化零 ”的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质

3、，化为三角形行列式。例 4计算 n 级行列式xbbLbbxbLbD nbbxLbMMMMbbbLx解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2， 3， L ， n 列加到第 1列上，行列式不变，得x( n1) bbbLbx( n1) bxbLbDx( n1) bbxLbMMMMx( n1) bbbLx1bbLb1xbLbx(n1)b1bxLbM M MM1bbLx1bbLb0xb0L0x(n1)b00xbL0MMMM000Lx b x(n 1)b( xb)n1例 5计算 n 级行列式xa1a 2La n1a1xa 2La n1D na1a 2xLa n 1MMMOMa1a 2a 3

4、Lx解 将其他各列全部加到第一列，可得n 1xaia1a2Li 1n 1xaixa2Li 1n 1xaia2xLi 1MMM On 1xaia2a3Li 11a1a2L1xa2Ln 1( xai ) 1a2xLi 1M OM M1a2a3Lan 1an 1an 1Mxan 1an 1an 1Mx1a1a2Lan 10xa10L0n 1(xai ) 0 a2a1x a2L0i1MMOMM0a2a1a3 a2L x an 1n 1n 1( xai ) (x ai )i 1i 12.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算， 但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称

5、加边法），加上适当的行列后可以简化问题。例 6 计算 n 级行列式a1aaLaa1aLaa2Dnaaa1La3.MMMOMaaaL1an解 利用加边法 .1aaLa0a 1aLa0a1LaDnDn 1a2MMMOM0aaL1an1aaLa110L0101L02MMMOM100L1n将 Dn 的第二列乘 1，第三列乘 2， ，第 n 1列乘 n 并都加到第一列，可得n1 ka a a L ak 10 1 0 L1Dn 0 0 L2MM M O000L00= 1 n(n1) a 12n!M1n2.5 降级法按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。此方法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列

6、式，应用行列式的展开定理按此行（列）展开。例 7 计算 n 级行列式1234Ln2345L1Dn3456L24321L3.MMMMOMn123Ln 1解 观察行列式的每行之和为定值（ 1+2+ + n ），因此将各列加到第一列后，则1234Ln1345L1Dnn(n1) 1456L221321L3MMMMOM1123Ln 11234Ln0111L1 nn(n1) 0111L120111L1MMM M OM01 n11L1由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。即第二行减第一行， 第 n 行减第 n 1行得1 1 L 1 1 nn(n 1) 1 1 L 1 n 12 M M M M1 n 1 L 1

7、 11n1L1n( n 1)( n 1)( n 2)11 nL11)2(MMOM211L1 nn(n 1)( n 1)( n 2)n 21)2( 1)( n)(2n(n 1)nnnn 1(1)222.6 归纳法通过计算一些初始行列式 D1 , D2 , D3 等，找出结果与级数之间的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。例 8 计算 n 级行列式cos10.0012cos1.00012cos.00Dn. .000.2cos1000.12cos证明 由于D1cos;Dcos12cos21cos2 .212coscos102cos110D312cos1cos1

8、2cos12cos012coscos (4cos 21)2coscos3所以当 n1,2,3 时，结论成立。猜想： Dncosn .以下用数学归纳法证明当 n 1,2,3 时已成立。假设 n k 1,n k 时的行列式猜想成立，即Dk 1 cos(k 1) , Dk cosk 。下证明 n k 1 时行列式结论也成立。现将按最后一行展开，得Dk 1 2cos Dk Dk 1由归纳假设，Dk 12coscos kcos(k1)2coscoskcoskcossin ksincoskcossin ksincos(k1)所以对一切自然数 n 结论成立。综上所述Dn cosn .2.7 递推法利用行列式

9、的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值 。例 9 计算 n 级行列式a1yy .yyxa2y .yyDnxxa3 .yyMMM OMM .xxx .an 1yxxx .xan解 由行列式性质，按最后一列展开得a1yy .yy0xa2y .yy0Dnxx a3.yy0MMM OMMxxx .an 1y0xxx .xyanya1yy .yyayy.y01xa2y .yyxay.y02xxa3.yyxxa.y03MMMOMMM MMOMMxxx .an 1yxxx.an 10xxx .xyxxx.xanya1xyxyx .

10、yx00a2xyx .yx000a3x .yx0(any)DnMMMOM1M000.an1x0xxx.xyn1(an y) Dn 1 y(aii1行列式转置同理有 Dn若 x y ，解得： Dn若 x y ，解得： D n2.8 拆分法y)n 1(an x) Dn1x(aiy)i1nnna1(aiy)yi 2(ajy)i2ji1nn x(ay)y(ax)x yiii1i 1把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。例 10 计算 n 级行列式xaa .abxa .aD nbbx .a. . . . . .bbb .x解

11、 将 D n 第一行元素拆为xaa.abxa.aD nbbx.a. . . . .bbb.xaaa .ax a00 .0bxa .abxa .abbx .abbx .a. . . . . . . . .bbb .xbbb .xa( x b)n 1( x a) Dn 1（ 1）再将 Dn 第一列元素拆为( xb) baa .a0bxa .aDn0bbx .a. . . .0bbb .xx baa .abaa .a0xa .abxa .a0bx .abbx .a. . . . . . . . .0bb .xbbb .x( x b)Dn 1 b(x a)n 1（2）.联立上述（ 1），（ 2）两递推

12、公式Dna( x b)n 1( x a) Dn 1.Dn( x b) Dn 1b( x a)n 1当 a b时Dnb( x a)na( x b)nba当 a b 时Dn x (n 1)a ( x a)n 1 .第 3章 几类特殊行列式的计算方法3.1 一类常见特殊行列式的值1.奇级数反对称行列式的值为零，即1a12 L a1na12 0 L a2n0M M O M （ n 为奇数）a1n a2n L 02.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即a11a12La1na110L00a22La2na21a22L0MMOMMMOM00Lannan1an 2Lanna110L00a22L0M

13、 MO M a11a22 L ann00Lann3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即a11Ka1,n 1a1n00La1na21La2,n 100La2, n 1a2nM NMMNMM.a0L0an1Lan,n 1annn100La1n0La2,n 10n(n1)(1)2a1na2,n 1 Lan1MNMMan1L004.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即a11La1m* L*a11La1 m0 L0MMMMMMMMam1L amm*L*am1 Lamm0L00 L0 b11L b1n* L*b11L b1nMMMMMMMM0 L0 bn1L bnn* L*b

14、n1L bnna11La1mb11Lb1nMMMMam1 Lamm bn1L bnn* L*a11La1m0L0 a11La1mMMMMMMMM*L* am1L amm0L0 am1LammbLb0L011L1n*L*111nbbMMMMMMMMbn1Lbnn0L0bn1Lbnn*L*a11La1mb11Lb1n( 1)mnMMMMam1Lammbn1Lbnn3.2 箭形行列式对于形如的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。例 11计算 n 级行列式11L1112L00DnM M OMM10Ln 1010L0n解1（ 2 in ）倍加到第一列得将第 i 列