高等代数行列式计算方法.docx
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高等代数行列式计算方法
第2章n级行列式的计算方法
2.1定义法
对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。
由定
义可知，n级行列式共有n!
项，每一项的一般形式为
（1）r（j1j2Ljn）a1j1a2j2Lanjn,若每一项n个元素的乘积中有零因子，则该
项的值为零。
若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那
些不为零的项就可求出行列式的值。
例1
计算n级行列式
0
0
0
L
0
1
0
0
0
L
2
0
DM
M
M
MM
0
n1
0
L
0
0
n
0
0
L
0
0
2.2利用行列式的性质
例2计算n级行列式
x1
y1
x1
y2
L
x1
yn
x2
y1
x2
y2
L
x2
yn
D
M
M
M.
xn
y1
xn
y2
L
xn
yn
解当n1时，D
x1
y1；
当n
2时，D（x1
x2）（y1
y2）；
当n
3时，把第一行的
1
倍分别加到第i行，i2,3,L,n,
行列式的值不变，得
x1
y1
x1
y2
Lx1
yn
x2
x1
x2
x1
L
x2
x1
0
D
M
M
M
xn
x1
xn
x1
L
xn
x1
综上可得
x1y1（n1）
D（x1x2）（y1y2）（n2）0（n3）
2.3三角化法
由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的
元素的积。
故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。
充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。
例4
计算n级行列式
x
b
b
L
b
b
x
b
L
b
Dnb
b
x
L
b
M
M
M
M
b
b
b
L
x
解这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把
第2，3，L，n列加到第1列上，行列式不变，得
x
（n
1）b
b
b
L
b
x
（n
1）b
x
b
L
b
D
x
（n
1）b
b
x
L
b
M
M
M
M
x
（n
1）b
b
b
L
x
1
b
b
L
b
1
x
b
L
b
x
（n
1）b
1
b
x
L
b
MMM
M
1
b
b
L
x
1
b
b
L
b
0
x
b
0
L
0
x
（n
1）b
0
0
x
b
L
0
M
M
M
M
0
0
0
L
xb
[x
（n1）b]（x
b）n
1
例5
计算n级行列式
x
a1
a2
L
an
1
a1
x
a2
L
an
1
Dna1
a2
x
L
an1
M
M
M
O
M
a1
a2
a3
L
x
解将其他各列全部加到第一列，可得
n1
x
ai
a1
a2
L
i1
n1
x
ai
x
a2
L
i1
n1
x
ai
a2
x
L
i1
M
M
MO
n1
x
ai
a2
a3
L
i1
1
a1
a2
L
1
x
a2
L
n1
（xai）1
a2
x
L
i1
MO
MM
1
a2
a3
L
an1
an1
an1
M
x
an1
an1
an1
M
x
1
a1
a2
L
an1
0
x
a1
0
L
0
n1
（x
ai）0a2
a1
xa2
L
0
i
1
M
M
O
M
M
0
a2
a1
a3a2
Lxan1
n1
n1
（x
ai）（xai）
i1
i1
2.4升级法
行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边
法），加上适当的行列后可以简化问题。
例6计算n级行列式
a
1
a
a
L
a
a
1
a
L
a
a
2
Dn
a
a
a
1
L
a
3
.
M
M
M
O
M
a
a
a
L
1
a
n
解利用加边法.
1
a
a
L
a
0
a1
a
L
a
0
a
1
L
a
Dn
Dn1
a
2
M
M
M
O
M
0
a
a
L
1
a
n
1
a
a
L
a
1
1
0
L
0
1
0
1
L
0
2
M
M
M
O
M
1
0
0
L
1
n
将Dn的第二列乘1，第三列乘2，，第n1列乘n并都加到第一列，可得
n
1kaaaLa
k1
010L
1
Dn00L
2
MMMO
000L
0
0
=[1n（n
1）a]1
2
n!
M
1
n
2.5降级法
按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。
此方
法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列式，应用行列式的展开定理按此行（列）展开。
例7计算n级行列式
1
2
3
4
L
n
2
3
4
5
L
1
Dn
3
4
5
6
L
2
4
3
2
1
L
3
.
MMMMO
M
n
1
2
3
L
n1
解观察行列式的每行之和为定值（1+2++n），因此将各列加到第一列后，则
1
2
3
4
L
n
1
3
4
5
L
1
Dn
n（n
1）1
4
5
6
L
2
2
1
3
2
1
L
3
MMMMO
M
1
1
2
3
L
n1
1
2
3
4
L
n
0
1
1
1
L
1n
n（n
1）0
1
1
1
L
1
2
0
1
1
1
L
1
M
M
MMO
M
0
1n
1
1
L
1
由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。
即第二行减第一
行，第n行减第n1行得
11L11n
n（n1）11L1n1
2MMMM
1n1L11
1
n
1
L
1
n（n1）
（n1）（n2）
1
1n
L
1
1）
2
（
M
M
O
M
2
1
1
L
1n
n（n1）
（n1）（n2）
n2
1）
2
（1）（n）
（
2
n（n1）
nn
nn1
（1）2
2
2.6归纳法
通过计算一些初始行列式D1,D2,D3等，找出结果与级数之间的
关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。
例8计算n级行列式
cos
1
0
...
0
0
1
2cos
1
...
0
0
0
1
2cos
...
0
0
Dn
...
...
...
...
....
...
0
0
0
...
2cos
1
0
0
0
...
1
2cos
证明由于
D1
cos
;
D
cos
1
2cos2
1
cos2.
2
1
2cos
cos
1
0
2cos
1
1
0
D3
1
2cos
1
cos
1
2cos
1
2cos
0
1
2cos
cos（4cos2
1）
2cos
cos3
所以当n
1,2,3时，结论成立。
猜想：
Dn
cosn.
以下用数学归纳法证明
当n1,2,3时已成立。
假设nk1,nk时的行列式猜想成立，即
Dk1cos（k1）,Dkcosk。
下证明nk1时行列式结论也成立。
现将按最后一行展开，得
Dk12cosDkDk1
由归纳假设，
Dk1
2cos
cosk
cos（k
1）
2cos
cosk
cosk
cos
sink
sin
cosk
cos
sink
sin
cos（k
1）
所以对一切自然数n结论成立。
综上所述
Dncosn.
2.7递推法
利用行列式的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值。
例9计算n级行列式
a1
y
y...
y
y
x
a2
y...
y
y
Dn
x
x
a3...
y
y
M
M
MO
M
M.
x
x
x...
an1
y
x
x
x...
x
an
解由行列式性质，按最后一列展开得
a1
y
y...
y
y
0
x
a2
y...
y
y
0
Dn
x
xa3
...
y
y
0
M
M
MO
M
M
x
x
x...
an1
y
0
x
x
x...
x
y
an
y
a1
y
y...
y
y
a
y
y
...
y
0
1
x
a2
y...
y
y
x
a
y
...
y
0
2
x
x
a3
...
y
y
x
x
a
...
y
0
3
MMMOMM
MM
MOMM
x
x
x...
an1
y
x
x
x
...
an1
0
x
x
x...
x
y
x
x
x
...
x
an
y
a1
x
y
x
y
x...
y
x
0
0
a2
x
y
x...
y
x
0
0
0
a3
x...
y
x
0
（an
y）Dn
M
M
M
O
M
1
M
0
0
0...
an
1x
0
x
x
x...
x
y
n
1
（any）Dn1y
（ai
i
1
行列式转置同理有Dn
若xy，解得：
Dn
若xy，解得：
Dn
2.8拆分法
y）
n1
（anx）Dn
1
x
（ai
y）
i
1
n
n
n
a1
（ai
y）
y
i2
（aj
y）
i
2
j
i
1
n
n
[x
（a
y）
y
（a
x）]
xy
i
i
i
1
i1
把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。
例10计算n级行列式
x
a
a...
a
b
x
a...
a
Dn
b
b
x...
a
................
b
b
b...
x
解将Dn第一行元素拆为
x
a
a
...
a
b
x
a
...
a
Dn
b
b
x
...
a
...............
b
b
b
...
x
a
a
a...
a
xa
0
0...
0
b
x
a...
a
b
x
a...
a
b
b
x...
a
b
b
x...
a
...............
...............
b
b
b...
x
b
b
b...
x
a（xb）n1
（xa）Dn1
（1）
再将Dn第一列元素拆为
（x
b）b
a
a...
a
0
b
x
a...
a
Dn
0
b
b
x...
a
...
............
0
b
b
b...
x
xb
a
a...
a
b
a
a...
a
0
x
a...
a
b
x
a...
a
0
b
x...
a
b
b
x...
a
...............
...............
0
b
b...
x
b
b
b...
x
（xb）Dn1b（xa）n1
（2）.
联立上述
（1），
（2）两递推公式
Dn
a（xb）n1
（xa）Dn1
.
Dn
（xb）Dn1
b（xa）
n1
当ab时
Dn
b（xa）n
a（xb）n
b
a
当ab时
Dnx（n1）a（xa）n1.
第3章几类特殊行列式的计算方法
3.1一类常见特殊行列式的值
1.奇级数反对称行列式的值为零，即
1a12La1n
a120La2n
0
MMOM（n为奇数）
a1na2nL0
2.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，
即
a11
a12
L
a1n
a11
0
L
0
0
a22
L
a2n
a21
a22
L
0
M
M
O
M
M
M
O
M
0
0
L
ann
an1
an2
L
ann
a11
0
L
0
0
a22
L
0
MM
OMa11a22Lann
0
0
L
ann
3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元
素的乘积，即
a11
K
a1,n1
a1n
0
0
L
a1n
a21
La2,n1
0
0
L
a2,n1
a2n
MN
M
M
N
M
M
.
a
0
L
0
an1
L
an,n1
ann
n1
0
0
L
a1n
0
L
a2,n1
0
n（n
1）
（1）2
a1na2,n1L
an1
M
N
M
M
an1
L
0
0
4.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即
a11
L
a1m
*L
*
a11
L
a1m
0L
0
M
M
M
M
M
M
M
M
am1
Lamm
*
L
*
am1L
amm
0
L
0
0L
0b11
Lb1n
*L
*
b11
Lb1n
M
M
M
M
M
M
M
M
0L
0bn1
Lbnn
*L
*
bn1
Lbnn
a11
L
a1m
b11
L
b1n
M
M
M
M
am1L
ammbn1
Lbnn
*L
*
a11
L
a1m
0
L
0a11
L
a1m
M
M
M
M
M
M
M
M
*
L
*am1
Lamm
0
L
0am1
L
amm
b
L
b
0
L
0
11
L
1n
*
L
*
11
1n
b
b
M
M
M
M
M
M
M
M
bn1
L
bnn
0
L
0
bn1
L
bnn
*
L
*
a11
L
a1m
b11
L
b1n
（1）mn
M
M
M
M
am1
L
amm
bn1
L
bnn
3.2箭形行列式
对于形如
的所谓箭形（或爪形）行列式，可
直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列
式求值。
例11
计算n级行列式
1
1
L
1
1
1
2
L
0
0
Dn
MMO
M
M
1
0
L
n1
0
1
0
L
0
n
解
1
（2i
n）倍加到第一列得
将第i列
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